黑龙江省哈尔滨市黑龙江农垦外国语中学高三数学理月考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市黑龙江农垦外国语中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数，则复数z的模等于

A．2

B．C．D．4参考答案：B略2.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C3.已知命题R，R，给出下列结论：

①命题“”是真命题

②命题“”是假命题

③命题“”是真命题

④命题“”是假命题其中正确的是（

）

A．②④

B．②③

C．③④

D．①②③参考答案：B4.三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=PB=PC=5，PA=BC若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，且球的表面积为34π，则棱PA的长为（）A．3 B． C． D．5参考答案：C【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设PA=t，依题意可将三棱锥补成长方体（如图），设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，由于球的表面积为34π，可得a2+b2+c2=34，所以，即可解得t【解答】解：设PA=t，依题意可将三棱锥补成长方体（如图），设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，长方体的外接球的半径R=由于球的表面积为4πR2=34π，可得a2+b2+c2=34，所以，解得，选C．5.阅读下面程序框图，则输出结果的值为(

)

A．

B．

C． D．参考答案：B略6.已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则△AFK的面积为

（A）4

（B）8

（C）16

（D）32参考答案：D略7.函数的大致图像是()参考答案：B略8.设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为(

) A． B． C． D．参考答案：B9.已知集合A={x|x=3n+1，n∈N}，B={6，7，8，9，10，11}，C=A∩B，则集合C的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】用列举法写出集合A，根据交集的定义写出A∩B，再写出它的子集个数．【解答】解：集合A={x|x=3n+1，n∈N}={1，4，7，10，13，…}，B={6，7，8，9，10，11}，C=A∩B={7，10}，则集合C的子集为?，{7}，{10}，{7，10}共4个．故选：B．10.已知定义在Ｒ上的函数的导函数是，且则不等式的解集为（）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数z满足（3+4i）z=1（i为虚数单位），则z的实部为

．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：∵（3+4i）z=1，∴（3﹣4i）（3+4i）z=3﹣4i，∴z=﹣i，∴z的实部为．故答案为：．12.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60o，则a+b在a方向上的投影为

．参考答案：2略13.已知函数的导数为，则

.参考答案：14.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为____________

参考答案：略15.复数的值为

参考答案：-416.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为10:8:7，按分层抽样从中抽取200名学生作为样本，若每人被抽到的概率是0.2，则该校高三年级的总人数为_________参考答案：28017.如右图，从圆外一点引圆的割线和，过圆心，已知，则圆的半径等于

．参考答案：设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（I）求函数的解析式及的取值范围；（II）求函数的最大值.参考答案：（I）由已知可得，所以点的横坐标为,因为点在点的左侧，所以，即.由已知，所以，

所以所以的面积为.--（II）

由，得（舍）,或.

函数与在定义域上的情况如下：2+0↗极大值↘

所以当时，函数取得最大值8.19.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∠FGE=∠BAF，证明∠EFG=∠FGE，即可证明：△EFG为等腰三角形；（2）求出EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，即可求线段MG的长．【解答】（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∴∠FGE=∠BAF∵EF⊥OF，∴∠EFG=∠BAF，∴∠EFG=∠FGE∴EF=EG，∴△EFG为等腰三角形；（2）解：由AB=10，CD=8可得OM=3，∴ED=OM=4EF2=ED?EC=48，∴EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，∴MG=EM﹣EG=8﹣4．20.已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若?x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，可得，即可求实数a的值；（Ⅱ）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若?x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m成立，只需4m+m2＞fmin（x），解出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2，∵f（x）≤2的解集为[0，4]，∴，∴a=2．（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，∵?x0∈R，使得，即成立，∴4m+m2＞[f（x）+f（x+5）]min，即4m+m2＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．21.已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）令f′（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可得f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．对a分类讨论即可得出．【解答】解：（1）=．∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即，解得a=0．又当a=0时，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．①当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为．∵a＞0，，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．∵a＞0，∴．综上所述，a的取值范围为．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．22.（12分）已知如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD：DC：BC=。（1）证明BC⊥平面PDC；（2）求二面角D—PB—C的正切值；（3）若，求证：平面PAB⊥平面PBC。参考答案：解析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。（1）解：由PD⊥平面ABCD，平面ABCD，得PD⊥BC由AD⊥DC，AD//BC，得BC⊥DC又，则BC⊥平面PDC（3分）（2）解：取PC中点E，连DE，则DE⊥PC由BC⊥平面PDC，平面PBC得平面PDC⊥平面PBC

∴DE⊥平面PBC作EF⊥PB于F，