2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市中考数学试题

2020年抚顺本溪辽阳初中毕业生学业考试

数学试卷

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.-2的倒数是（）

11

A.-2B.——C.—D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】

根据倒数的定义求解.

【详解】-2的倒数是

故选B

【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握

2.下图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（）

各

正而

A।।"/

【答案】C

【解析】

【分析】

根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.

【详解】从正面看下边是一个矩形,矩形的上边是一个三角形，

故选：C.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

3.下列运算正确的是（

42

A.m~+2m-3mB•m+irT=mC.nr-m-ni

【答案】B

【解析】

【分析】

运用合并同类项，同底数辱的除法，同底数幕的乘法，幕的乘方等运算法则运算即可.

【详解】解：A.〃产与2〃?不是同类项，不能合并，所以A错误；

B.m4^m2=m4'2=m2,所以B正确；

C.m2,m3—m2+3—m5,所以C错误；

D.2）3=,”6,所以。错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数累的除法，同底数事的乘法，塞的乘方等运算，熟练掌握运

算法则是解答此题的关键.

4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选:D.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

5.某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差

分别是吊=3.6,si=4.6,s焉=6.3,s彳=7.3,则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】

【分析】

根据方差的意义即方差越小成绩越稳定即可求解.

【详解】解：帝=3.6,si=4.6,1=6.3,4=7.3,且平均数相等，

S手VS；<S需<5-]-

.•.这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，

故选：A.

【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方

差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

6.一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若Nl=20。，则/2的度数是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平行线的性质求得/3的度数，即可求得N2的度数.

：AD〃BC,

.,.Z3=Z1=2O°,

VADEF是等腰直角三角形,

.•.ZEDF=45°,

.".Z2=45°-Z3=25°,

故选：c.

【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题.

7.一组数据1,8,8,4,6,4的中位数是（）

A4B.5C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

先将数据重新按大小顺序排列，再根据中位数的概念求解可得.

4+6

【详解】解：一组数据1,4,4,6,8,8的中位数是——=5,

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）

的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数

是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

8.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3（X）0件

提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周

投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件X件，根据题意可列方程为（）

300042003000“4200

xx-80xx

4200300030004200

xxxx+80

【答案】D

【解析】

【分析】

设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量

一人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，

根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：2222=£缎，

xx+80

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

9.如图，四边形ABCO是菱形，对角线AC,BO相交于点O，AC=8,BD=6,点E是CD上一点,

连接QE，若OE=CE，则0E的长是（)

5

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB,OC,AC±BD,再利用勾股定理列式求出BC,然后根据等腰三

角形的性质结合直角三角形两个锐角互余的关系求解即可.

【详解】：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,

11

，OA=OC=-AC=4,0B=0D=-BD=3,AC±BD,

22

由勾股定理得，=/42+32=5,

：OE=CE,

.".ZEOC=ZECO,

ZEOC+ZEOD=ZECO+ZEDO=90°,

ZEOD=ZEDO,

；.OE=ED,

，OE=ED=CE,

15

；.OE=-CD=-.

22

故选:B.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，熟记

性质与定理是解题的关键.

10.如图，在RtMBC中，NACB=90°,AC=BC=2及,于点。.点P从点A出发，沿

AfOfC的路径运动，运动到点C停止，过点P作PELAC于点E，作于点设点P运

动的路程为x,四边形CEPE的面积为y，则能反映N与x之间函数关系的图象是（）

【解析】

分析】

分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了

D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案.

【详解】解：•••Z4CB=90。，AC=BC=2五,

AZA=45°,AB=4，

又•:CDLAB,

：.AD=BD=CD=2,ZACD=ZBC£>=45°,

VPE±AC,PFLBC,

；・四边形CEPF是矩形，

I.当P在线段AD上时，即0<xV2时，如解图1

解图1

•••AE=PE=AP.sinA=—x，

2

CE=2y/2-—x

2

-^-X2+2X,此阶段函数图象是抛物线，开口方向向

•••四边形CE尸产的面积为y

2

下，故选项CD错误；

II.当P在线段CD上时，即2<xW4时，如解图2：

依题意得：CP=4-x,

,/ZACD=/BCD=45°，PELAC,

•••CE=PE=CPxsin/ECP,

5

•••CE=PE=（4-x）sin45°=^-（4-x），

-万Ti

四边形CEPF的面积为>=拳（4—x）=；/_4%+8,此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，

故选项B错误；

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键.

