湖南省衡阳市 衡山县师古中学高二数学文联考试题含解析

湖南省衡阳市衡山县师古中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一几何体的三视图如图所示,其中网格纸中每个小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为A.42+6π

B.42+10π

C.46+6π

D.46+10π参考答案：B原几何体是由一个半圆柱与长方体拼接而成，半圆柱的底面半径为2，高为3，长方体的长为4，宽为1，高为3，故该几何体的表面积为.

2.设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），在某项测量中，已知p（|ξ|＜1.96=0.950，则ξ在（﹣∞，﹣1.96）内取值的概率为（）A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975参考答案：D【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），得到正态曲线关于x=0对称，ξ在（﹣∞，1.96）内取值的概率为所给的范围外的概率的一半．【解答】解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），正态曲线关于x=0对称，P（|ξ|＜1.96）=0.950，∴ξ在（﹣∞，1.96）内取值的概率为（1+0.950）=0.975故选D．3.函数的值域是，则函数的值域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最小值．【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．5.一个电路板上装有甲、乙两根保险丝，甲保险丝熔断的概率为0.085，乙保险丝熔断的概率为0.074，两根同时熔断的概率为0.063，则至少有一根熔断的概率为（）A．0.159

B．0.085

C．0.096

D．0.074参考答案：C略6.△ABC的面积是，∠B是钝角，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．2 C． D．1参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】由题意和三角形的面积公式列出方程求出sinB，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B，由余弦定理列出式子化简后求出AC的值．【解答】解：∵△ABC的面积是，AB=1，BC=，∴，解得sinB=，∵∠B是钝角，∴B=，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2﹣2?AB?BC?cosB=1+2﹣2×=5，则AC=，故选C．7.在中，则边的值为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.函数的定义域是（

）A．[－2,0)∪(0,2)

B．(－2,0)∪(0,2)C．(－2,0)∪(0,2]

D．(－2,2)参考答案：B9.下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题C．命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“?x∈R，x2﹣x≤0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件参考答案：C【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．【分析】写出命题的逆命题，判断真假即可；利用或命题判断真假即可；利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断真假即可；利用充要条件的判定方法判断即可．【解答】解：对于A，命题“若am2＜bm2，则a＜b”（a，b，m∈R）的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”（a，b，m∈R），由于当m=0时，am2=bm2；故A是假命题；对于B，命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个是真命题，∴B不正确；对于C，命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“?x∈R，x2﹣x≤0”符合命题的否定性质，∴C正确；对于D，x∈R，则“x＞1”不能说“x＞2”，但是“x＞2”可得“x＞1”，∴D不正确；故选：C．10.下列说法正确的是（

）A．若且为假命题，则，均为假命题B．“”是“”的必要不充分条件C．若则方程无实数根D．命题“若，则”的逆否命题为真命题参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正四面体的棱长为2，半径为的球过点，为球的一条直径，则的最小值是

．参考答案：很明显当四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：，则是以点D为顶点的直角三角形，且：当向量反向时，取得最小值：.12.在极坐标系中，点P的距离等于____________。参考答案：13.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=

．ks5u

参考答案：略14.求值：

.参考答案：略10.设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：①若，则；

②若，则；③若，则；

④若，则．其中真命题是

▲

.（写出所有真命题的序号）参考答案：④16.命题“?x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是．参考答案：“?x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是：命题“?x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”．故答案为：“?x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”．17.已知函数在R上可导，函数，则_________________.参考答案：0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足．（1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？（2）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置．参考答案：（1）（2）点在的延长线上，且试题分析：（1）以分别为轴,建立关于轴,轴，建立空间直角坐标系,可得向量的坐标关于的表达式，而平面的法向量，可建立

关于的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角达到最大值；（2）根据垂直向量的数量积等于，建立方程组并解之可得平面的一个法向量为，而平面与平面所成的二面角等于向量所成的锐角，由结合已知条件建立的方程并解，即可得到的值，从而确定点的位置。（1）以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，∵，∴，则，易得平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角满足：（*），于是问题转化为二次函数求最值，而，当最大时，最大，所以当时，，此时直线与平面所成的角得到最大值．（2）已知给出了平面与平面所成的锐二面角为，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，．由，得，解得令，得，于是∵平面与平面所成的锐二面角为，∴解得，故点在的延长线上，且．19.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的直角坐标方程为.以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立直角坐标系,射线l的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）设点A，B分别为射线l与曲线上C1，C2除原点之外的交点，求的最大值.参考答案：（1），.（2）2.试题分析：（1）将曲线的参数方程（为参数）消去参数化为普通方程，再根据，可得曲线、的极坐标方程；（2）联立得，求得，再联立，得，求得，进而可求得的最大值.试题解析：（1）由曲线的参数方程（为参数）消去参数得，即，∴曲线极坐标方程为.由曲线直角坐标方程，，∴曲线的极坐标方程.（2）联立，得∴联立，得∴.∴.∵，∴当时，有最大值2.20.阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献．为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”他们的调查结果如下：

0项1项2项3项4项5项5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？

比较了解不太了解合计理科生

文科生

合计

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本．（ⅰ）求抽取的文科生和理科生的人数；（ⅱ）从10人的样本中随机抽取3人，用X表示这3人中文科生的人数，求X的分布列和数学期望．参考数据：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828，．参考答案：（1）见解析；（2）（ⅰ）文科生人，理科生人；（ⅱ）见解析.【分析】（1）根据已知数据填写列联表，根据公式计算可得，可知没有的把握；（2）（ⅰ）根据分层抽样的原则计算即可得到结果；（ⅱ）首先确定所有可能的取值为，根据超几何分布的概率公式可求得每个取值对应的概率，从而可得分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望.【详解】（1）依题意填写列联表如下：，没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关（2）（ⅰ）抽取的文科生人数是：人理科生人数是：人（ⅱ）的可能取值为则；；；其分布列为：【点睛】本题考查独立性检验的应用、分层抽样、服从超几何分布的离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题，属于常规题型.

21.已知条件p：≤﹣1，条件q：x2+x＜a2﹣a，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的解法、函数的性质分别化简命题p，q．对a分类讨论，利用简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：由解得p：﹣3≤x＜1，由x2+x＜a2﹣a得（x+a）[x﹣（a﹣1）]＜0，当时，可得q：?；当时，可得q：（a﹣1，﹣a）；当时，可得q：（﹣a，a﹣1）．由题意得，p是q的一个必要不充分条件，当时，满足条件；当时，（a﹣1，﹣a）?[﹣3，1）得，当时，（﹣a，a﹣1）?[﹣3，1）得．综上，a∈[﹣1，2]．22.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列，并