北京辛店中学高三数学理期末试题含解析

北京辛店中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积），，，，中值为正数的个数是A．1

B．

C．

D．参考答案：B2.已知函数在R上有极值点，则a的取值范围是（

）A．

B．(－∞,0)

C．

D．参考答案：D3.要得到y=sinx?cosx﹣cos2x+的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．左移 B．右移 C．左移 D．右移参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：要得到y=sinx?cosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象象右平移个单位即可，故选：D．4.函数的定义域为（）A．[0，+∞） B．（﹣∞，2] C．[0，2] D．[0，2）参考答案： D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的对数式大于等于0，分式的分母不等于0，列出不等式组，求解即可得答案．【解答】解：由，解得0≤x＜2．∴函数的定义域为：[0，2）．故选：D．5.已知数列的首项为1，数列为等比数列且，若.、则（

）A.20

B.512

C.1013

D.1024参考答案：D6.若函数，对任意实数x都有，则实数b的值为（

）A.－2和0 B.0和1 C.±1 D.±2参考答案：A由得函数一条对称轴为,因此,由得,选A.点睛：求函数解析式方法：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.（4）由求对称轴7.把函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于y轴对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）在区间（0，）单调递增参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得f（x）的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：把函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）的图象，显然，当x=时，f（x）=﹣1，为函数的最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（

）参考答案：A略9.设R，则“”是“”成立的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D略10.已知椭圆x2+(0＜b＜1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】分别求出线段FA与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＞0，与离心率计算公式即可得出．【详解】如图所示，线段的垂直平分线为：，线段的中点．∵，∴线段的垂直平分线的斜率．∴线段的垂直平分线方程为：，把代入上述方程可得：．∵，∴．化为：，又，解得．∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为__________；参考答案：答案：解析：设c=1，则12.（5分）（2014秋?衡阳县校级月考）已知函数f（x）=2+，则f（x）dx=．参考答案：π+4【考点】：定积分的简单应用．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：f（x）dx的几何意义是以（1，2）为圆心，1为半径的圆的面积，可得结论．解：∵y=2+，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=1（y≥2），∴f（x）dx的几何意义是以（1，2）为圆心，1为半径的圆的面积的一半加正方形面积，即π+4．故答案为：π+4．【点评】：本题考查定积分求面积，考查学生的计算能力，比较基础．13.若，，则的值等于________.参考答案：14.（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）则f（x）=．参考答案：2sin（x+）【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据图象求出A，T，求出ω，图象经过（0，1），求出φ，然后求f（x）的解析式解：（1）由题意可得：A=2，=2π，T=4π∴ω===，∴f（x）=2sin（x+φ）∴f（0）=2sinφ=1，由|φ|＜），∴φ=．（∴，故答案为：2sin（x+）【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力，视图能力，是基础题15.在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为

．参考答案：在直角坐标系中，的坐标是，点所在的直线的方程是，设的坐标是，则得解得的坐标是，它的极坐标是。16.已知直线l1：ax+y+3=0，l2：x+（2a﹣3）y=4，l1⊥l2，则a=

．参考答案：1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】利用两直线垂直，x，y系数积的和为0的性质求解．【解答】解：∵直线l1：ax+y+3=0，l2：x+（2a﹣3）y=4，l1⊥l2，∴a+（2a﹣3）=0，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查直线方程中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．17.在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（1）求的长，并证明平面；（2）若，试确定的值，使得到平面的距离为.参考答案：（Ⅰ）证明：因为，，，在△中，由余弦定理，得，所以，即C1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC1B1，BC1侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，又，所以C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC，BA，BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(，0，0)，C1(0，0，)，B1(，0，)，，，设平面的一个法向量为，则令，得，又解得或，∴当或时，C到平面的距离为．

19.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；O7：伸缩变换；Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2）∵代入C得∴设椭圆的参数方程为参数）则则的最小值为﹣4．20.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD＝1，，点E在棱AB上移动.

（1）若E为AB中点，求证：；

（2）若E为AB中点，求E到面的距离；

（3）AE等于何值时，二面角的大小为参考答案：解析：方法一：（1）证明：PD垂直于底面ABCD，在矩形ABCD中，AD＝1，，E为AB中点，可得，，，又……………4分

（2）设点E到平面的距离为h，由题设可得计算得

则……………8分（3）过D作，垂足为H，连则为二面角的平面角.设，在直角中，在直角中，在直角中，在直角中，，在直角中，因为以上各步步步可逆，所以当时，二面角的大小为……12分方法二：以Ｄ为原点，如图建立空间坐标系，有（1）证明：因为E是AB中点，有∵，，∴，所以……………4分（2）解：因为E是AB中点，有，

设平面的法向量为则也即，得，从而，点E到平面的距离………8分（3）设，平面的法向量为由令，得则于是（不合，舍去），即时，二面角的大小为…12分21.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长.参考答案：(1)证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E。∴AD∥EC

（2）设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①∵AD∥EC，∴②，由①②可得，或（舍去）∴DE=9+x+y=16，∵AD是⊙O2的切线，∴AD2=DBDE=9×16，∴AD=12。22.（2016?邵阳二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=，右焦点到右顶点的距离为﹣（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F1，F2为椭圆的左，右焦点，过F2作直线交椭圆C于P，Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意设椭圆方程，由e==，a﹣c=﹣，即可求得a和c的值，由b2=a2﹣c2=1，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）由当直线PQ斜率存在时，设直线方程为：x=ky+，代入椭圆方程，由韦达定理可知y1+y2，y1?y2，根据三角形的面积公式可知S=丨F1+F2丨?丨y1﹣y2丨=（丨PF1丨+丨F1Q丨+丨PQ丨）?r，求得r的表达式，根据基本不等式的关系，即可求得△PQF1的内切圆半径r的最大值．【解答】解：（1）由题意可知：设椭圆方程为：，（a＞b＞0），则e==，a﹣c=﹣，解得：a=，c=，由b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的方程为：；（2）由（1）可知：F1（﹣，0），F2（，1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），当PQ斜率不存在时，可得：r=，当PQ斜率存在时，设直线方程为：x=ky+，将直线方程代入椭圆方程，整理得：（k2+3）y2+2ky﹣0=0，由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，△PQF1面积S=丨F1+F2丨?丨y1﹣y2丨==，由S=（丨PF1丨+丨F1Q丨+丨PQ丨）?r=2a?r=2r，∴=2r，∴r==≤，当且仅当=时，即k=±1时，等号成立，∴内切圆半径的最大值为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积公式及基本不等式的关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016?邵阳二模）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【答案】【解析】【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的判断与证明；其他不等式的解法．【分析】（1）求出函数的导函数，对二次函数中参数a进行分类讨论，判断函数的单调区间；（2）根据（1），得出f（x0）的最大值，问题可转化为对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，构造函数h（a）=2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，根据题意得出m的范围，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，利用导函数，对m进行区间内讨论，求出m的范围．【解答】解：（I）f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，f'（x）=+2x﹣2a=，令g（x）=2x2﹣2ax+1，（i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当0＜a时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（i