第二部分非选择题（共120分）

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11.截至2020年3月底，我国已建成5G基站198000个，将数据198000用科学记数法表示为.

【答案】1.98xl05

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当数绝对值大于10时，n是正数；当原数的

绝对值小于1时，n是负数.

【详解】198000=1.98X105,

故答案为：1.98x105.

【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

12.若一次函数y=2x+2的图象经过点（3,〃。，则m=.

【答案】8

【解析】

【分析】

将点(3,根)代入一次函数的解析式中即可求出〃?的值.

【详解】解：由题意知，将点(3,机)代入一次函数y=2x+2的解析式中，

即：m=2x3+2,

解得：m=8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可.

2

13.若关于x的一元二次方程x+2x-k=0无实数根，则攵的取值范围是.

【答案】k<-l

【解析】

【分析】

方程无实数根，则♦<(),建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围.

【详解】h=2,c=-k,

由题意知，♦="?-4tzc=22-4x1x(-%)=4+4%<0,

解得：k<-\,

故答案为：k<—1.

【点睛】本题考查了一元二次方程o?+法+0=0(。。。，4历。为常数)的根的判别式♦=〃—4ac.当

♦>0.方程有两个不相等的实数根；当♦=(),方程有两个相等的实数根；当♦<()，方程没有实数根.

14.下图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是

【答案】-

9

【解析】

【分析】

先设阴影部分的面积是5x,得出整个图形的面积是9x,再根据几何概率的求法即可得出答案.

【详解】解：设阴影部分的面积是5x,则整个图形的面积是9x,

则这个点取在阴影部分的概率是5二r=-5

9x9

故答案为：

【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求

事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率.

15.如图，在AA8C中，M.N分别是A3和AC的中点，连接MN,点E是CN的中点，连接ME并延

长，交的延长线于点。，若8C=4,则CO的长为.

【答案】2

【解析】

【分析】

依据三角形中位线定理，即可得到MN=，BC=2,MN//BC,依据△MNE岭ZWCE(AAS),即可得到

2

CD=MN=2.

【详解】解：：M,N分别是AB和AC的中点，

ABC的中位线，

；.MN」BC=2,MN〃BC,

2

NNME=/D,NMNE=NDCE,

•••点E是CN的中点，

，NE=CE,

.,.△MNE^ADCE(AAS),

；.CD=MN=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等

三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

16.如图，在RtA43c中，NACB=90。，AC^2BC,分别以点A和8为圆心，以大于的长为半径

2

作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点£,连接BE,若C£=3,则BE的长为

【答案】5

【解析】

【分析】

由题意可得：直线MN是A8的垂直平分线，从而有EA=EB,然后设8E=AE=x,则可用含x的代数式表示

出BC,于是在R3BCE中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求出结果.

【详解】解：由题意可得：直线MN是A8的垂直平分线，...£A=£B,

设BE=AE=x,则AC=x+3,

•；AC=2BC,

BC=；(x+3),

在RSBCE中，由勾股定理，^BC2+CE2BE2，

19

即1(x+3)-+3?,解得：玉=5,々=一3(舍去),

BE=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质、勾股定理和一元二次方程的解法等知识，属于常

考题型，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题关键.

k

17.如图，在小钻。中，A5=AC,点A在反比例函数y=—(攵>0,x>())的图象上，点B,C在工

x

轴上，OC=goB,延长AC交y轴于点。，连接8D，若&38的面积等于1,则氏的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】

作AELBC于E,连接0A,根据等腰三角形的性质得出OC=』CE,根据相似三角形的性质求得SACEA=1,

2

3

进而根据题意求得SAAOE=-，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值.

2

【详解】解：作AELBC于E,连接OA,

VAB=AC,

ACE=BE,

VOC=-OB,

5

AOC=-CE,

2

VAE/70D,

.'.△COD^ACEA,

・•・江/空]：4,

SCODIOCJ

•/SBCD=T，OC=|oB,

*・*°sCOD-3[QBCD._71，

・•SCEA=4xz=1,

1

VOC=-CE,

2

,••JqAOC_l5v）CE4-1]，

,•SAOF=F1=-，

AOE22

§AOE=万人（%＞。），

k=3）

故答案为：3.

