四川省自贡市市沿滩区王井中学高三数学理月考试题含解析

四川省自贡市市沿滩区王井中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于(

) A． B． C．1 D．4参考答案：D考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．解答： 解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，kFN==﹣，kFN=﹣=﹣2∴=2，求得a=4，故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．2.设i为虚数单位，复数的共轭复数为，且，则复数z=

(A)2+i

(B)2-i

(C)-2+i

(D)-2-i参考答案：B略3.下列图象中，可能是函数图象的是参考答案：A4.函数在区间上的值域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：，，当时，，递减，当时，，递增，，，，所以值域为．故选A．考点：用导数求函数的值域．5.阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B6.求证,P=(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2，q=（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…+（xn﹣a）2若a≠则一定有（）A．P＞q B．P＜qC．P、q的大小不定 D．以上都不对参考答案：B【考点】平均值不等式在函数极值中的应用．【分析】设f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，将此式化成二次函数的一般形式，结合二次函数的最值即可进行判定．【解答】解：设f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，则f（x）=nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+x12+x22+…+xn2当时，f（x）取得最小值，即P＜q．故选B．【点评】本题主要考查了二次函数在函数极值中的应用，解答的关键是利用函数思想结合二次函数的最值即可．7.已知函数f（x）=4x3﹣ax+1存在n（n∈N）个零点对应的实数a构成的集合记为A（n），则（）A．A（0）=（﹣∞，3] B．A（1）={2} C．A（2）=（3，+∞） D．A（3）=（3，+∞）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=0得出a=4x2+，令h（x）=4x2+，判断h（x）的单调性，作出h（x）的函数图象，利用函数图象判断方程h（x）=a的解的个数，从而得出A（n）．【解答】解：令f（x）=0得a=4x2+，∴当f（x）有n个零点时，方程a=4x2+有n个不同的解．设h（x）=4x2+，则h′（x）=8x﹣=，∴当x＞时，h′（x）＞0，当x＜0或0时，h′（x）＜0．作出h（x）=4x2+的大致函数图象如下：由图象可知当a＜3时，h（x）=a只有一解，当a=3时，h（x）=a有两解，当a＞3时，h（x）=a有三解．∴A（0）=?，A（1）=（﹣∞，3），A（2）={3}，A（3）=（3，+∞）．故选D．8.设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于两点，如果是等边三角形，则双曲线的离心率的值为（

）A．

B.

C．

D.参考答案：C略9.在等差数列{}中＞0，且，则的最大值等于

（▲）A．3

B．6

C．9

D．36参考答案：C10.已知集合A=则（CRA）B= A． B． C．

D．参考答案：B，所以,选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为．参考答案：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把x=代入导函数即可求出a的值，然后由曲线的方程求出曲线的导函数，把x=1代入导函数即可求出切线的斜率，把x=1代入曲线方程中即可求出切点的纵坐标，进而得到切点的坐标，根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可．【解答】解：由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3﹣2sin2x+2cos2x，且由y=x3，得到y′=3x2，则a==3﹣2sin+2cos=1，把x=1代入y′=3x2中，解得切线斜率k=3，且把x=1代入y=x3中，解得y=1，所以点P的坐标为（1，1），若P为切点则由点斜式得，曲线上过P的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．若P不为切点，则设切点为（m，n），切线斜率为3m2，则3m2=，n=m3，解得m=﹣，则切线方程为：3x﹣4y+1=0．故答案为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．12.若全集，集合，则

。参考答案：本题考查集合的运算，难度较小.因为，所以.13.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E、F分别为AC、PB的中点，，则球O的体积为______.参考答案：【分析】可证，则为的外心，又则平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.【详解】解：，，，因为为的中点，所以为的外心，因为，所以点在内的投影为的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，.故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．14.设函数是定义在R上的奇函数，且对的值为

。参考答案：15.(几何证明选做题)如图所示，、是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，，，则

