2025版高考数学一轮总复习考点突破第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数模型及其应用考向3构建函数模型解决实际问题

考向3构建函数模型解决实际问题角度1一次函数、二次函数分段函数模型某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量x(单位：吨)有如下关系：P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)x2，0≤x≤8，,\f(3x＋8,10)，8<x≤14.))设该农业合作社将x(单位：吨)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润(扣除加工费)为y(单位：万元)．(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．[解析](1)由题意知，当0≤x≤8时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－eq\f(1,20)x2＝－eq\f(1,20)x2＋eq\f(2,5)x＋eq\f(14,5)，当8<x≤14时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－eq\f(3x＋8,10)＝eq\f(1,10)x＋2，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)x2＋\f(2,5)x＋\f(14,5)，0≤x≤8，,\f(1,10)x＋2，8<x≤14.))(2)当0≤x≤8时，y＝－eq\f(1,20)x2＋eq\f(2,5)x＋eq\f(14,5)＝－eq\f(1,20)(x－4)2＋eq\f(18,5)，所以当x＝4时，ymax＝eq\f(18,5).当8<x≤14时，y＝eq\f(1,10)x＋2，所以当x＝14时，ymax＝eq\f(17,5).因为eq\f(18,5)>eq\f(17,5)，所以当x＝4时，ymax＝eq\f(18,5).所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为eq\f(18,5)万元．名师点拨：1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．角度2指数函数与对数函数模型2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)(C)A．4 B．5C．6 D．7[解析]设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln0.90<ln0.6，即n－1>eq\f(ln0.6,ln0.9)≈eq\f(－0.511,－0.105)≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用技巧1．与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．2．在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式训练】1．(角度1)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为eq\f(1,4)a2(用常数a表示)．[解析]令t＝eq\r(A)(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.所以当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值．2．(角度2)(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)(B)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天[解析]因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，