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判

定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

18.如图，四边形A3CD是矩形，延长D4到点E，使A£=ZM,连接上3,点£是C。的中点，连接瑁"

BK，得到点尸2是CH的中点，连接后工，BF2,得到△后鸟9；点尸,是的中点，连接七鸟，

BF3,得到AEF,B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABC。的面积等于2,则△E/8的面积为

.（用含正整数〃的式子表示）

【答案】m

2"

【解析】

【分析】

先计算出AE-B、\EF2B.的面积，然后再根据其面积的表达式找出其一般规律进而求解.

【详解】解：：AE=DA，

/.AA6E面积是矩形ABCD面积的一半，二梯形BCDE的面积为2+1=3,

•..点”是CO的中点，。耳=。6

BCCF

5ASfjc=^\=；BC.gCD=；S矩形ABCD=g,

S^DF、E=；DE*DF\=3*240.；0。=（5矩形488=],

・・•点工是。耳的中点，由中线平分所在三角形的面积可知,

・S_lc_1

••1，

3

且06=50月，

33

*e•^ADF2E=5S^DF\E=2

.315

*•S.B=S梯形BAC。一S/E_=3--,

同理可以计算出：

11

-%=--

-，

2明c8

7

-D片

4，

77

--4=-

。

4月E4

719

=3=

4-8-8-

359

故AEFJB、AEF、B、的面积分别为:2-4-8-

观察规律，其分母分别为2,4,8,符合2"，分子规律为2"+1，

AEE/的面积为宜tl.

2"

2"+1

故答案为:

2"

【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形面积公式，矩形的性质等，本题的关键是能求出前面三

个三角形的面积表达式，进而找出规律求解.

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

X1x+1

19.先化简，再求值:其中

2x=\f2-3•

x-33—xx-9

【答案】x+3,0

【解析】

【分析】

首先根据分式的加减法法则将括号里面的分式进行计算，然后将除法转化成乘法进行约分化简，最后将工的

值代入化简后的式子进行计算.

X1x+1

【详解】

x-33-xX2-9

=X4-1+_____X_+__l____

x—3(x+3)(x—3)

x+1(x+3)(x—3)

=-----------------

x-3x+\

=x+3,

当x=0-3时，

原式=正一3+3=技

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题

的关键.

20.为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了

解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的

总时间为x小时，将它分为4个等级：A(0<x<2),B(2<x<4),C(4<x<6),D(x>6),

并根据调查结果绘制了如两幅不完整的统计图：

学生每周课外阅读总时间条形统计图

学生每周课外阅读总时间扇形统计图

人数(名)

8

6

4

2

0

8

6

4

2

0

ABCD等级

请你根据统计图的信息，解决下列问题:

(1)本次共调查了名学生；

(2)在扇形统计图中，等级。所对应的扇形的圆心角为'

(3)请补全条形统计图;

(4)在等级。中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传

员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.

【答案】(1)50；(2)108；(3)见解析；(4)4

【解

【分析】

（1）用条形统计图中等级B的人数除以扇形统计图中等级B所占百分比即得本次调查的人数；

（2）用扇形统计图中等级D的人数除以总人数再乘以360。即可求出等级。所对应的扇形的圆心角；

（3）用总人数减去其它三个等级的人数即得等级C的人数，进而可补全条形统计图；

（4）先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解即

可.

【详解】解：（1）本次调查的学生人数=13+26%=50名；

故答案为：50；

（2）在扇形统计图中，等级。所对应的扇形的圆心角=*360°=108°.

故答案为：108；

（3）C等级人数为：50—4一13-15=18名，补图如下：

A*（«）

（4）画树状图得：

开始

甲乙丙丁

AAAA

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

由图可知：总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，

21

所以P（恰好选中甲和乙）

126

【点睛】本题是统计与概率综合题，主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及求两次事件的概

率，属于常考题型，熟练掌握统计与概率的基本知识是解题的关键.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲

种词典和3本乙种词典共需290元.

（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？

（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？

【答案】（1）每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元；（2）学校最多可购买甲种词典5

本

【解析】

【分析】

（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词

典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于X,y的二元一次方程组，

解之即可得出结论；

（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30-m）本，根据总价=单价x数量结合总费用不超过1600

元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

【详解】（1）设每本甲种词典的价格为工元，每本乙种词典的价格为N元，根据题意，得

'x+2y=170

'2x+3y=290

[x=70

解得《s

y=50

答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元.

