2024寒假讲义高一-学生版

2024寒假讲义复习巩固+平面向量学生版第01讲：集合与常用逻辑用语【考点梳理】考点一：集合的含义和表示 考点二：集合中元素的特性考点三：集合之间的基本关系 考点四：集合的基本运算考点五：集合的应用 考点六：充分条件和必要条件考点七：全程量词和存在量词 考点八：集合和逻辑用语的综合【知识梳理】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(5)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集，2n－1个非空子集，2n－2非空真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA4．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p5全称量词与存在量词(1示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．6．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)【题型归纳】题型一：集合的含义和表示1．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(

)A．4 B．2 C．3 D．52．（2024上·全国·高一专题练习）下列说法中正确的是（

）A．1与表示同一个集合B．由1，2，3组成的集合可表示为或C．方程的所有解的集合可表示为D．集合可以用列举法表示3．（2024上·全国·高一专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．， B．，C．， D．，题型二：集合中元素的特性4．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）若集合,集合,且,则（

）A． B． C． D．5．（2022上·四川宜宾·高一四川省宜宾市第四中学校校考期中）已知，若集合，则的值为（

）A． B．1 C． D．26．（2021上·江苏常州·高一常州市第一中学校考期中）已知集合，若，则实数的值为（

）．A． B． C．或 D．或题型三：集合之间的基本关系7．（2023上·四川泸州·高一校考期中）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．88．（2023上·山东青岛·高一统考期中）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．9．（2023上·山西太原·高一山西实验中学校考期中）已知集合，若，则实数组成的集合为（

）A． B．C． D．题型四：集合的基本运算10．（2024上·广东珠海·高一珠海市第一中学校考期末）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．11．（2023上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为；12．（2021·全国·高一期中）已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是.题型五：集合的应用13．（2023上·内蒙古·高一校联考期中）某校春季举办了一次田径运动会，某班有20名同学参赛，该学校秋季又举办了一次趣味运动会，这个班有25名同学参赛．已知该班级这两次运动会都参赛的有12人．则这两次运动会中，这个班参赛的同学有人．14．（2023上·山西朔州·高一校考期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是.15．（2023上·山西朔州·高一校考期中）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中；；.

题型六：充分条件和必要条件16．（2024上·四川雅安·高一校考期末）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件17．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知函数，则“”是“的最小值大于5”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件18．（2024上·辽宁葫芦岛·高一葫芦岛第一高级中学校考期末）是函数且在是减函数的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型七：全程量词和存在量词19．（2024上·云南昆明·高一统考期末）设命题p：，则的否定为（

）A． B．C． D．20．（2024上·吉林·高一统考期末）已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．21．（2023上·广东深圳·高一校考期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型八：集合和逻辑用语的综合22．（2024上·上海·高一校考期末）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.23．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，集合，集合，且．(1)求实数a的值组成的集合；(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．24．（2024上·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）已知集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【强化精练】一：单选题25．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．26．（2024上·四川雅安·高一校考期末）命题“”的否定为（

）A． B．C． D．27．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知：，：方程有实数根，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件28．（2024上·河北张家口·高一统考期末）函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．29．（2023上·全国·高一期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．30．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）的一个充要条件是（

）A．B．C．， D．，31．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（

）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要32．（2024上·上海青浦·高一统考期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（

）A． B． C．D．的关系无法确定33．（2023上·四川达州·高一校考期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．34．（2024上·上海·高一上海市实验学校校考期末）已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（

）A． B．C． D．二、多选题35．（2024上·甘肃·高一统考期末）下列叙述中正确的是（

）A．B．若集合是全集的两个子集，且，则C．命题“”的否定是“”D．命题“”的否定是“”36．（2024上·云南昭通·高一校考期末）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（

）A． B．C． D．37．（2023上·江苏南京·高一期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．38．（2023上·山东济宁·高一统考期中）下列四个结论中，正确的结论是（

