2023-2024学年福建省三明一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省三明一中高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a，b∈R，a+3i=A.a=1，b=−3 B.a=1，b=3

2.已知平面向量a=(3,1)，b=A.−3 B.−1 C.1 3.已知a,b为不共线的非零向量，AB=a+5bA.A，B，C三点共线 B.A，B、D三点共线

C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b=2aA.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形5.已知|a|=23|b|，a与b的夹角为A.3b B.−3b 6.如图，在△ABC中，满足条件AD=DB,A.8

B.4

C.2

D.17.圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶CA.54m B.47m C.50m8.如图，已知圆O的半径为2，弦长AB=2，C为圆O上一动点，则AC⋅A.[0,4]

B.[5−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若{e1,eA.{e1−e2,e2−10.已知z1，z2是复数，下列说法正确的是(

)A.|z1|2=z12 B.若z1z2=011.已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是A.若AD=13AB+12AC，则S△BCDS△ABD=16

B.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a,b为非零向量，若|a+b|=13.在△ABC中，已知∠A=60°，BC14.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1(−1,0)，A2(0,−2)，A3(3,0)，A4(0,4)，A5(−5,0)，A6(0,−6)，A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=−1+3i,z2=1+2i,1z=1z16.(本小题15分)

设a,b是不共线的单位向量，且a与b的夹角的余弦值为13．

(1)求(a+2b)⋅(17.(本小题15分)

已知四边形ABCD的外接圆面积为7π3，且BD=7,CD=2,∠B18.(本小题17分)

如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，点D在线段BC上(异于B，C两点)，延长AD到P，使得A19.(本小题17分)

利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对(z1,z2)(其中z1，z2∈C)视为一个向量，记作α=(z1,z2)，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量α=(z1,z2),β=(z3,z4),z1、z2、z3、z4、λ∈C，我们有如下运算法则：

①α±β=(z1±z3,z2±z4)；

②λ答案和解析1.【答案】D

【解析】解：a，b∈R，a+3i=−1+bi，

所以a2.【答案】C

【解析】解：根据题意，a⊥b⇒a⋅b=0，

将向量坐标代入可得，3x+1×(−33.【答案】B

【解析】解：∵AB=a+5b，BC=−2a+8b，

∴不存在λ，使AB=λBC，

故A，B，C三点不共线，

故选项A错误；

∵BD=BC+CD=a+5b，

∴AB=BD，

∴A，B、D三点共线，

故选项B正确；

∵BC=−2a+8b，CD=3a4.【答案】A

【解析】解：由题设，结合正弦定理有sinB=2sinAcosC，

而B=π−(A+C)，

∴sin(A+C5.【答案】C

【解析】解：根据题意，|a|=23|b|，a与b的夹角为π6，

则a在b上的投影向量为6.【答案】A

【解析】解：因为DE=DA+AE=12BA+147.【答案】A

【解析】解：由题可得在直角△ABM中，∠AMB=45°，|AB|=36，

所以|AM|=362，

在△AMC中，∠AMC=180°−60°−45°=75°，∠MAC=8.【答案】C

【解析】解：取AB的中点D，连接CD，OD，如图所示：

所以AC⋅BC=(AD+DC)⋅(BD+DC)=AD⋅BD+(AD+BD)⋅DC+DC2=−1+09.【答案】AB【解析】【分析】本题考查平面向量的基底，属于基础题．

根据基底满足的条件逐项分析判断即可．【解答】

解：由平面内一组不共线的向量可以构成平面向量的基底依次分析各选项：

对于A，e1−e2=−(e2−e1)，两向量共线，不能作为平面向量的基底；

对于B，2e1−e2=10.【答案】BC【解析】解：根据题意，设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R．

对A：|z1|2=a2+b2∈R，z12=(a+bi)2=a2−b2+2abi，显然|z1|2≠z12，A错误；

对B：z1z2=(a+11.【答案】CD【解析】解：对于A，设线段AC的中点为点E，在线段AB上取点F，使得AF=13AB，

因为AD=13AB+12AC，

所以AD=AF+AE，

连接DE，DF，EF，则四边形AEDF为平行四边形，

故S△AEF=12AE⋅AF⋅sin∠BAC=112AB⋅ACsin∠BAC=16S△ABC，

所以S▱AEDF=2S△AEF=13S△ABC，

所以S△ADE=S△ADF=12S▱AEDF=16S△ABC，

所以S△ABD=3S△ADF=12S△ABC,S△ACD=2S△ADE=13S△ABC，

所以S△BCD=S△ABC−S△ABD−S△ACD=16S△ABC，

所以S12.【答案】0

【解析】解：因为向量a,b为非零向量，且|a+b|=|a−b|，

所以两边同时平方得：a213.【答案】45°【解析】解：在△ABC中，∵∠A=60°，BC=3，AB=6，

∴由正弦定理可得：sinC=AB14.【答案】①②【解析】解：依题意可得对于任意正整数n，|AnAn+4|=|n−(n+4)|=4，故①正确；

当n=3时，|A3A4|=32+42=5∈Z，故②正确；

S△AnAn+1An+2=S△OAnAn+1+15.【答案】解：(1)由已知得z1+z2=(−1+3i)+(1+2i)=5i，

z1z2=(−1+3i)(1+2i)=(−1【解析】(1)计算出z=z1z2z16.【答案】解：(1)因为a,b是单位向量，所以|a|=|b|=1，结合cos<a，b>=13，可得a⋅b=13，

由此可得(a+2b)⋅(a−b)=a2+a⋅b−2b2=1+13−2=−23，

因为(a+b)2=|a|【解析】(1)根据平面向量数量积的定义与运算性质，结合向量的模的公式加以计算，可得答案；

(2)根据平面向量数量积的性质与向量共线的条件列式，解之可得实数17.【答案】解：(1)设四边形ABCD的外接圆半径为R，

由题意有：πR2=7π3，解得R=213，

在△BCD中，由正弦定理可得：BDsin∠BCD=2R=2213，

又BD=7，所以sin∠BCD=32，

又∠BAD为钝角，故∠BCD为锐角，

所以∠BCD=π3；

又cos∠BCD=BC2+CD2−【解析】(1)由四边形外接圆面积可求得外接圆半径，再利用正弦定理，即可求得sin∠BCD=32，从而得到∠BC18.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，

所以BC=32+42=5，cosC=35，

在△ACD中，由余弦定理得，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cosC=32+(185)2−2×3×185×35=9，

所以AD=3，

又AP=9，所以AP=3AD，

因为AP=mAB+nAC，

所以3【解析】(1)在△ACD中，利用余弦定理求得AD=3，从而知AP=3AD，再结合