（2）设学校计划购买甲种词典加本，则购买乙种词典（30-加）本，根据题意，得

70m+50（30-m）<1600

解得m<5

答：学校最多可购买甲种词典5本.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

22.如图，我国某海域有A，3两个港口，相距80海里，港口3在港口A的东北方向，点C处有一艘货船,

该货船在港口A的北偏西30。方向，在港口8的北偏西75。方向，求货船与港口A之间的距离.（结果保留

根号）

【答案】货船与港口A之间的距离是40面海里

【解析】

【分析】

过点A作A。，BC于。，先求出ZABC=60°,在Rt^BD中，ZZMB=30°,由三角函数定义求出AD，

求出〃4C=NC4B-NZMB=45。，则A/LDC是等腰直角三角形，得出AC=0A£>=40后海里即可.

详解】解：过点4作4。，8。于点。

根据题意，得

ZABC=180。一75°-45°=60°

•；ADVBC

/.ZADB^90°

；•ZDAB=1800-ZADB-ZABC=180°-90°-60。=30°

在RM48O中

VAB=80,ZABD=60°

•••AD=AB-sinNABD=80-sin60°=40百

,/ZC4B=30°+45o=75°

；•ADAC=ZCAB-ZDAB=75°-30°=45°

在RtAACO中

••,">=406，ND4C=45。

AC=———=40GxV2=40A/6

cosADAC

答：货船与港口A之间的距离是40街海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；通过作辅

助线构造直角三角形是解题的关键.

五、解答题（满分12分）

23.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价X（元）

之间满足一次函数关系（其中104xW15,且X为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为

90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶.

（1）求>与》之间的函数关系式；

（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌

洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

【答案】（1）y=-5x+150（10<x<15,且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售

该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解可得：

（2）根据“毛利润=每瓶毛利润x销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可

得.

【详解】解：（1）设>与％之间的函数关系式为丫=履+6根据题意，得：

J12k+6=90

[14%+6=80'

k=-5

解得.…，

b=150

•••y与X之间的函数关系式为y=—5X+150（10WXW15,且X为整数）；

（2）根据题意,得：

w=(x-10)(-5%+150),

=一5/+200x-l500，

=-5(x—20A+500,

:a=-5<0,

•••抛物线开口向下，w有最大值，

••・当x<20时，卬随工的增大而增大，

V10<x<15,且x整数，

.•.当x=15时，w有最大值，

即卬=—5x(15—20)2+500=375,

答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元.

【点睛】本题主要了考查二次函数应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润

的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题.

六、解答题(满分12分)

24.如图，在平行四边形ABCO中，AC是对角线，NC45=90°,以点A为圆心，以AB的长为半径作A,

交BC边于点E，交AC于点R，连接。E.

入_______f

(1)求证：与。A相切；

(2)若NA5C=60°,A3=4,求阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析；(2)45/3----

3

【解析】

【分析】

(1)证明：连接AE,根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD〃BC,求得NDAE=NAEB,根据全等三

角形的性质得到NDEA=NCAB,得到DELAE,于是得到结论；

(2)根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE=BE,NEAB=60。,得至叱CAE=/ACB,得至I」CE=BE,

根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】(1)证明：连接AE

V四边形ABCD是平行四边形

AAD=BC,AD//BC

：.ZDAE=ZAEB

'：AE=AB

ZAEB=ZABC

ZDAE=ZABC

：.^AED^ABAC

ZDEA=ZCAB

,/NC4B=90°

•••"£4=90°

•••DELAE

：AE是OA的半径

:.DE与、A相切

(2)解：；NABC=60°,AB^AE

；•AABE是等边三角形

；.AE=BE，ZEAB=60°

,/NC4B=90°

/.ZCAE=90°-ZEAB=90。一60°=30°

ZACB=90°—NB=90°-60°=30°

ZCAE=ZACB

：.AE^CE

CE=BE

•・,在RtAABC中，ZCAB=90°,ZABC=60°,AB=4

AC-AB-tanZABC=4xtan60°=4百

11

--

,•S加18c22

S^CE=2SMBC=5x=4G

VZC4£=30°，AE=4

30万xAE?30万x42_4万

扇形”防—一360-360--

,•S阴影=SMCE_S扇形AEF=46—~

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判

定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.