）A．“所有平行四边形都是菱形”是全称量词命题B．已知集合，均为实数集的子集，且，则C．，有，则实数的取值范围是D．“”是“”的充分不必要条件三、解答题39．（2024上·河北张家口·高一统考期末）设不等式的解集为，(1)求集合A；(2)若，求实数m的取值范围.40．（2024上·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知集合，，集合为函数的定义域，全集为实数集R.(1)求，；(2)若，求实数的取值范围.41．（2024上·吉林·高一统考期末）已知集合．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．42．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）已知，全集，集合，函数的定义域为B．(1)当时，求；(2)若是成立的必要条件，求a的取值范围．43．（2023上·江苏南京·高一期末）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.(1)求集合；(2)设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.44．（2023上·浙江·高一校联考期中）已知集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.45．（2023上·福建福州·高一福建省闽清县第一中学校联考期末）设，已知集合，.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.第02讲：一元二次函数、方程和不等式【考点梳理】考点一：不等式的性质应用 考点二：基本不等式求积的最大值考点三：基本不等式求和的最小值 考点四：二次或者二次商式的最值问题考点五：基本不等式“1”的妙用 考点六：条件等式求最值考点七：基本不等式的恒成立求参数问题 考点八：含参数的一元二次不等式的解法考点九：由一元二次不等式来确定参数的范围 考点十：一元二次不等式在实数上恒成立问题考点十一：一元二次不等式在某区间恒成立问题 考点十二：一元二次不等式在某区间有解立问题考点十三：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题【知识梳理】知识点一等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点三．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．知识点四：．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.知识点五：．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)知识点六一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点七二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅【题型归纳】题型一：不等式的性质应用1．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）设，则下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·全国·高一期末）已知，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则3．（2023上·浙江杭州·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则题型二：基本不等式求积的最大值4．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，为正实数，，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）下列命题中正确的是（

）A．若，且，则B．若，则C．若，则D．对任意，均成立.6．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：基本不等式求和的最小值7．（2024上·云南昆明·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2C．若正实数满足，则的最小值为2 D．若，则的最小值为48．（2024上·湖北孝感·高一校考期末）下列结论正确的是（

）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是5D．设，，且，则的最小值是9．（2023上·重庆·高一西南大学附中校考期中）已知，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．题型四：二次或者二次商式的最值问题10．（2021下·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）函数（）的最小值为（

）A． B． C． D．11．（2022上·辽宁大连·高一育明高中校考期末）“”是“关于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．（2022上·江西南昌·高一统考期末）当时，函数的最小值为．题型五：基本不等式“1”的妙用13．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知，且，则的最小值为.14．（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）已知，且，则的最小值是.15．（2023上·辽宁丹东·高一统考期中）已知正实数满足，则的最小值为.题型六：条件等式求最值16．（2023上·江苏南京·高一期末）已知实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．17．（2023上·黑龙江·高一校联考期中）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．418．（2023上·辽宁·高一校联考期中）若，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型七：基本不等式的恒成立求参数问题19．（2023上·安徽六安·高一校考期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．20．（2023上·四川内江·高一威远中学校校考期中）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．或C． D．或21．（2023上·河南信阳·高一信阳高中校考期末）若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（

）A．； B．； C．； D．．题型八：含参数的一元二次不等式的解法22．（2023上·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．23．（2023上·安徽阜阳·高一安徽省临泉第一中学校联考期中）已知不等式的解集为且，则不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或24．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数.(1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式.题型九：由一元二次不等式来确定参数的范围25．（2024上·云南大理·高一统考期末）不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．427．（2023上·山东临沂·高一统考期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型十：一元二次不等式在实数上恒成立问题28．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（

）A． B．C． D．29．（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．30．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．或 B．或C．或 D．或题型十一：一元二次不等式在某区间恒成立问题31．（2023上·全国·高一期末）已知，，，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．32．（2023上·四川凉山·高一校联考期中）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．33．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型十二：一元二次不等式在某区间有解立问题34．（2023上·福建·高一福建省罗源第一中学校联考期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．35．（2023上·浙江·高一校联考期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．36．（2023上·福建·高一校联考期中）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．题型十三：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题37．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知函数.(1)，，求a的取值范围；(2)若，，，求a的取值范围.38．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数.(1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围；(2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.39．（2023上·河北石家庄·高一校考期中）设．(1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式．【强化精练】一、单选题40．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件41．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则42．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要43．（2023上·江西新余·高一校考期中）不等式的解集是，则的解集是（