___.

参考答案：16.曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．参考答案：略17.函数的值域为

.参考答案：.试题分析：由题意得，，∴设，∴，其中，，而，∴，故值域是，故填：.考点：1.函数的值域；2.三角换元.【思路点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)；⑥判别式法；⑦不等式法；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线经过点(0,1)，求实数a的值；（Ⅱ）求证：当时，函数在定义域上的极小值大于极大值。参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）利用导数求出曲线在点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程可求出实数的值；（Ⅱ）利用导数求出函数在定义域上极大值和极小值，注意极值点所满足的等式，比较两极值与零的大小关系，从而证明结论成立。【详解】解：（Ⅰ）由，得.所以，.所以由得：.（Ⅱ）当时，令，则.

及随的变化情况如下表：↘极小值↗

①下面研究在上的极值情况：因为，所以存在实数，使得且时，，即，在上递减；时，，即，在上递增；所以在上的极小值为，无极大值.②下面考查在上的极值情况：当时，；当时，令，则，令因为在上递减，所以，即综上，因为所以存实数且时，，即在上递减；时，，即在上递增；所以在上的极大值为，无极小值.又因为，且，所以。所以，当时，函数在定义域上的极小值大于极大值.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，意在考查学生对这些知识的掌握情况，考查分析问题的能力与理解能力，属于难题。19.（12分）已知函数，（1）当时，求函数在上的最大值；（2）求的单调区间；参考答案：解析：（1）∵

，∴==令，得=2，-----------3分当时，；当时，∴在区间上，=2时，最大=；-------------5分（2）∵，∴=

①当时，∴在的单调递增；-------6分②当时，==-----------7分由得：-----------9分由得：

又---------11分

∴的单调增区间，；减区间--------12分20.设椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：x3—24y0—4-

（1）求的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于不同两点且，请问是否存在这样的直线过抛物线的焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．参考答案：解：（1）设抛物线，则有，据此验证5个点知只有（3，）、（4，-4）在统一抛物线上，易求

2分

设，把点（-2，0）（，）代入得

解得

∴方程为

5分

（2）假设存在这样的直线过抛物线焦点（1，0）

设其方程为设，

由。得

7分

由消去，得△

∴

①

②

9分

将①②代入（*）式，得

解得

11分假设成立，即存在直线过抛物线焦点F

的方程为：

12分21.设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线L的方程，并证明：除点A外，曲线y=f（x）都在直线L的下方；（2）若函数h（x）=ex+f（x）在区间（1，3）上有零点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据函数的单调性判断即可；（2）问题转化为a=在x∈（1，3）上有实数根，设F（x）=，根据函数的单调性求出F（x）的最大值和最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a，∵f（1）=﹣a，∴L的方程是：y+a=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x﹣1，设p（x）=f（x）﹣（1﹣a）x+1=lnx﹣x+1，则p′（x）=，若x＞1，p′（x）＜0，若0＜x＜1，p′（x）＞0，故p（x）max=p（1）=0，p（x）≤0，∴f（x）≤（1﹣a）x﹣1，当且仅当x=1时“=”成立，故除点A外，切线y=f（x）都在直线L的下方；（2）h（x）=ex+f（x）在区间（1，3）上有零点，即a=在x∈（1，3）上有实数根，设F（x）=，则F′（x）=，设g（x）=ex（x﹣1）+1﹣lnx，则g′（x）=x（ex﹣），而y=ex﹣（x＞0）的零点在（0，1）上，且y＞0在（1，3）恒成立，∴g′（x）＞0，即g（x）在（1，3）上都在，∴g（x）＞g（1）=1，则F′（x）＞0在（1，3）上恒成立，∴F（x）在（1，3）上递增，故F（x）min=F（1）=e，F（x）max=F（3）=，∴F（x）∈（e，），故a∈（e，）．22.（本小题满分12分）已知函数，数列满足．（Ⅰ）若，求数列的前项和；（Ⅱ）记，，数列的前项和为，对于给定的正整数，如果恒为定值（与的变化无关），求的值．参考答案：解：（Ⅰ），∴为等比数列，公比∴，