七、解答题(满分12分)

25.如图，射线AB和射线C8相交于点B,ZABC^a(0°<a<180°),且A8=CB.点。是射线CB

上的动点(点。不与点C和点3重合).作射线AO,并在射线A。上取一点E，使NAEC=a,连接CE,

BE.

(1)如图①，当点。在线段CB上，。=90°时，请直接写出NAEfi的度数;

请写出线段AE，BE,CE之间的数量关系，并说明理

图②品用图

ICE

（3）当a=120。，tanND4B=—时，请直接写出J的值.

3BE

【答案】（1）ZAEB=45°；（2）AE=6BE+CE，理由见解析：（3）tHI或上史

22

【解析】

【分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质求解得NACB=45。，证明A、B、E、C四点共圆，利用圆周角定理即可

求解；

（2）在AD上截取Ab=CE,连接BF，过点B作于点”，利用“SAS”证得△ABF三△CBE,

求得4BFE=Z.BEF=30°,根据三角函数的定义即可求解；

（3）分D在线段CB上和D在CB延长线上两种情况讨论，利用（2）的方法及结论即可求解.

【详解】（1）连接AC,如图：

ZACB=ZCAB=45°,

VZAEC=90°,又/ABC=90。，

:.A、B、E、C四点共圆，

根据圆周角定理：ZAEB=ZACB=45°；

（2）AE=6BE+CE，理由如下：

在AZ）上截取AR=CE,连接BF，过点B作3〃，£厂于点

ZABC=ZAEC,

:.A、B、E、C四点共圆，

根据圆周角定理：NA=NC,

在力ABF和ACBE中，

AF=CE

<NA=NC,

BA=BC

：.AABF^ACBf(SAS),

AZABF=ZCBE,BF=BE,

ZABF+ZFBD=ZCBE+ZFBD,

NFBE=ZABC,

ZABC=120。，

/.ZFBE=120°,

*/BF=BE,

NBFE=NBEF=g(180°—ZFBE)=g(180°—120°)=30°,

•••BH±EV于点H,

/.ZBHE=90°,

...在Rt&BT汪:中，

FH=EH=BEcosZBEH=BE-cos30°=—BE，

FE=FH+EH=—BE+—BE=y/3BE，

22

VAE^AF+FE，AF=CE,

；•AE=CE+6BE；

(3)当D在线段CB上时，如图:

AB

…cBH1

*tanNDAB=----=一

AH3

.•.设BH=a,贝ijAH=3a,

由(2)得：NBFE=NBEF=30°,

：.BF=BE=2a,FH=EH=6a,

AF=CE=AH-FH=(3-&)4,

...CE_（3@a_3G:

~BE~~la-2

当D在CB延长线上时，

在AO上截取Ab=CE，连接8尸，过点8作J_所于点如图:

同理：设BH=",则AH=3a,

同理得：ZBFE=NBEF=30。,

；.BF=BE=2a,FH=EH=Ga，

AF=CE=AH+FH=(3+73)«>

...CE_(3+3+5

~BE~~2a-2

综上，CW的值为：2±在或三3.

BE22

【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角

形的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键.

八、解答题（满分14分）

26.如图，抛物线y=2^x+c(a。。)过点0(0,0)和A(6,0),点8是抛物线的顶点，点。是x轴

下方抛物线上的一点，连接QB,OD.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①，当ZBQD=30°时，求点。的坐标;

图①

(3)如图②，在(2)的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点。，交线段8于点E，点尸是线段08上

的动点(点/不与点。和点3重合，连接EF，将A8所沿EF折叠，点3的对应点为点3，AEF8'与

△O6£的重叠部分为A£FG,在坐标平面内是否存在一点〃，使以点E，F，G,〃为顶点的四边形是

矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由.

36、"户367373、

(->—)或(不，-----)或(不，------)

222222

【解析】

【分析】

(1)把点0(0,0)和A(6,0)分别代入解析式即可求解;

(2)分别求得点B、C、E的坐标，用待定系数法求得直线8的解析式，解方程组即可求得点D的坐标;

(3)分三种情况讨论，利用解直角三角形求解即可.