）A． B． C． D．44．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知实数，则的（

）A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为45．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）已知，且，则的最小值为（

）A．1 B． C．9 D．46．（2024上·上海青浦·高一统考期末）已知.且，则下列结论正确的是（

）①；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为.A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④二、多选题47．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）对于实数，，，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，48．（2023上·广东深圳·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．命题“，都有”的否定是“，使得”B．当时，的最小值为C．若不等式的解集为，则D．“”是“”的充分不必要条件49．（2023上·陕西咸阳·高一统考期中）下列结论正确的是（

）A．若方程没有根，则不等式的解集为B．若不等式的解集是，则C．若关于的不等式的解集为，则D．不等式的解集为50．（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知，则下列正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．最大值为8 D．的最大值为6三、填空题51．（2023上·全国·高一期末）已知，，则的取值范围是.52．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是53．（2023上·上海奉贤·高一统考期末）已知，.方程的解集为，其中，则不等式的解集为.54．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值是.55．（2023上·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考期末）已知，且，则的最小值是.四、解答题56．（2023上·全国·高一期末）（1）已知，求的最小值；（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.57．（2023上·云南曲靖·高一宣威市第六中学校考阶段练习）已知不等式的解集为.(1)求实数，的值；(2)若，，且，求的最小值.58．（2023上·山东临沂·高一校考期末）已知关于x的不等式的解集为M.(1)若，求k的取值范围；(2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围.59．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为．(1)求函数的解析式；(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．第03讲：函数的概念和性质【考点梳理】考点一：函数的定义域 考点二：复杂（根式、分式）函数的值域考点三：求解析式三大方法 考点四：分段函数考点五：根据函数的单调性求参数范围 考点六：函数不等式恒成立问题考点七：利用奇偶性求函数的解析式 考点八：抽象函数的奇偶性问题考点九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 考点十：函数性质的综合性问题【知识梳理】知识一：函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx|x∈A))叫做函数的值域知识二：函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的知识三．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值知识四．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【题型归纳】题型一：函数的定义域1．（2023上·河北沧州·高一统考期中）函数的定义域是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．3．（2023上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）题型二：复杂（根式、分式）函数的值域4．（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．5．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）函数的值域为（

）A． B．C． D．6．（2023上·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考期中）下列函数中，值域为[1，+∞)的是（

）A．B．C． D．题型三：求解析式三大方法7．（2023上·湖北·高一校联考期中）已知，则函数的解析式为（

）A． B．（）C．（） D．（）8．（2023上·河南开封·高一统考期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．（2023上·天津南开·高一南开中学校考期中）已知，则函数的表达式为（

）A． B．C． D．题型四：分段函数10．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）设函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．11．设，则的值为（）A．8 B．9 C．10 D．1112．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：根据函数的单调性求参数范围13．（2023上·北京·高一北京四中校考期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．15．（2023上·全国·高一期末）已知是上的增函数，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六：函数不等式恒成立问题16．（2023上·甘肃陇南·高二校考期末）已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．17．（2023上·江西南昌·高一校考期中）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．18．（2023上·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期中）设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型七：利用奇偶性求函数的解析式19．（2023上·山东济宁·高一统考期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（

）A． B．C． D．20．（2023上·江西九江·高一九江一中校考期中）定义在上的奇函数，当时，，则的解集是（

）A． B．C． D．21．（2023上·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则函数解析式为.题型八：抽象函数的奇偶性问题22．（2023上·江苏·高一期末）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．23．（2023上·海南海口·高一校考期中）定义在上的函数满足：对任意都有，且，，则下列命题错误的是（

）A． B．的图象关于点对称C． D．是偶函数24．（2023下·浙江宁波·高二统考期末）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对于任意，都有，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式25．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．26．（2023上·四川·高一校联考期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．27．（2024上·吉林辽源·高一辽源市实验高级中学校校联考期末）已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（

）A． B．C． D．题型十：函数性质的综合性问题28．（2024上·上海奉贤·高一统考期末）已知函数（且）(1)若，求函数的值域；(2)若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由.(3)若，，且函数在上是严格增函数，求实数的取值范围.29．（2024上·上海·高一校考期末）已知函数，且．(1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式．30．（2024上·上海·高一上海市实验学校校考期末）定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，.(1)判断的奇偶性并证明；(2)判断的单调性并证明；(3)解关于的不等式（）.【强化精练】一、单选题31．（2023上·吉林·高一校联考期末）奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．32．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）下列哪一组的函数与是同一函数（

