2025版高考数学一轮总复习素养提升第6章数列第3讲等比数列及其前n项和

数列中的数学文化纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生受困于背景陌生，无处着手.本专题就数列中的数学文化试题通过典型分析，让学生提高审题能力，增强对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解.1.(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(C)A.3699块 B．3474块C.3402块 D．3339块[解析]由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝eq\f(2n9＋18n,2)－2×eq\f(n9＋9n,2)＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝eq\f(3n9＋27n,2)＝eq\f(3×9×9＋27×9,2)＝3402，故选C.2．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为(D)A.2eq\s\up7(\f(4,13)) B．2eq\s\up7(\f(3,13))C.2eq\s\up7(\f(1,4)) D．2eq\s\up7(\f(1,3))[解析]设等比数列的公比为q(q>0)，根据题意可得a1＝1，a13＝2，又a13＝a1q12，所以q12＝eq\f(a13,a1)＝2，所以q4＝2eq\s\up7(\f(1,3))，所以插入的第四个数a5＝a1·q4＝2eq\s\up7(\f(1,3))，故选D.名师点拨：以数学文化为背景的等差(比)数列问题的求解关键是：①会脱去数学文化的背景，读懂题意；②构建模型，即由题意构建等差(比)数列的模型；③解模，即把文字语言转化为求等差(比)数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等.【变式训练】1．(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的有(ABC)A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短[解析]由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸).故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4>a4，故D错误，故选ABC.2．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为eq\f(700,127).[解析]设第