2023-2024学年广东省东莞第二高级中学高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省东莞第二高级中学高一（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=1−i2A.−i B.i C.0 D.2.已知单位向量a，b满足a⊥b，则a⋅A.0 B.12 C.1 D.3.如图，在太极图中，A，B分别为太极图中的最低点和最高点，AB经过大圆和小圆的圆心，且两个小圆的圆心是线段AB的两个四等分点(异于AB中点)，过A作黑色小圆的切线，切点为C，则向量AB在向量ACA.6AC

B.4AC

C.4.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a,b}表示c，则(

)A.c=3a−2b B.c5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA.锐角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形6.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且S=34(b2A.213 B.393 C.7.如图，已知△ABC与△AMN有一个公共顶点A，且MN与BC的交点O平分BC，若AA.4

B.3+22

C.

8.在扇形OAB中，OA=2，∠AOB=90°，M是A.0 B.2 C.4−3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(−2,1A.若a⊥b，则t的值为−2

B.若a/​/b，则t的值为12

C.若0<t<10.在△ABC中，A=π3，AA.3 B.23 C.11.已知△ABC的外心是O，其外接圆半径为1，设OAA.若λ=−1，μ=0，则△ABC为直角三角形

B.若λ=μ=−1，则△ABC为正三角形

C.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设z=1−i22(i为虚数单位)，则13.(易线性表示)设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka+2b与8a+k14.神舟十三号三位航天英雄在太空出差180余天后，顺利返回地面．如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻位于点C，预计垂直落在地面点D处，在地面同一水平线上的A、B两个观测点，分别观测到点C的仰角为15°，45°，若|AB|=24千米，则点C距离地面的高度|CD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z=bi(b(1)求复数(2)若复数(m+16.(本小题15分)

已知向量a，b的夹角为60°，且a=(1,0)．

(1)若|b|=17.(本小题15分)

在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinC+asinA=bs18.(本小题17分)

如图所示，为了测量河对岸地面上A，B两点间的距离，某人在河岸边上选取了C，D两点，使得CD⊥AB，且CD=500(米)现测得∠BCD=α，∠BDC=β，∠ACD=19.(本小题17分)

阅读材料：

材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为S=14[a2c2−(c2+a2−b22)2].这个公式称之为秦九韶公式．

材料二：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》；中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12(a+b+c)，这个公式称之为海伦公式．

材料三：秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边直接求三角形面积的问题海伦公式形式优美，容易记忆，体现了数学的对称美秦九韶公式虽然与海伦公式形式不一样，但与海伦公式完全等价，且由秦九韶在不借助余弦定理的情况下独立推出，充分说明了我国古代学者具有很高的数学水平．

材料四：印度数学家婆罗摩笈多将海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)中，即设凸四边形的四条边长分别为a，b，c，d，p=12(a+b+c+d)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：z=1−i2+2i=12⋅1−i1+2.【答案】C

【解析】解：因为单位向量a，b满足a⊥b，则a⋅(a−b)=3.【答案】B

【解析】解：如图，记下方小圆圆心为O1，由题意，

有AB=4AO1，由AC与圆O1相切，可得O1C⊥AC，

故AO1在AC上的投影向量为AC4.【答案】A

【解析】解：建立如图直角坐标系，则a=(1,1)，b=(−2,3)，c=(7,−3)，

设c=xa+yb，

则x−2y=7x5.【答案】C

【解析】解：若bcosC+ccosB=asinA，

则sinBcosC+sinCcos6.【答案】D

【解析】解：由S=34(b2+c2−a2)得

12bcsinA=34⋅b2+c2−a22bc⋅2bc=32bccosA，

即：s7.【答案】C

【解析】解：因为O为BC的中点，且AB=mAM，AC=nAN，

所以AO=12(AB+AC)=12AB+12AC=m2AM+n2AN，8.【答案】D

【解析】解：如图，以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，OB的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，

则M(1,0)，B(0,2)，设P(2cosθ,2sinθ)，θ∈[0,π2]，

于是PM=9.【答案】AB【解析】解：对于A：若a⊥b，则a⋅b=−2×(−1)+1×t=0，解得t=−2，故A正确；

对于B：若a/​/b，则−2t=−1×1，解得t=12，故B正确；

对于C：当t=12时，a与b同向，此时a与b的夹角为0°，故C错误；

对于D：若(a+b)⊥(a−10.【答案】BD【解析】解：△ABC中，A=π3，AB=4，

由正弦定理得asinA=csinC，即a32=4sinC，

所以sinC=23a，

当11.【答案】AB【解析】解：对于A、若λ=−1，μ=0，则OA=−OB，∴O是AB的中点，

又O是△ABC的外心，∴△ABC为直角三角形，故A正确；

对于B、若λ=μ=−1，则OA+OB+OC=0，

∴O是△ABC的重心，又O是△ABC的外心，∴△ABC为等边三角形，故B正确；

对于C、若λ=−32，μ=−2，则OA=−32OB−2OC，

∴OA2=94OB2+4OC2+6OB⋅OC，得OB⋅OC=−712.【答案】i；【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的混合运算，i的幂的运算，是基础题．

利用复数的四则运算，共轭复数的概念，复数i的幂的运算逐一化简即可．

【解答】

解：z=1−i22=−2i2=−13.【答案】−4【解析】解：向量ka+2b与8a+kb的方向相反，可得ka+2b=t(8a+kb)(t<14.【答案】12(【解析】解：设x=|CD|，则|AD|=xtan15∘,|BD|=x，

所以|AB|=|15.【答案】解：(1)因为z=bi(b∈R)，

所以z−21+i=bi−21+i=(bi−2)(1−i)(1+【解析】本题考查了复数的运算法则、复数的性质、复数为实数的充要条件、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，(1)z=bi(b∈R)，代入z−21+16.【答案】解：(1)根据题意，设b=(x,y)，则x2+y2=4，

a=(1,0)，则|a|=1，

又由向量a，b的夹角为60°，

则a⋅b=|a【解析】(1)根据题意，设b=(x,y)，由数量积的计算公式可得a⋅b=|a||b17.【答案】解：(1)根据正弦定理可得：2bc=b2+c2−a2，

又b2+c2−a2=2bccosA，

∴c【解析】(1)由已知结合余弦定理可求cosA，进而可求A；

(18.【答案】解：(1)∵cosα=35,α为锐角，∴sinα=45

∵tanβ=2，β锐角，∴sinβ=25,cosβ=15(3分)

sin∠CBD=【解析】(1)由α+β+∠CBD=π，得sin∠CBD=sin(α+β)，知cos19.【答案】解：(1)若选择①：证明：

由秦九韶公式证明海伦公式：

S△ABC=14[a2c2−(c2+a2−b22)2]

=14(ac+c2+a