湖南省益阳市沅江净下洲农场联校高三数学理摸底试卷含解析

湖南省益阳市沅江净下洲农场联校高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=﹣（cosx）1g|x|的部分图象是（）参考答案：A略2.右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（

）

(A)(B)(C)(D)参考答案：B略3.函数的一个对称中心是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由题意，由得，因此是一个零点，是一个对称中心．

4.数列的通项公式为，当该数列的前项和达到最小时，等于(

)(A)

（B）

(C)

(D)参考答案：A略5.等比数列中，，前三项和，则公比的值为（

）A．1

B．

C．1或D．－1或参考答案：C6.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率．解答： 解：区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=∴所求概率为P=故选：D．点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离小于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．7.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（A）（B）（C）8（D）4参考答案：D由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为，选D.8.已知x、y是正实数，满足的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：圆的参数方程；三角函数的恒等变换及化简求值．3794729专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：令z=＞0，利用基本不等式求得z2≥4+，当且仅当x=y时，等号成立．而由x2+y2=1可得

≥2，当且仅当x=y时，等号成立．故z2≥8，由此可得的最小值．解答：解：∵x2+y2=1，x、y是正实数，令z=＞0，则z2=++=++=2+++≥4+，当且仅当x=y时，等号成立．而由x2+y2=1可得1≥2xy，即

≥2，当且仅当x=y时，等号成立．故z2≥4+4=8，∴z≥2，当且仅当x=y时，等号成立．故的最小值为2，故选D．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，属于中档题．9.集合M={x||x﹣3|≤4}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．? D．{x|2≤x≤7}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】由已知中集合M={x||x﹣3|≤4}解绝对值不等式，可以求出M，N={y|y=}，根据函数的值域，可以求出N，进而代入集合的交集及其运算，求出M∩N．【解答】解：M={x||x﹣3|≤4}={x|﹣1≤x≤7}，对于N={y|y=}，必须有故x=2，所以N={0}M∩N=N={0}故选A10.已知曲线f（x）=ax2﹣2在横坐标为1的点p处切线的倾斜角为，则a=（）A． B．1 C．2 D．﹣1参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得导函数，利用曲线f（x）=ax2﹣2在横坐标为1的点p处切线的倾斜角为，可得f′（1）=1，由此可求a的值．【解答】解：求导函数可得f′（x）=2ax，∵曲线f（x）=ax2﹣2在横坐标为1的点p处切线的倾斜角为，∴f′（1）=1，∴2a=1，∴a=．故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则

.参考答案：-212.已知函数f（x）=x2+2x+a，g（x）=lnx﹣2x，如果存在x1∈[，2]，使得对任意的x2∈[，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，ln2﹣]

【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得g′（x）=﹣2=，x∈[，2]，g′（x）＜0，∴g（x）min=g（2）=ln2﹣4，∵f（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a﹣1，∴f（x）在[，2]上单调递增，∴f（x）min=f（）=+a，∵如果存在，使得对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，∴+a≤ln2﹣4，∴a≤ln2﹣故答案为（﹣∞，ln2﹣]【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为f（x）min≤g（x）min．13.已知,则=

