2021年全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类

全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（——）第五届全国大学生数学竞赛初赛试卷（非数学类）解答下列各题（每小题6分共24分，规定写出重要环节）1.求极限.解由于……（2分）；原式………………………(2分)；……(2分)2.证明广义积分不是绝对收敛解记，只要证明发散即可。……（2分）由于。…………（2分）而发散，故由比较鉴别法发散。……（2分）3.设函数由拟定，求极值。解方程两边对求导，得………………（1分）故，令，得或………（2分）将代入所给方程得，将代入所给方程得，…………………（2分）又，故为极大值，为极小值。…………（3分）4.过曲线上点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成平面图形面积为，求点A坐标。解设切点A坐标为，曲线过A点切线方程为……………（2分）；令，由切线方程得切线与轴交点横坐标为。从而作图可知，所求平面图形面积，故A点坐标为。……………………（4分）二、（满分12）计算定积分解…………………（4分）……（2分）……………（4分）…………………（2分）三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且。证明：级数收敛。解由于在处可导必持续，由得…………（2分）……（2分）由洛必塔法则及定义…（3分）因此……………（2分）由于级数收敛，从而由比较鉴别法极限形式收敛。……（3分）四、（满分12分）设，证明解由于，因此在上严格单调增，从而有反函数………………（2分）。设是反函数，则………（3分）又，则，因此…（3分）…（2分）五、（满分14分）设是一种光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型曲面积分。试拟定曲面，使积分I值最小，并求该最小值。解记围成立体为V，由高斯公式……………（3分）为了使得I值最小，就规定V是使得最大空间区域，即取，曲面……（3分）为求最小值，作变换，则，从而……（4分）使用球坐标计算，得……（4分）六、（满分14分）设，其中为常数，曲线C为椭圆，取正向。求极限解作变换（观测发现或用线性代数里正交变换化二次型办法），曲线C变为平面上椭圆（实现了简化积分曲线），也是取正向…（2分）并且（被积表达式没变，同样简朴！），………………（2分）曲线参数化，则有，…（3分）令，则由于，从而。因而当时或时………（2分）而…（3分）。故所求极限为……………（2分）七（满分14分）判断级数敛散性，若收敛，求其和。解（1）记由于充分大时…………（3分）因此，而收敛，故收敛…（2分）（2）记，则=………………（2分）=…（2分）=………（2分）由于，因此，从而，故。因而。（也可由此用定义推知级数收敛性）……………（3分）第三届全国大学生数学竞赛初赛试卷（非数学类）一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，规定写出重要环节。）（1）.求；解：办法一（用两个重要极限）：办法二（取对数）：（2）.求；解：办法一（用欧拉公式）令其中，表达时无穷小量，办法二（用定积分定义）（3）已知，求。解：二．（本题10分）求方程通解。解：设，则是一种全微分方程，设办法一：由得由得办法二：该曲线积分与途径无关三．（本题15分）设函数f(x)在x=0某邻域内具备二阶持续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。证明：由极限存在性：即，又，①由洛比达法则得由极限存在性得即，又，②再次使用洛比达法则得③由①②③得是齐次线性方程组解设，则，增广矩阵，则因此，方程有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意，且。四．（本题17分）设，其中，，为与交线，求椭球面在上各点切平面到原点距离最大值和最小值。解：设上任一点，令，则椭球面在上点M处法向量为：在点M处切平面为：原点到平面距离为，令则，当前求在条件，下条件极值，令则由拉格朗日乘数法得：，解得或，相应此时或此时或又由于，则因此，椭球面在上各点切平面到原点距离最大值和最小值分别为：，五．（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成椭球面上半某些（）取上侧，是S在点处切平面，是原点到切平面距离，表达S正法向方向余弦。计算：（1）；（2）解：（1）由题意得：椭球面S方程为令则，切平面法向量为，方程为，原点到切平面距离将一型曲面积分转化为二重积分得：记(2)办法一：办法二（将一型曲面积分转化为二型）：记，取面向下，向外，由高斯公式得：，求该三重积分办法诸多，现给出如下几种常用办法：先一后二：②先二后一：③广义极坐标代换：六．（本题12分）设f(x)是在内可微函数，且，其中，任取实数，定义证明：绝对收敛。证明：由拉格朗日中值定理得：介于之间，使得，又得级数收敛，级数收敛，即绝对收敛。七．（本题15分）与否存在区间上持续可微函数f(x)，满足，？请阐明理由。解：假设存在，当时，由拉格朗日中值定理得：介于0，x之间，使得，同理，当时，由拉格朗日中值定理得：介于x，2之间，使得即，显然，，又由题意得即，不存在，又由于f(x)是在区间上持续可微函数，即存在，矛盾，故，原假设不成立，因此，不存在满足题意函数f(x)。第二届全国大学生数学竞赛初赛试卷（非数学类）第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解：令，则，，（*）令，则，，，2．设是持续函数，且满足，则____________.解：令，则，,解得。因而。3．曲面平行平面切平面方程是__________.解：因平面法向量为，而曲面在处法向量为，故与平行，因而，由，知，即，又，于是曲面在处切平面方程是，即曲面平行平面切平面方程是。4．设函数由方程拟定，其中具备二阶导数，且，则________________.解：方程两边对求导，得因，故，即，因而二、（5分）求极限，其中是给定正整数.解:因故因而三、（15分）设函数持续，，且，为常数，求并讨论在处持续性.解：由和函数持续知，因，故，因而，当时，，故当时，，这表白在处持续.四、（15分）已知平面区域，为正向边界，试证：（1）；（2）.证:因被积函数偏导数持续在上持续，故由格林公式知（1）而关于和是对称，即知因而（2）因故由知即五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程三个解，试求此微分方程.解设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程解，因而特性多项式是，而特性多项式是因而二阶常系数线性齐次微分方程为，由和，知，二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形面积为.试拟定,使此图形绕轴旋转一周而成旋转体体积最小.解因抛物线过原点，故，于是即而此图形绕轴旋转一周