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洛必达法则在解决不等式恒(能)成立,求参数的取值范围这一类问题时,最常用的方法是分离参数法,转化成求函数的最值,但在求最值时如果出现“eq\f(0,0)”型的代数式,就没法求其最值.“eq\f(0,0)”型的代数式,是大学数学中的不定式问题,解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则.法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)=0及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)=0.(2)在点a的某去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0.(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)=A,那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)=eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)=A.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)=∞及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)=∞.(2)在点a的某去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0.(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)=A,那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)=eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)=A.已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对任意x>0都有f(x)>ax成立,求实数a的取值范围.[解析]方法一:令φ(x)=f(x)-ax=(x+1)ln(x+1)-ax(x>0),则φ′(x)=ln(x+1)+1-a.∵x>0,∴ln(x+1)>0.①当1-a≥0,即a≤1时,φ′(x)>0,∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,∴φ(x)>0恒成立,故a≤1满足题意.②当1-a<0,即a>1时,令φ′(x)=0,得x=ea-1-1,∴x∈(0,ea-1-1)时,φ′(x)<0;x∈(ea-1-1,+∞)时,φ′(x)>0,∴φ(x)在(0,ea-1-1)上单调递减,在(ea-1-1,+∞)上单调递增,∴φ(x)min=φ(ea-1-1)<φ(0)=0与φ(x)>0恒成立矛盾,故a>1不满足题意.综上有a≤1,故实数a的取值范围是(-∞,1].方法二:当x∈(0,+∞)时,(x+1)ln(x+1)>ax恒成立,即a<eq\f(x+1lnx+1,x)恒成立.令g(x)=eq\f(x+1lnx+1,x)(x>0).∴g′(x)=eq\f(x-lnx+1,x2).令k(x)=x-ln(x+1)(x>0),∴k′(x)=1-eq\f(1,x+1)=eq\f(x,x+1)>0,∴k(x)在(0,+∞)上单调递增.∴k(x)>k(0)=0,∴x-ln(x+1)>0恒成立,∴g′(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增.由洛必达法则知eq\o(lim,\s\do4(x→0))g(x)=eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(x+1lnx+1,x)=eq\o(lim,\s\do4(x→0))[ln(x+1)+1]=1,∴a≤1,故实数a的取值范围是(-∞,1].【变式训练】已知函数f(x)=x(ex-1)-ax2(a∈R).(1)若f(x)在x=-1处有极值,求a的值;(2)当x>0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.[解析](1)f′(x)=ex-1+xex-2ax=(x+1)ex-2ax-1,依题意知f′(-1)=2a-1=0,∴a=eq\f(1,2).经检验a=eq\f(1,2)符合题意.(2)方法一:当x>0时,f(x)≥0,即x(ex-1)-ax2≥0,即ex-1-ax≥0,令φ(x)=ex-1-ax(x>0),则φ(x)min≥0,φ′(x)=ex-a.①当a≤1时,φ′(x)=ex-a>0,∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增,∴φ(x)>φ(0)=0,∴a≤1满足条件.②当a>1时,若0<x<lna,则φ′(x)<0,若x>lna,则φ′(x)>0.∴φ(x)在(0,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,∴φ(x)min=φ(lna)=a-1-alna≥0.令g(a)=a-1-alna(a>1),∴g′(a)=1-(1+lna)=-lna<0,∴g(a)在(1,+∞)上单调递减.∴g(a)<g(1)=0与g(a)≥0矛盾,故a>1不满足条件,综上,实数a的取值范围是(-∞,1].方法二:当x>0时,f(x)≥0,即x(ex-1)-ax2≥0,即ex-1-ax≥0,即ax≤ex-1,即a≤eq\f(ex-1,x)恒成立,令h(x)=eq\f(ex-1,x)(x>0),∴h′(x)=eq\f(exx-1+1,x2),令k(x)=ex(x-1)+1(x>0),∴k′(x)=ex·x>0,∴k(x)在(0,+∞)上单调递增,∴k(x)>k(0)=0,∴h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增.由洛必达法则知,
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