.参考答案：14.函数的定义域是

．参考答案：15.已知函数若，则

.参考答案：或16.现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是

．（填写所有正确结论的编号）①所有纺织工都投了健康保险

②有些女工投了健康保险

③有些女工没有投健康保险

④工会的部分成员没有投健康保险参考答案：①②③17.在的二项展开式中，的系数为___________．参考答案：1120三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标中，过F（1，0）的直线FM与y轴交于点M，直线MN与直线FM垂直，且与x轴交于点N，T是点N关于直线FM的对称点．（1）点T的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）椭圆E的中心在坐标原点，F为其右焦点，且离心率为，过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，与椭圆交于P、Q两点，请问：是否存在直线使A、F、Q是线段PB的四等分点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设T（x，y），可知FM的斜率必存在，故设直线FN的方程为y=k（x﹣1），求出M（0，﹣k），N（﹣k2，0）），由T是点N关于直线FM的对称点，得T的坐标x，y满足．即可得曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）易得椭圆的方程为．假设存在直线l使A、F、Q是线段PB的四等分点，当直线l的斜率不存在或为0时，显然不满足题意．设直线l的方程为y=m（x﹣1）（m≠0）．由图形可知，必有2AF=FB．联立方程，利用韦达定理解得m=，再分别验证即可．【解答】解：（Ⅰ）设T（x，y），可知FM的斜率必存在，故设直线FN的方程为y=k（x﹣1）令x=0，得M（0，﹣k），∴当k≠0时，直线MN的方程为y+k=﹣．令y=0，得N（﹣k2，0）），∵T是点N关于直线FM的对称点∴T的坐标x，y满足．消去k得y=4x，当k=0时得T（0，0）．曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）椭圆E的中心在坐标原点，F为其右焦点，且离心率为，∴椭圆的方程为．假设存在直线l使A、F、Q是线段PB的四等分点，当直线l的斜率不存在或为0时，显然不满足题意．设直线l的方程为y=m（x﹣1）（m≠0）．由图形可知，必有2AF=FB．设A（x1，y1），B（x2，y2），由得my2﹣4y﹣4m=0；△=16+16m2＞0，∴，y1y2=﹣4；∵2AF=FB．∴，又∵，解得m=①当m=2时，直线l的方程为y=2（x﹣1）此时解得A（，﹣），B（2，2）．由，得P（，﹣），Q（，）．可得yB≠2yQ，∴点Q不是FB的中点，∴A、F、Q不是线段PB的四等分点．同理m=﹣2时，也可得A、F、Q不是线段PB的四等分点．综上不存在直线l使A、F、Q是线段PB的四等分点．

19.已知函数，其中。（1）讨论的单调性；（2）假定函数在点处的切线为l，如果l与函数的图象除外再无其它公共点，则称l是的一条“单纯切线”，我们称为“单纯切点”．设的“单纯切点”为，当时，求的取值范围．

参考答案：（1）当时，增区间是、，减区间是；

当时，在上为增函数；（2）．解：（1）当时，的定义域是，由，

（2分）令得，得，所以增区间是、，减区间是．

（2分）当时，则，，所以在上为增函数．

（2分）（2）由得，过的切线是．

（2分）构造，

（2分）显然，依题意，应是的唯一零点．

①如果，则，由，易看出在

为减函数，在上为增函数，故是唯一零点．

（1分）②如果，则有，由得，

（舍去），在为减函数，在上为增函数，故是唯一零点．

（1分）③如果，则由得．当时，，在为减函数，有，而时，在有零点，不合要求;当时，，在为减函数，有，同理得在有零点，不合要求；当时，，则，所以在为增函数，是唯一零点．

（2分）综上所述，的取值范围是．

（1分）

略20.（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．

（1）求的值；

（2）求的值．参考答案：（Ⅰ）由已知得：．

∵为锐角

∴．

∴．

∴．--------------------6分

（Ⅱ）∵

∴．

为锐角，

∴，

∴．-----------13分21.集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B?A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|?|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对?A∈D，记k=max|A|，f(k)=max（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．参考答案：【考点】子集与真子集．【分析】（Ⅰ）求出含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D，并计算此时的值；（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为Dk，（ⅰ）易知当D=D2时，达到最大值，求出f（2）的值即可；（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D''为k﹣1元或k元的子集，则求出，设D''有l（）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生个不同的k﹣1元子集，求出f（k）即可．【解答】解：（Ⅰ）含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D={?，{1}，{2}，{1，2}}…此时…（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为Dk，（ⅰ）易知当D=D2时，达到最大值，∴…（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D''为k﹣1元或k元的子集，则=…8分现设D''有l（）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生个不同的k﹣1元子集．由（ⅰ）得…22.(本小题满分13分)已知函数.（Ⅰ）若角的终边与单位圆交于点，求的值；（Ⅱ）若，求最小正周期和值域.参考答案：解：（Ⅰ）∵角的终边与单位圆交于点∴，，

………………2分∴

.