江苏省苏州市外国语学校高三数学文知识点试题含解析

江苏省苏州市外国语学校高三数学文知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论正确的是(

)A.若向量，则存在唯一的实数使得B.已知向量为非零向量，则“的夹角为钝角”的充要条件是“＜0”C.命题：若，则或的逆否命题为：若且，则D.若命题，则参考答案：C【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2若向量，，则存在唯一的实数λ使，故A不正确；

已知向量,为非零向量，则“,的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0，且向量,不共线”，故不正确；条件否定，结论否定，逆命题，可知C正确；

若命题p：?x∈R，x2-x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2-x+1≤0，故D不正确．【思路点拨】根据向量共线定理判断A，向量,为非零向量，则“,的夹角为钝角”的充要条件是“＜0，且向量,不共线”，可判断B，条件否定，结论否定，逆命题可判断C；命题p：?x∈R，x2-x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2-x+1≤0，可判断D．2.设等比数列中，前n项和为,已知，则A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为

A.

B.

C.

D.参考答案：D4.设集合M={x|x2+3x+2<0},集合,则M∪N=（

）A．{x|x-2} B．{x|x>-1} C．{x|x<-1} D．{x|x-2}

参考答案：A【知识点】集合及其运算A1∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|-2＜x＜-1}，集合N={x|()x≤4}={x|2-x≤22}={x|-x≤2}={x|x≥-2}，∴M∪N={x|x≥-2}，【思路点拨】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．5.若正数a，b满足，则的值为（

）A. B. C. D.1参考答案：D【分析】引入新元x，将a用x表示，b用x表示，a+b用x表示带入求出结果【详解】设，则【点睛】本题主要考查对数与对数函数。不能直接将a表示成b的关系式，因此考虑引入新元x.6.若向量与的夹角为120°，且，则有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.△ABC是边长为1的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】可作图，取BC边的中点D，并连接AD，从而可以得出，，从而有，这样即可求出和的值，从而便可找出错误的结论．【解答】解：A．如图，设边BC的中点为D，则：，；∴，∴该选项正确；B．∵，∴，∴该选项正确；C.；∴，∴该选项错误；D．AD⊥BC，由前面，∴，即，∴该选项正确．故选：C．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及数量积的计算公式，余弦函数的定义，向量数乘的几何意义，向量垂直的概念．8.已知复数z满足，则=

（

）

A．-2i

B．-2

C．2i

D．2参考答案：A9.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是

参考答案：B10.函数f（x）的导数为题f′（x）若函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f'（x）在区间（a，b）内无零点．命题P的逆命题，否命题，逆否命题中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】四种命题．【分析】可先判断出原命题与其逆命题的真假，根据四种命题的等价关系即可判断出真命题的个数．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）若函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f'（x）在区间（a，b）内无零点，故原命题为真正确，则逆否命题为真命题，其逆命题为：函数f（x）的导数f′（x），若f'（x）在区间（a，b）内无零点，则函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，逆命题也是真命题，由此可知命题的否命题也是真命题，因为原命题的逆命题与否命题是等价命题．综上可知：命题p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是3．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列{an}中，a1=1，a2a4=16，则a7=．参考答案：64【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质结合已知求得a3=4，进一步求得公比，再代入等比数列的通项公式求得a7．【解答】解：在等比数列{an}中，由a2a4=16，得，则a3=4（与a1同号），则，∴．故答案为：64．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．12.观察下列等式:…照此规律,第n个等式可为

.

参考答案：12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈）观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为（－1）n·，所以第n个式子可为12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈）[考点与方法]本题考查观察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示；3.表达完整性，不要遗漏了n∈13.向量，在正方形网格中的位置如图所示，设向量=﹣λ，若⊥，则实数λ=

．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由向量垂直的条件得到（﹣λ）?=0，求出向量AB，AC的坐标和模，再由数量积的坐标公式，即可求出实数λ的值．【解答】解：∵向量=﹣λ，⊥，∴=0，即（﹣λ）?=0，∴=λ∵，，∴=6，||=2，∴λ=．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示、向量垂直的条件、向量的模，考查基本的运算能力，是一道基础题．14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若g(x)＝f(x＋1)＋5，g′(x)为g(x)的导函数，对?x∈R，总有g′(x)>2x，则g(x)<x2＋4的解集为________.参考答案：(－∞，－1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)关于原点对称.又g(x)＝f(x＋1)＋5，故g(x)的图象关于点(－1，5)对称，令h(x)＝g(x)－x2－4，∴h′(x)＝g′(x)－2x，∵对?x∈R，g′(x)>2x，∴h(x)在R上是增函数.又h(－1)＝g(－1)－(－1)2－4＝0，∴g(x)<x2＋4的解集是(－∞，－1).

15.在极坐标系中,设曲线与的交点分别为、,则

.参考答案：16.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48ai=5M，则i=．参考答案：6【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}，设公差为d，则，解得a1=，d=，所以该金杖的总重量M==15，因为48ai=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案为：6．17.复数（i为虚数单位）的共轭复数是________．参考答案：复数,其共轭复数为,故填.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1=4，M是棱CC1上的一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若N是AB的中点，求证CN∥平面AB1M．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）通过证明BC⊥C1C，BC⊥AC，推出BC⊥平面ACC1A1，然后证明BC⊥AM．（2）取AB1的中点P，连接MP，NP，证明NP∥BB1，推出NP∥CM，然后证明CN∥平面AB1M．【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴C1C⊥平面ABC，∴BC⊥C1C，又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵AM在平面ACC1A1上，∴BC⊥AM．…（2）证明：取AB1的中点P，连接MP，NP，∵P为AB1中点，N为AB中点，∴NP为△ABB1的中位线，∴NP∥BB1，又∵C1C，B1B都是直三棱柱的棱，∴C1C∥B1B，∴MC∥B1B，∴NP∥CM，∴NPCM共面，∴CN∥平面AB1M…（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直的性质定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．19.某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标．参考答案：考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得圆形道的方程为x2+y2=502，点C的坐标为（0，250）．根据CP与圆O相切求得CP的斜率k的值，再根据两条直线垂直的性质求得OP的斜率，可得OP的方程，再根据CP、OP的方程，求得P点坐标．解答：解：由题意可得圆形道的方程为x2+y2=502，引伸道与北向道路的交接点C的坐标为（0，250）．设CP的方程为y=kx+250，由图可知k＜0．又CP与圆O相切，∴O到CP距离=50，解得k=﹣7，∴CP的方程为y=﹣7x+250①．又OP⊥CP，∴KOP?KCP=﹣1，∴KOP=﹣=．则OP的方程是：y=x②．由①②解得P点坐标为（35，5），∴引伸道所在的直线方程为7x+y﹣250=0，出口P的坐标是（35，5）．点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题．20.（本小题12分）已知函数，设

（1）是否存在唯一实数，使得，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由。（2）当时，恒成立，求正整数n的最大值。参考答案：解：（1）由得

则因此在内单调递增。……………4分因为，，即存在唯一的根，于是

……………6分（2）由得，且恒成立，由第（1）题知存在唯一的实数，使得，且当时，，；当时，，因此当时，取得最小值

……………9分由，得

即

于是

又由，得，从而，故正整数n的最大值为3。………12分21.某智能共享单车备有A，B两种车型，采用分段计费的方式营用A型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），B型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲乙丙三人，分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙不超过30分钟还车的概率分别为，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲乙均租用A型单车，丙租用B型单车.（1）求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；（2）设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.参考答案：解：（1）由题意，甲乙丙在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件,则；（2）随机变量所有可能取值有，则，，所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为所以22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参