）A．B．C．D．33．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．34．（2024上·上海虹口·高一统考期末）对于以下两个结论，说法正确的是（

）结论①：设，若任取，且，则必有；结论②：设，则有对恒成立．A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错35．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．36．（2021上·内蒙古赤峰·高一校考期中）定义在上的函数的图象关于对称，且满足：对任意的，，且（）都有，且，则关于的不等式的解集是（

）A． B．C． D．37．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数在上是增函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．38．（2024上·辽宁沈阳·高一统考期末）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题39．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知函数，且，则（

）A． B．是奇函数C．函数的图象关于点对称 D．不等式的解集为40．（2023上·四川凉山·高一校联考期末）下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与41．（2024上·云南玉溪·高二统考期末）已知函数是定义域为的奇函数，则下列式子一定正确的是（

）A． B．C． D．42．（2023上·广东佛山·高一佛山一中校考阶段练习）已知定义域为R的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（

）A． B．是偶函数C．关于中心对称 D．43．（2023上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知函数.记，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．当时，B．函数的最小值为-1C．函数在上单调递减D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或三、填空题44．（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是.45．（2023上·河南新乡·高一校考期末）已知，则.46．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式．47．（2023上·浙江·高一校联考期中）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是.48．（2024上·上海·高一校考期末）已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是．四、解答题49．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数的表达式为．(1)证明：当时，函数在上是严格增函数；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．50．（2021上·云南楚雄·高一校考期末）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，．(1)求证：；(2)求；(3)解不等式．51．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知函数.(1)判断的奇偶性；(2)用单调性定义证明在上单调递减；(3)若的定义域为，解不等式.52．（2024上·山东滨州·高一校考期末）已知函数，.(1)用单调性的定义证明在上是单调减函数；(2)若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.53．（2017上·江苏南通·高一校联考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于t的不等式．54．（2023上·山东临沂·高一校考期末）已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围.第04讲：指、对、幂函数【考点梳理】考点一：指对幂的运算 考点二：比较大小考点三：指数函数的图像问题 考点四：指数函数的实际应用考点五：指数函数的基本性质 考点六：对数函数定义域和值域问题考点七：对数函数的图像 考点八：对数函数的实际应用考点九：对数函数的基本性质 考点十：幂函数的定义域、值域和图像考点十一：幂函数的性质综合【知识梳理】知识一：分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.知识二．指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数知识三：.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．知识四：对数一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．知识五：对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(2)对数的性质①＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(3)对数的换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．知识六：对数函数的图象与性质y=logaxa>10<a<1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)(4)当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数技巧归纳：1、换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．知识七：.幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较知识八：五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识九一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：指对幂的运算1．（2024上·四川雅安·高一校考期末）计算下列各式：(1)；(2)2．（2023上·全国·高一专题练习）（1）；（2）；（3）；（4）已知，，试用，表示.3．（2023上·江西南昌·高一南昌二中）（1）计算：的值；（2）已知，，且，求的值.题型二：比较大小4．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．5．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．6．（2023上·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．题型三：指数函数的图像问题7．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）函数的图象大致为（

）A．B．C． D．8．（2023上·山东枣庄·高一校考阶段练习）已知函数，则函数的图象的可能是（

）A．B．C．D．9．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期中）已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（

）A．4 B．1 C．2 D．5题型四：指数函数的实际应用10．（2023上·全国·高一专题练习）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（

）A．4 B．8 C．12 D．1611．（2023上·浙江·高一校联考期中）已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（

）名A．10000 B．8000 C．4000 D．350012．（2023上·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20~79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了120mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待小时才能驾驶．（参考数据：，）（

）A．5 B．6 C．7 D．8题型五：指数函数的基本性质13．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）定义在上的函数满足，当上时，.(1)求函数在上的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.14．（2023上·上海·高一上海市文来中学校考阶段练习）已知函数(1)求不等式的解集；(2)求的值域；(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围．15．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）已知函数，且.(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；(2)若，且在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.题型六：对数函数定义域和值域问题16．（2023上·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）函数的定义域为（

