河南省许昌市长葛第三高级中学高三数学文模拟试卷含解析

河南省许昌市长葛第三高级中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()A.10 B.50 C.60 D.140参考答案：C从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C2.已知x，y满足约束条件且目标函数的最大值为-6，则的取值范罔是

A.

B.

C.

D.参考答案：C3.对可导函数,当时恒有.若已知是一个锐角三角形的两个内角,且,记.则下列等式正确的是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（

）A．2 B． C．

D．3参考答案：D5.设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的部分图象为(

)参考答案：B略6.已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]参考答案：B【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．7.已知函数是偶函数，在内单调递减，则实数=（

）A.2

B.

C.

D.0参考答案：B略8.已知实数a，b，c，d成等差数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点坐标为（b，c），则a+d等于(

)A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值；数列与函数的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】先求导数，得到极大值点，从而求得b，c，再利用等差数列的性质求解．【解答】解：∵曲线y=3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，令3﹣3x2=0，则x=±1，经检验，x=1是极大值点．极大值为2．∴b=1，c=2，b+c=3．又∵实数a，b，c，d成等差数列，由等比数列的性质可得：a+d=b+c=3．故选：D．【点评】本题主要考查求函数极值点及数列的性质的应用，考查计算能力．9.若是偶函数，且当x∈时，，则的解集是（

）

A．{|－1<<0} B．{|<0或1<<2}C．{|0<<2} D．{|1<<2}参考答案：C略10.函数的图象大致为参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=3x2+2x+1，若成立，则a=___________。参考答案：a=-1或a=-12.已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为

▲

.参考答案：13.对于的命题，下面四个判断：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确命题的序号为_____________．参考答案：③④14.已知等比数列为递增数列，且则．参考答案：15.等差数列各项为正,且,则公差

.参考答案：略16.已知命题“”，命题“”，若命题均是真命题，则实数的取值范围是________．参考答案：略17.的展开式中的系数为

.(用数字作答)参考答案：80三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在直线上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn．参考答案：考点：等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题设知，﹣1，得﹣1（n∈N*，n≥2），两式相减可得数列递推式，由此可判断数列{an}为等比数列，从而可得其通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得an+1，an，根据等差数列的通项公式可得dn，从而可得，令，，利用错位相减法即可求得Tn；解答： 解：（Ⅰ）由题设知，﹣1，得﹣1（n∈N*，n≥2），两式相减得：，即an=3an﹣1（n∈N*，n≥2），又S1=得a1=2，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为an+1=an+（n+1）dn，所以，所以=，令，则①，②，①﹣②得﹣==，∴；点评：本题考查数列的函数特性、由数列递推式求通项公式、等差数列及错位相减法求数列的前n项和，考查学生综合运用知识解决问题的能力，综合性较强，能力要求较高．19.在数列{an}中，已知a1=，an+1=an﹣，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．（1）求证：数列{3nan}是等差数列；（2）求Sn；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．参考答案：【分析】（1）把给出的数列递推式an+1=an﹣，n∈N*，变形后得到新数列{3nan}，该数列是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）推出{an}的通项公式，利用错位相减法从而求得求Sn；（3）根据等差数列的性质得到2Sq=Sp+Sr，从而推知p，q，r的值．【解答】（1）证明：由an+1=an﹣，n∈N*，得到3n+1an+1=3nan﹣2，则3n+1an+1﹣3nan=﹣2．又∵a1=，∴3×a1=1，数列{3nan}是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）可以推知：3nan=1﹣2（n﹣1），所以，an=，所以Sn=﹣﹣﹣﹣…﹣，①Sn=﹣﹣﹣﹣…﹣，②①﹣②，得Sn=﹣2（+++…+）﹣，=﹣2×﹣，=，所以Sn=．（3）假设存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列．则2Sq=Sp+Sr，即=+．由于当n≥2时，an=＜0，所以数列{Sn}单调递减．又p＜q，所以p≤q﹣1且q至少为2，所以≥，﹣=．①当q≥3时，≥≥，又＞0，所以＜+，等式不成立．②当q=2时，p=1，所以=+．所以=，所以r=3，（数列{Sn}单调递减，解唯一确定）．综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是长边为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：I、III、V为绿化区域（图中阴影部分），II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）（1）若经过圆心，求点到的距离；（2）设，.①试用表示的长度；②当为何值时，绿化区域面积之和最大.参考答案：以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.（1）直线的方程为，半圆的方程为（）,由得.所有，点到的距离为.(2)①由题意，得.直线的方程为，令，得.直线的方程为，令，得.所有，的长度为，.②区域IV、VI的面积之和为，区域II的面积为，所以（）.设，则，，当且仅当，即时“=”成立.所有，休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为.答：当时，绿化区域I、III、V的面积之和最大.21.（本小题满分15分）已知椭圆椭圆：.定义圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于另一点.求证：为定值.参考答案：解：（Ⅰ）。椭圆方程为，…………2分准圆方程为.

…………4分（Ⅱ）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆有一个公共点的直线为，所以由消去，得.因为椭圆与只有一个公共点，所以，解得.

…………7分所以方程为.

…………8分⑵①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直.

…………10分②当都有斜率时，设点，其中.设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则消去，得.由化简整理得：.…………12分因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直.

…………14分综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4.

……15分22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD?平面PAD，