2025版高考数学一轮总复习知识梳理第5章平面向量与复数第2讲平面向量的基本定理及坐标表示

第二讲平面向量的基本定理及坐标表示知识梳理知识点一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.知识点二平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).知识点三平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知识点四向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.归纳拓展1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).4．若a＝(x，y)≠0，则与a共线的单位向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(x2＋y2))，\f(y,\r(x2＋y2))))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,\r(x2＋y2))，－\f(y,\r(x2＋y2)))).双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))}可以作为基底．(√)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二走进教材2．(必修2P60T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(B)A．e1＝(0,0)，e2＝(1,3)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))[解析]A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.3．(多选题)(必修2P30T1改编)在平面上的点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，下面结论正确的是(BC)A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))[解析]点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，选项A中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))，故错误；选项B中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))成立，故正确；选项C中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))成立，故正确；选项D中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2,1)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))≠eq\o(OC,\s\up6(→))，故错误．故选BC.4．(必修2P60T6改编)已知A(－2,1)，B(3，－2)两点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝4eq\o(PB,\s\up6(→))，则点P的坐标为(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)，2))[解析]先设P的坐标，然后表示向量的坐标，结合向量相等的条件可求．设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－2－y)，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝4eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(x＋2，y－1)＝4(3－x，－2－y)，即(x＋2，y－1)＝(12－4x，－8－4y)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝12－4x，,y－1＝－8－4y，))解得x＝2，y＝－eq\f(7,5)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,5))).故选C.题组三走向高考5．(2015·新课标全国Ⅰ，2,5分)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝(A)A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)[解析]设C(x，y)，∵A(0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y－1＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))∴C(－4，