湖南省衡阳市蒸北中学高三数学理测试题含解析

湖南省衡阳市蒸北中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合，，那么集合（）

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.若等边的边长为，平面内一点满足，则(

)A.

B.

C．

D．参考答案：C3.函数在区间上单调递增，则的取值范围是

（

）A．

B.

C．

D．参考答案：A【知识点】函数的单调性解析：令，所以当a＞0时，函数在上单调递减，在上单调递增，若函数在所给区间上单调递增，则，得0＜a≤1，当a=0时显然满足题意，当a＜0时，函数在R上单调递增，由得，则函数在上单调递减，在上单调递增，则有，得-1≤a＜0，综上可知实数a的范围是.【思路点拨】含绝对值的函数的单调性，可考虑先分段讨论去绝对值再判断单调性，也可直接判断绝对值内部对应的函数的单调性进行解答.4.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A5.若且，则()．参考答案：B6.已知，则（

）A.B.C.D.-参考答案：C=,7.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A8.将函数的图象向左平移个单位（），是所得函数的图象的一个对称中心，则的最小值为(

).A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.已知函数

,若则实数的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：10.设，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C,,所以，所以，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（3分）（2008?天津）若一个球的体积为，则它的表面积为．参考答案：12π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．解答：由得，所以S=4πR2=12π．点评：本题考查学生对公式的利用，是基础题．12.设集合，如果满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合A的一个聚点，则在下列集合中：

（1）（2）（3）（4）

以0为聚点的集合有

（写出所有你认为正确结论的序号）参考答案：（2），（3）13.函数y=f(x)=x3＋ax2＋bx＋a2，在x=1时，有极值10，则a=

,b=

。参考答案：

a=4

b=－1114.设定义在上的函数满足，若，则参考答案：略15.如左下图所示，是某校高三年级文科60名同学参加谋科考试所得成绩（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，根据该图这次考试文科60分以上的同学的人数为____________.参考答案：45略16.已知函数f（x）=x3对应的曲线在点（ak，f（ak））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（ak+1，0），若a1=1，则=

．参考答案：3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令y=0，结合等比数列的定义可得，数列{an}是首项a1=1，公比的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值．解答： 解：由f'（x）=3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y=0得，故数列{an}是首项a1=1，公比的等比数列，又=，所以．故答案为：3．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，同时考查等比数列的定义和求和公式，运用点斜式方程求得切线方程是解题的关键．17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．直线A1E与GF所成角等于__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）设P表示幂函数在（0，+∞）上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∩Q；（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式．参考答案：【考点】交集及其运算；并集及其运算；幂函数的性质；不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】（1）根据幂函数的性质得到幂函数为增函数时，指数大于0，求出解集即可得到P；因为不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立，即只需找到不等式|x﹣1|+|x﹣2c|的最小值即可求出c的范围得到Q，然后求出P∩Q；（2）根据（1）求出的P∩Q，可以举例为解集为P∩Q的一个不等式即可．【解答】解：（1）∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，∴c2﹣5c+6＞0，即P=（﹣∞，2）∪（3，+∞），又不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立，∴|2c﹣1|＞1，即Q=（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴P∩Q=（﹣∞，0）∪（1，2）∪（3，+∞）．（2）一个解集为P∩Q的不等式可以是x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．【点评】考查学生掌握幂函数的增减性，理解函数恒成立时所取的条件，以及会求集合并集的运算．本题第二问是开放性题目，答案不唯一，考查学生发散思维的能力．19.（本小题满分12分）已知锐角△ABC面积为S，∠A,∠B,∠C所对边分别是a,b,c，∠A,∠C平分线相交于点O,且，求：（1）∠B的大小；（2）△AOC周长的最大值.

参考答案：解：（1）

故：.

..............4分（2）设周长为，，则，.............6分由正弦定理得，

=

…………10分

当时，周长的最大值为.

…………12分

20.已知函数，.（1）当a=1时，求函数的极值；（2）若存在与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线，求实数a的取值范围.参考答案：（1）函数的定义域为．当时，，所以，所以当时，，当时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以当时，函数取得极小值为，无极大值．（2）设函数上点与函数上点处切线相同，则，故，所以，代入，得设，则，不妨设则当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，代入可得：，设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又，所以当时，即当时,又当时，，14分因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．又由得：，所以单调递减，因此，所以实数的取值范围是．

21.已知函数，（1）利用函数单调性定义证明：在(1,+∞)上单调递增；（2）设函数，求在[1,2]上的最大值．参考答案：（1）略（2）当时，；当时，.22.（本小题满分13分）如图5，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知，.（1）求证：OD//平面VBC；（2）求证：AC⊥平面VOD；（3）求棱锥的体积.参考答案：(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3)试题分析：(1)要证明面VBC,只需要在面内找到一条线段与平行即可,根据题目条件分析可得平行于面VBC内的线段BC,在三角形ABC中根据D,O是线段AC,AB的中点,即可得到OD为三角形BC边的中位线,