2023-2024学年福建省泉州市南安市侨光中学高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省泉州市南安市侨光中学高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于

(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则A.1：2：3 B.3：2：1 C.2：3：1 D.1：33.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是(

)A.

B.

C.

D.4.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于A.−13AB+23AD5.如图Rt△O′A′BA.1

B.2

C.226.已知向量a=(1,0)，b=(A.(255,55)7.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为5−12A.5−14 B.5+8.《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方(即CE=1丈=10尺)，芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺.将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇AB，AA.90平方尺 B.92平方尺 C.94平方尺 D.98平方尺二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中错误的是(

)A.单位向量都相等

B.向量AB与CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上

C.两个非零向量a,b，若|a+b|=||a|−|10.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(

)A.i+i2+i3+i4=0 B.复数−11.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则正确的有(

)

A.则该半正多面体有12个顶点 B.则该半正多面体有14个面

C.则该半正多面体表面积为3 D.则该半正多面体体积为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知球的表面积为12π，则它的体积为______．13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=

14.在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设向量a，b满足a⋅b=3，|a|=3，|b|=2．

16.(本小题15分)

已知复数z1=2−i，z2=m+2i(i为虚数单位)，m∈R，且z−⋅z2为纯虚数．

(1)求|z1+17.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3(bsinC+csinB)=418.(本小题17分)

如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．

(1)求圆台的体积和圆台的侧面积；

(2)把一根绳从线段AB的中点M19.(本小题17分)

如图，在圆O的内接四边形ABCD中，BC=12，AB=8，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2，∠ABC=α．

(1)若

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．

可得复数11−i【解答】

解：复数11−i=1+i(1−i)(1+i)=12+2.【答案】D

【解析】解：由于A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=π，

故∠A=π6，∠B=3.【答案】A

【解析】解：此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，

是由A中的平面图形旋转形成的．

故选：A．

将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意．

本题考查平面图形旋转形成的几何体，考查空问间想象能力和推理能力，属于基础题．4.【答案】D

【解析】解：因为E是BC的中点，AD/​/EC，所以|DF||EF|=5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中原图的面积与直观图面积之比为1：24，属于基础题．

由已知中Rt△O′A′B【解答】

解：由已知中Rt△O′A′B′，直角边O′B′=2，则Rt6.【答案】D

【解析】解：∵a=(1,0)，b=(2,1)，

∴a⋅b=2，|7.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，设∠A=36°,AB=AC,BCAB=8.【答案】C

【解析】解：设AB=x(尺)，则AC=x+1(尺)，

∵AD=5(尺)，∴52+x2=(x+1)2，解得：x=12，

以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系(单位：尺)，

则A(0,9.【答案】AB【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；

对于B选项，向量AB与CD是共线向量，也可能是AB/​/CD，故B错误；

对于C选项，两个非零向量a,b，若|a+b|=||a|−|b||，则a与b共线且反向，故C正确；

对于D选项，向量a=(4,3−m),10.【答案】AD【解析】解：因为i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，A正确；

复数−2−i的虚部为−1，B不正确；

若z=i，则z2=−1，|z|211.【答案】AB【解析】解：该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，如图：

其棱长为22，有12个顶点，14个面(6个正方形，8个正三角形)，故AB正确；

半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上，

且此正方体的棱长为1，可得该半正多面体所有顶点都为正方体的棱的中点，

它可由正方体去掉8个三棱锥所剩部分，

所以该半正多面体的棱长为22，

故半正多面体的面积为6×22×22+8×12×22×12.【答案】4【解析】解：设球的半径为R，

则根据题意可得4πR2=12π，∴R=3，

∴该球的体积为13.【答案】100【解析】【分析】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向三角形集中，再通过正弦或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．

设此山高h(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出【解答】

解：设此山高h(m)，则BC=3h，

在△ABC中，∠BAC=30°，14.【答案】[0【解析】解：因为N为线段AM上任意一点，

所以不妨设AN=tAM(0≤t≤1)，

当t=0时，AN=0，所以λAB+μAC=0，

因为AB，AC不是零向量，

所以λ=μ=0，即λ+μ=0；

当0<t≤1时，因为AN=λAB+μAC，

所以t15.【答案】解：(1)∵a⋅b=3，|a|=3，|b|【解析】(1)直接利用数量积求夹角即可；

(2)由16.【答案】解：(1)∵z1=2−i，∴z1−=2+i，

∴z−⋅z2=(2+i)(m+2i)=(2m−2)【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．

(217.【答案】解：(1)因为3(bsinC+csinB)=4asinBsinC，

所以由正弦定理可得3(sinBsinC+sinCsinB)=23sinBsinC=4sinAsinBsinC【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得sinA的值，结合A的范围即可求解A的值；

(18.【答案】解：(1)作出圆台的轴截面和侧面展开图，如下图

由底面半径是5cm，上底半径为2.5cm，可得：OB=10，

所以，圆锥的高为：202−52=515，故圆台的高为5152，

因此圆台的体积为：

V=13(S1+S1S2+S2)h

=13[π(2.5)2+(π(2.5)2⋅π(【解析】本题考查立体几何中长度最小值问题，考查降维思想的应用，考查转化与化归思想和运用求解能力，求解的关键是将空间问题转化为平面问题．

(1)画出截面图和展开图，根据几何关系求出圆台的高即可利用公式求得圆台的体积和圆台的侧面积；(2)画出展开图，把立体几何问题转化为平面问题，再结合平面内二点之间线段最短进行求解；(3)由侧面展开图可知，距离最短时，就是19.【答案】解：(1)因为AB=CD=8，根据同一圆内，相等弧长所对圆周角相