【详解】(1)把点0(0,0)和A(6,o)分别代入y=奴2_2瓜+C中，得:

c=0

<

36。-12百+c=0

fG

a------

解得《3，

c=0

抛物线的解析式为y=走/一；

(2)如图，设抛物线的对称轴与x轴相交于点C,与8相交于点E,

顶点仇3,-36),对称轴与x轴的交点C(3,0),

；.OC=3,CB=3#,

•••在RtAOCB中，tanZCOB=—=^=V3.

OC3

；•NCO8=60。，

•••ZBOD=30°,

：.ZCOD=/COB-ZBOD=60°-30°=30°,

...在RtAOCE中，CE=OC-tanZCOE=3tan3O°=3x—=73,

3

，点E的坐标为(3,—G),

设直线OD的解析式是丫=区(ZHO),

把点E(3,-百)代入,得：

3k=—\f?>解得k=-，

3

，直线OD的解析式是y=一也无，

3

33

解得玉=0（舍去），无2=5，

...当x=5时，）=_止，

3

cn

.,.点D的坐标为（5,-二分）；

3

（3）存在，理由如下:

由⑵得：ZCOE=ZEOB=30°,CE=6,BE=OE=2CE=25/3.

点6'、G与点O重合，此时四边形EFGH为矩形,

过H作HP_LOC于P,

ZCOE=ZEOB=30°,

；.OH=EF=CE=e,

ZHOP=900-ZCOE-ZEOB=300,

.".HP=—OH=—,0P=J3HP=-,

222

3a

点H的坐标为（不，9）；

22

②当NEGF=90。时，此时四边形EGFH为矩形，如图:

y

VZCEO=90°-ZCOE=60°,ZOEG=90°-ZEOB=60°,

ZBEG=1800-ZCEO-ZOEG=60°,

根据折叠的性质：ZDzEF=ZBEF=—^BEG=30°，

2

在RSEGF中，ZEGF=90°,ZGEF=30°,GE=CE=6,

/.GF=GE.tan30°=l,

AEH=GF=1,

过H作HQ_LBC于Q,

JZHEQ=90°-ZBEG=30°,

]]w

.".HQ=—EH=—,EQ=73HQ=—,

222

点H的坐标为（，+3,一且一百），即（,，一述）；

2222

③当点G在OD上，且NEGF=90。时，此时四边形EGFH为矩形，如图:

,/NBOE=30°,

ZOFG=900-ZEOB=60°，

根据折叠的性质：/kg'E=/BFE=；/BFG=；(180°-/OFG)=60。，

.♦•FG是线段OE的垂直平分线，

OG=GE=gOE=百,EH=GF=OG.tan300=1,

过H作HK_LBC于K,

?.ZHEK=180°-ZOEC-ZOEH=300,

.".HK=—EH=—,EK=J3HK=—,

22'2

点H的坐标为（3-!，-昱-5,即（2,-迪）;

2222

争或号-哈吗-哈•

综上，符合条件的点H的坐标为（二3,

2

【点睛】本题是二次函数与几何的综合题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，含30度角的直

角三角形的性质，翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想和分类讨论的思想解决

问题，属于中考压轴题.

山西省2020年中考数学试题

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.计算（—6）+的结果是（)

A.-18B.2C.18D.-2

【解析】根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数.

【详解】解：（-6）+（-!）=（-6）x（-3）=18.故选：C.

3

【小结】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图片,

图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）

@©

D.

Mr卡・域■(»WF1

【解析】根据轴对称图形的概念判断即可.

A、不是轴对称图形;

B、不是轴对称图形;

C、不是轴对称图形;

D、是轴对称图形；

故选：D.

【小结】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合，如

果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

3.下列运算正确是（）

A.3a+2a=5a~B.—8a?+4a=2aC.（—2。-）=-8a''D.4a3-3cr—12a6

【解析】利用合并同类项、单项式除法、幕的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可.

A.3a+2a=5。，故A选项错误；

B.-8£?+4a=-2a，故B选项错误；

C.（一24）3=一8。6,故C选项正确；

D.4/-3。2=12炉，故D选项错误.

故答案为C.

【小结】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则

是解答此类题的关键.

4.下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（)

【解析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可.

A、左视图为--------1，主视图为,左视图与主视图不同，故此选项不合题意;

左视图与主视图相同,故此选项符合题意;

左视图与主视图不同，故此选项不合题意；

左视图与主视图不同，故此选项不合题意；

故选B.

【小结】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和主视图的画法.

5.泰勒斯是古希腊时