2023-2024学年浙江省金华一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省金华一中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数1−i的虚部为(

)A.1 B.−1 C.i D.2.已知向量a=(t,1),A.−2 B.−1 C.1 3.△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，则“AA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是(

)A.若m⊂α，n/​/β，m，n是异面直线，则α，β相交

B.若m⊥α，m⊥β，n/​/α，则n/​/β

C.若m⊂α，n/​/5.向量a=(6,2)A.(2,−1) B.(16.侧面积为2π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为(

)A.2155 B.155 7.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且A.823π B.6428.△ABC中，已知(AB|ABA.三边互不相等的三角形 B.等边三角形

C.等腰直角三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.平面向量a，b是不共线的向量，则下列正确的是(

)A.|a+b|=|a|+10.已知z1，z2∈CA.|z1+z2|=|z11.下面有关三角形的命题正确的是(

)A.若△ABC的面积为34(a2+c2−b2)，则∠B=π3

B.在△ABC中，A=30°，b=2，a=2.则这样的三角形有且只有一个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设x，y∈R，若x+(y−1)i13.如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°

14.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在复平面内，点A，B对应的复数分别是2+3i，1+2i(其中i是虚数单位)，设向量BA对应的复数为z．

(1)求复数z；

(2)求|16.(本小题15分)

如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF//CD，FB=FD．

(Ⅰ)若17.(本小题15分)游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C；另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.(1)求索道(2(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过318.(本小题17分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．

(1)证明：AP⊥BC；

(2)已知BC19.(本小题17分)

△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，a+b+c=6，b2=ac．

(1)求角B答案和解析1.【答案】B

【解析】解：复数1−i的虚部为−1．

故选：B．

2.【答案】B

【解析】解：∵a⊥b，

∴a⋅b=t(t+2)+1=03.【答案】C

【解析】解：△ABC中，当A=π3时，cosA=12，

若cosA=14.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．

根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．

【解答】

解：A.α//β时，m⊂α，n/​/β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；

B.若m⊥α，m⊥β，则α/​/β，因为n/​/α，则n/​/β或n⊂β，故B5.【答案】C

【解析】解：向量a=(6,2)，b=(2,−1)，

则a⋅b6.【答案】D

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl=2π，

由侧面展开图是一个半圆，则2πr=πl，

解得l=2，r=1，

所以圆锥的底面半径为1．7.【答案】A

【解析】解：由三条侧棱两两垂直可知，

该三棱锥为长方体一角，

其外接球即为长方体的外接球，

外接球直径即为长方体体对角线长，

即2R=PA2+PB2+PC2=8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查三角形形状的判断，考查角平分线、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

根据AB|AB|+AC|AC|表示的向量在∠BAC的角平分线上，同时利用(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，推断出∠BAC的角平分线垂直于边BC，进而可推断出三角形为等腰三角形，同时根据向量积公式及AB|AB|⋅BC|BC9.【答案】CD【解析】解：已知平面向量a，b是不共线的向量，

设平面向量a，b的夹角为θ，

则θ∈(0,π)，

则cosθ∈(−1,1)，

即−|a||b|<a⋅b<|a||b|，

对于选项A，|a+b|2−(|a|+|b|)2=2(a⋅b10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查复数的模，共轭复数，复数的运算，还考查了逻辑推理能力，属于中档题．

由复数的模，共轭复数，复数的运算等知识逐一判断各选项即可．【解答】

解：设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，

对于A，|z1+z2|=|(a+c)+(b+d)i|=(a+c)2+11.【答案】AC【解析】解：选项A，由题意知，S=12acsinB=34(a2+c2−b2)，

整理得a2+c2−b2=23acsinB，

由余弦定理知，a2+c2−b2=2accosB，

所以tanB=3，

因为B∈(0,π)，

所以B=π3，即选项A正确；

选项B，由正弦定理asinA=bsinB，

所以2sin30°=2sinB，解得sinB=22，

因为B∈(0,π)，

所以B=45°或135°，即满足条件的三角形有2个，故选项B错误；

选项C，因为sinA：sinB：sinC=4：5：6，由正弦定理可得a：b：c=4：5：6，12.【答案】7

【解析】解：由题意，x=3，y−1=x，解得x=3，y=4，则13.【答案】2+【解析】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A′B′=2，下底为BC=1+214.【答案】3【解析】解：如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点M满足BM/​/平面AD1C，

由面面平行的性质可得，当BM始终在一个与平面AD1C平行的平面内时，即满足题意，

过点B作与平面AD1C平行的平面，连接A1B，BC1，A1C1，

因为A1A/​/C1C，且A1A=C1C，

所以四边形A1C1CA是平行四边形，

所以A1C1/​/AC，

又因为A1C1⊄平面A15.【答案】解：(1)因为点A，B对应的复数分别是2+3i，1+2i，

所以A(2,3)，B(1,2)，

所以BA=(1,1)，故z=1+i．【解析】(1)根据复数与点的对应及向量的坐标运算得解；

(2)根据复数的乘法运算、乘法运算及模的运算得解；

16.【答案】解：(Ⅰ)证明：取AD的中点M，连接OM、FM，

∵对角线AC与BD的交点为O，

∴OM/​/CD，OM=12CD．

∵EF/​/CD，CD=2EF，

∴OG//EF，OG=EF，

∴OMFE为平行四边形，

∴OE//FM．

∵FM⊂平面AD【解析】(I)取AD中点M，证明四边形OMFE是平行四边形得出OE//FM，故而OE/​/平面FAD；17.【答案】解：(1)在△ABC中，因为cosA=1213，cosC=35，

所以sinA=513，sinC=45，

从而sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC=513×35+1213×45=6365

由正弦定理ABsinC=ACsin【解析】此题考查解三角形的实际应用，属于中档题型．

(1)根据同角三角函数的关系和两角和的正弦公式求得A，B，C的正弦值，根据正弦定理即可确定出AB的长；

(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，由余弦定理可得d2关于t的函数，在定义域内利用二次函数的性质求得最小值；

(3)利用正弦定理求得BC18.【答案】解：(1)证明：∵PO⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，

∴BC⊥PO，又AB=AC，D为BC的中点，

∴BC⊥AD，又PO∩AD=O，且PO，AD⊂平面PAD，

∴BC⊥平面PAD，又AP⊂平面PAD，

∴AP⊥BC；

(2)①由(1)可知BC⊥平面PAD，

∴直线PB与平面PAD所成角为∠BPD，∴sin∠BPD=23，

又易知BD=4，∴PB=BDsin∠BPD=423=6，∴PD=62−42=25，

【解析】(1)根据线面垂直的判定定理与性质，即可证明；

(2)①根据线面角的概念