2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校等学校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校等学校联考八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.已知a<b，则下列各式成立的是(

)A.ac2<bc2 B.13.下列由左到右的变形，属于因式分解的是(

)A.(x+2)(x−2)4.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD．

若CA.90°

B.95°

C.100°5.如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB=30°A.3

B.2

C.1

D.16.如图，一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象分别与x轴交于点A.x<−1

B.x>−1

7.下列命题中，其逆否命题是真命题的命题个数有(

)

(1)线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等；

(2)对顶角相等；

(3)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.若关于x的一元一次不等式组x−1<0x−A.a≥1 B.a>1 C.9.如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAA.5

B.6

C.310.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.因式分解：2x2−212.已知等腰三角形其中一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角度数为______．13.某电器商场促销，海尔某型号冰箱的售价是2500元，进价是1800元，商场为保证利润率不低于5%，则海尔该型号冰箱最多降价______元．14.已知关于x的不等式组x−a≤04−3x<5的整数解共有15.已知如图，△ABC为等边三角形，点D在AC上，点E在CB延长线上，连接AE、DE，AE=DE，

三、计算题：本大题共1小题，共6分。16.分解因式：

(1)3a(x四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

解不等式组：3(x+18.(本小题7分)

在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)．

(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点坐标A1(______)，B1(______)，C19.(本小题8分)

如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．

(120.(本小题9分)

为了迎接“五一”的到来，某网店上架了A、B两款产品，已知10个A产品和15个B产品的售价为2400元；30个A产品和20个B产品的售价为5200元．

(1)每个A产品和B产品的售价分别为多少元？

(2)已知A产品和B产品的成本分别为80元/个和50元/个.“五一”后，这两款产品持续热销，于是网店再购进了这两款产品共600个，其中B产品的数量不超过A产品数量的2倍，且购进总价不超过37800元.为回馈新老客户，网店决定对A产品降价10%后再销售，而B21.(本小题10分)

提出问题：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如，16=52−32，16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是哪个数？

解决问题：小颖的方法是一个一个找出来：3=22−12，5=32−22，7=42−32，8=32−12，9=52−42，11=62−52……

小明认为小颖的方法太麻烦.他想到：设k是正整数，由于：

(1)(k+1)2−k2=______=______，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．

(2)又因为(k+1)2−(k−1)2=______=______，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．

还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数.小亮认为，如果4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2=m2−n2，即2(2k+1)=(m+n)(m−n)①

因为m+n和m−n这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是422.(本小题9分)

平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．

(1)探究发现：如图1，P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度数．

解：将△APC绕点A旋转到△AP′B的位置，连接PP′，则△APP′是______三角形．

∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，

∴P′P答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

【解答】

解：A.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D2.【答案】D

【解析】解：A.a<b，当c≠0时，ac2<bc2，故A不成立；

B.a<b，1−3a>1−3b，故B不成立；

C.a3.【答案】B

【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；

B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；

C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；

D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；

故选：B．

根据因式分解的定义，可得答案．

本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．4.【答案】D

【解析】【分析】

由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．

【解答】

解：∵CD=AC，∠A=505.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能求出∠PDE=30°是解此题的关键．

过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC=PE，求出DP//OA，根据平行线的性质求出∠PDE=∠AOB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．

【解答】

解：过P作PE⊥OB于E，

∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥O6.【答案】D

【解析】解：一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象分别与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，

根据图象可知，y=k1x7.【答案】C

【解析】解：(1)线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，故逆否命题正确；

(2)对顶角相等，正确，故逆否命题正确；

(3)在同一个三角形中，相等的角所对的边也相等，错误，故逆否命题错误；

(4)到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，故逆否命题正确．

所以(18.【答案】A

【解析】解：解x−1<0x−a>0得，

x<1x>a，

∵x−9.【答案】C

【解析】解：∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，

∴PA=PC=2，∠CAB=∠PAQ=6010.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，

∴∠BAD+∠ABE=12(∠CAB+∠CBA)=45°，

∴∠APB=180°−(∠BAD+∠ABE)=135°，故①正确．

∴∠BPD=180°−∠APB=45°，

又∵PF⊥AD，

∴∠FPB=90°+45°=135°，

∴∠APB=∠FPB，

在△ABP和△FBP中，

∠ABP=∠FBPBP=BP∠APB=∠FPB，

11.【答案】2(【解析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．

解：原式=2(x2−1)12.【答案】70°或40【解析】解：分两种情况：

当70°的角是底角时，则顶角度数为40°；

当70°的角是顶角时，则顶角为70°．

综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为70°或40°，

故答案为：70°或4013.【答案】610

【解析】解：设海尔该型号冰箱降价x元，根据题意可得：

2500−1800−x≥5%×1800，

解得：x≤610，

答：海尔该型号冰箱最多降价610元．

14.【答案】3≤【解析】解：x−a≤0①4−3x<5②，

解不等式①，得：x≤a，

解不等式②，得：x>−13，

∵关于x的不等式组x−a≤04−3x<5的整数解共有4个，

则这四个整数解为：0，115.【答案】2【解析】解：过E点作EF/​/AB，交CA的延长线于点F，过E点作EG⊥AC，垂足为G，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°，AC=BC，

∵EF//AB，

∴∠CEF=∠ABC=60°，∠F=∠BAC=60°，

∴△EFC为等边三角形，

∴EF=EC=FC，∠F=∠C=60°，

∴AF=BE=4，

∵EA=ED，

16.【答案】解：(1)原式=3(x−y)(a【解析】【分析】

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．

(1)找出公因式，利用提公因式法分解；

17.【答案】解：解不等式3(x+2)≥2x+5，得：x≥−1，

解不等式【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】3，0

5，−3

1，−1

0，【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1为所求作的三角形；

根据图可知，A1(3,0)，B1(5,−3)，C1(1,−1)．

故答案为：3，0；5，−3；1，−1；

(2)如图2，△A2B2C2为所求作的三角形；

(3)连接BB2、CC2，则BB2、CC2的交点即为对称中心，如图3，

∵B(−5,319.【答案】(1)证明：连接CD，如图所示：

∵DG是BC的垂直平分线，

∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，

∴DE=DF，∠BED=∠DCF=90°，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD【解析】(1)连接CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出BE20.【答案】解：(1)设每个A产品的售价为x元，每个B产品的售价为y元，

根据题意得：10x+15y=240030x+20y=5200，

解得：x=120y=80．

答：每个A产品的售价为120元，每个B产品的售价为80元；

(2)设“五一”后网店再次购进m个A产品，则购进(600−m)个B产品，

根据题意得：600−m≤2m80m+50(600−m)≤【解析】(1)设每个A产品的售价为x元，每个B产品的售价为y元，根据“10个A产品和15个B产品的售价为2400元；30个A产品和20个B产品的售价为5200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设“五一”后网店再次购进m个A产品，则购进(600−m)个B产品，根据“购进B产品的数量不超过A产品数量的2倍，且购进总价不超过37800元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设“五一”后网店再购进的这两款产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：21.【答案】(k+1−k)(k+1+k)【解析】解：(1)(k+1)2−k2=(k+1−k)(k+1+k)=2k+1，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．

故答案为：(k+1−k)(k+1+k)，2k+1；

(2)又因为(k+1)2−(k−1)2=(k+1−k+1)(k+1+k−1)=4k，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．

还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2=m2−n2，即2(2k+1)=(m+n)(m−n)①

因为m+n和m−n这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．

得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．

故答案为：(k+1−k+1)(k+1+k−1)，4k；

(3)∵2014÷4=503……2，22.【答案】等边

直角

150°【解析】解：将△AP