）A．或 B．C． D．且17．（2023上·浙江杭州·高一校考阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．18．（2023上·江苏南京·高一期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型七：对数函数的图像19．（2023上·海南海口·高一海南华侨中学校考阶段练习）函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

20．（2023上·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

21．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

题型八：对数函数的实际应用22．（2023上·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍23．（2021上·四川成都·高一校联考期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（

）倍．(参考数据：)A． B． C． D．24．（2021·全国·高一专题练习）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（

）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%题型九：对数函数的基本性质25．（2024上·湖北·高一期末）已知函数（且）(1)试判断函数的奇偶性；(2)当时，求函数的值域；(3)已知，若，使得，求实数a的取值范围．26．（2024上·甘肃·高一统考期末）已知函数，且的图象过点.(1)求的值及的定义域；(2)求在上的最小值；(3)若，比较与的大小.27．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知．(1)当时，解不等式；(2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围．题型十：幂函数的定义域、值域和图像28．（2023上·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）是幂函数，且在上是减函数，则实数（

）A．2 B． C．4 D．2或29．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，则（

）A．时，是偶函数 B．时，的值域为C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数30．（2023上·山东烟台·高一统考期中）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（

）A．B．C．D．题型十一：幂函数的性质综合31．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知幂函数.(1)求的值；(2)若，求实数的取值范围.32．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）已知幂函数在上单调递减.(1)求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.33．（2021上·山东泰安·高一泰安一中校考期中）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值．【强化精练】一、单选题34．（2024上·四川雅安·高一校考期末）函数定义域为（

）A． B． C． D．35．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（

）A． B． C． D．36．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）若，，．则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．37．（2023上·江苏南京·高一期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．38．（2023上·吉林白山·高一统考期末）已知幂函数在上是减函数，则的解集为（

）A． B．C． D．39．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约（

）（参考数据：，）A．9560年 B．9550年 C．8370年 D．8230年40．（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知函数是单调减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．41．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．42．（2023上·四川成都·高一期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．二、多选题43．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考期末）下列说法正确的是（

）A．函数是R上的奇函数B．若是定义在R上的幂函数，则C．函数在内单调递增，则a的取值范围是D．若函数为奇函数，则44．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．45．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）下列说法正确的是（

）．A．函数（且）过定点B．是定义域上的减函数C．的值域是D．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件46．（2024上·辽宁·高一校联考期末）给出下列结论，其中不正确的结论是（

）A．函数的最大值为B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是C．函数的定义域为，则函数的定义域为D．若函数的值域为，则实数的取值范围是47．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数值域为B．函数是增函数C．不等式的解集为D．三、填空题48．（2024上·上海松江·高一统考期末）已知，用、的代数式表示.49．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知（且），若在上是严格增函数，则实数的取值范围是.50．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是．51．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）指数函数过点，，，，则的大小关系为.（用“”号连接）四、解答题52．（2024上·上海松江·高一统考期末）已知函数的表达式.(1)判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由(2)是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由53．（2024上·上海·高一校考期末）设常数，函数.(1)当时，①求函数值域；②判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；(2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.54．（2024上·上海·高一校考期末）已知函数.(1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数；(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；(3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.55．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1.(1)求的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.第05讲：:函数的零点和函数的模型【考点梳理】考点一：函数零点存在定理 考点二：用二分法求函数f(x)零点近似值考点三：函数的零点所在区间求参数问题 考点四：零点的个数或根个数求参数范围考点五：零点的分布问题 考点六：函数模型的应用考点七：函数和方程的综合问题【知识梳理】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210【题型归纳】题型一：函数零点存在定理1．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．2．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知，则的零点所处的区间是（

）A． B． C． D．3．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）函数的零点所在的大致区间为（

）A． B． C． D．题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值4．（2023上·江苏苏州·高一张家港市沙洲中学校考期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根精确度为可以是（）A． B． C． D．5．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.66．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（

）A． B．C． D．题型三：函数的零点所在区间求参数问题7．（2023下·河南信阳·高一统考期末）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2021上·广东广州·高一统考期末）设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型四：零点的个数或根个数求参数范围10．（2024上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．11．（2023上·全国·高一期末）已知函数，若方程仅有两个不同的根，则的取值范围为

()A． B． C． D．12．（2024上·湖南郴州·高一安仁县第一中学校联考期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型五：零点的分布问题13．（2023上·北京石景山·高一校考期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．14．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数若关于的方有个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．15．（2023上·江苏南京·高一统考期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六：函数模型的应用16．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（

）（参考数据：）A．B．C． D．17．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（

）A． B． C． D．18．（2024上·甘肃定西·高一统考期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（

）（参考数据：）A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年题型七：函数和方程的综合问题19．（2024上·云南迪庆·高一统考期末）绿水青山就是金山银山，“两山”的转换不仅发生在青山绿水之间，在生产生活中更应该注重对环境的保护．为了减少工厂废气排放的影响，工厂可以采用一些技术来减少废气排放，也可以改变生产工艺来减少废气排放，某工厂产生的废气经过滤，后排放、过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位．h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么(1)10h后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少需要花多少时间（精确到）？(3)画出P关于t变化的函数图象．20．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1.(1)求的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.21．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知．(1)当时，解不等式；(2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围．【强化精练】一、单选题22．（2024上·辽宁朝阳·高一建平县第二高级中学校考期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．23．（2024上·重庆·高一校联考期末）函数的交点所在的一个区间是（

）A． B．C． D．24．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数的零点的个数为（

）A． B． C． D．25．（2024上·上海·高一上海市进才中学校考期末）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（

）．A．20% B．23% C．28% D．50%26．（2023上·湖南长沙·高一校联考期末）若函数有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．27．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知函数，则函数的零点个数为（

）A．2 B．1或2 C．3 D．1或328．（2024上·上海嘉定·高一统考期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题30．（2024上·辽宁铁岭·高一校考期末）某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:则方程的近似解(精确度)可取为（

）A． B． C． D．31．（2023上·河南安阳·高一安阳一中校考期中）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（

）A．B．C．函数有3个零点D．当时，32．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，且，则（

）A．的取值范围是 B．C． D．故选：BCD33．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）已知函数函数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则有3个零点 D．若，则有5个零点三、填空题34．（2024上·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）已知图象连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为）的近似值，那么将区间等分的次数至少是.35．（2024上·上海·高一校考期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为．36．（2023上·福建泉州·高一校考期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为；若与有3个交点，则实数的取值范围是.37．（2023上·吉林白山·高一统考期末）设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是．四、解答题38．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v（单位：）与该路段上的行车数量n（单位：辆）的关系为：，其中常数．该路段上每日t时的行车数量．已知某日17时测得的平均行车速度为．(1)求实数k的值；(2)定义，求一天内q的最大值（结果四舍五入到整数）．39．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数.(1)当时，求函数的零点；(2)当时，求不等式的解集.40．（2023上·四川内江·高一四川省隆昌市第一中学校考期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表：第天12510（万件）141210.810.38(1)给出以下两种函数模型：①，②，其中，为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；(2)若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的.41．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数的表达式为．(1)求函数的零点；(2)解不等式：；(3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．42．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）已知函数，且.(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；(2)若，且在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.43．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数．(1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；(2)试讨论函数的零点的个数．44．（2024上·山东济南·高一济南三中校考期末）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.(1)求实数m，n的值；(2)若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数a的取值范围.第06讲：三角函数中任意角、诱导公式、同角基本关系【考点梳理】考点一：终边相同的角 考点二：象限角考点三：弧度制 考点四：弧长公式和面积公式考点五：任意角的三角函数 考点六：同角三角函数的基本关系考点七：三角函数的诱导公式 考点八：三角函数的化简求值问题【知识梳理】知识一：角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角知识二：终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．知识三：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：知识四：同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.知识五：六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限技巧归纳：1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．同角三角函数基本关系式的常用变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.【题型归纳】题型一：终边相同的角1．（2023下·江西吉安·高一统考期末）已知角的集合，则在内的角有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2023下·北京海淀·高一北大附中校考期中）将的终边逆时针旋转，与的终边重合，则与终边相同的角的集合为（

）A． B．C． D．题型二：象限角4．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考期中）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2023下·北京·高