专题06 代数式与整式(解析版)

专题06代数式与整式考点一列代数式考点二代数式的概念考点三已知字母的值，求代数式的值考点四已知式子的值，求代数式的值考点五程序流程图与代数式的值考点六单项式的判断及系数、次数考点七多项式的判断及系数、次数考点八整式的判断考点一列代数式例题：（2022·全国·七年级单元测试）请用代数式表示“比的倍小的数”：______【答案】3a-1##-1+3a【分析】a的3倍即3a，小1即-1，据此可得．【详解】解：“比a的3倍小的数”用代数式表示为：3a-1，故答案为3a-1．【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【变式训练】1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）某公园门票价格为成人票每张30元，儿童票每张15元，若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费为_________．【答案】（30m+15n）##（15n+30m）【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【详解】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量＝总价，是列代数式的关键．2．（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）一个三位数，百位上的数字是2，十位上的数字是x，个位上的数字是y，那么这个三位数可表示为______________【答案】200+10x+y【分析】根据三位数的列法即可求解．【详解】解：根据题意得：这个三位数可表示为200+10x+y．故答案为：200+10x+y【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解三位数的列法．考点二代数式的概念例题：（2022·全国·七年级课时练习）在式子，，，x，，中代数式的个数有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】根据代数式的定义判断即可得解．【详解】解：是不等式，不是代数式，是等式，不是代数式；代数式有：，，，，共有4个，故选：C．【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．【变式训练】1．（2022·全国·七年级专题练习）下列式子中，代数式有（

）．A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】利用代数式的定义分别分析进而得出答案．【详解】解：代数式有：共有4个．故选：C．【点睛】此题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题的关键．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式．2．（2021·甘肃兰州·七年级期中）有下列式子：①2；②2a；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【分析】根据代数式的定义，即可求解．【详解】解：代数式有2；2a；；；，共5个．故选：B【点睛】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式是解题的关键．考点三已知字母的值，求代数式的值例题：（2022·全国·七年级专题练习）已知a=-2.5，b=-4，则代数式的值是__________；【答案】-30【分析】直接把a、b的值代入代数式求解即可．【详解】解：∵a=-2.5，b=-4，∴，故答案为：-30．【点睛】本题主要考查了代数式求值，含乘方的有理数混合计算，熟知含乘方的有理数混合计算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2021·四川广元·七年级期末）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，w是相反数等于它本身的数，则x﹣z+y﹣w的值是_____．【答案】0【分析】先根据题意得，最大的负整数x为－1，最小的正整数y为1，绝对值最小的数z为0，相反数等于它本身的数w为0，再进行计算即可得解．【详解】根据题意得：x=－1，y=1，z=0，w=0，则x－z＋y－w=－1－0+1－0=0．故答案为：0．【点睛】本题根据题意结合整数的分类和绝对值的知识，得到每个字母所代表的数，然后再进行有理数的加减法计算即可．2．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）（1）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的相反数是其本身，求的值．（2）已知，，，，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据题意得，，，进行计算即可得；（2）由题意可知，，，，，进行计算即可得．【详解】（1）解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的相反数是其本身，∴，，，∴；（2）解：由题意可知，，，，，∴．【点睛】本题考查了代数式求值，解的关键是理解题意，正确计算．考点四已知式子的值，求代数式的值例题：（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）已知代数式x-2y的值是3，则代数式-3x+6y+10的值是____________．【答案】1【分析】由题意得x-2y=3，再将-3x+6y+10化成-3（x-2y）+10，整体代入计算即可．【详解】解：∵x-2y的值是3，即x-2y=3，∴-3x+6y+10=-3（x-2y）+10=-3×3+10=1，故答案为：1．【点睛】本题考查代数式求值，将-3x+6y+10化成-3（x-2y）+10是解决问题的关键．【变式训练】1．（2021·辽宁·朝阳市第一中学七年级期末）已知代数式，则代数式的值是______．【答案】-2021【分析】依据题意得到，然后依据等式的性质得到，最后代入计算即可．【详解】解：∵，∴＝＝2-2023＝-2021，故答案为：-2021．【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，求得是解题的关键．2．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）已知代数式x-3y的值是4，则代数式（x-3y）2+2x-6y-1的值是__．【答案】7【分析】把看作一个整体并代入代数式进行计算即可解出答案．【详解】将看作一个整体可得：将代入得：故答案为：7．【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．考点五程序流程图与代数式的值例题：（2022·安徽·定远县育才学校八年级期末）在如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为，则输出的结果为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将代入+3即可求解．【详解】解：∵，为分数，∴将代入+3，得：．故选：C．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是根据程序代入对应的代数式求值．【变式训练】1．（2022·河南信阳·七年级期末）按如图所示程序计算，若开始输入的x值是正整数，最后输出的结果是32，则满足条件的x值为（

）A．11 B．4 C．11或4 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意列出等式，进而可以求解．【详解】解：由题意可得，当输入x时，3x-1=32，解得：x=11，即输入x=11，输出结果为32；当输入x满足3x-1=11时，解得x=4，即输入x=4，结果为11，再输入11可得结果为32，故选：C．【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据题意列出等式是解决本题的关键．2．（2021·湖南永州·七年级期中）按下面的程序计算，若输入x的值为1，则输出的结果为___________．【答案】42【分析】根据x(x+1)进行运算，当运算结果大于或等于10时，输出结果，即可得到答案．【详解】解：当输入x的值为1时，x(x+1)=2，当输入x的值为2时，x(x+1)=6，当输入x的值为6时，x(x+1)=42，，输出的结果为42，故答案为：42．【点睛】本题考查了程序流程图和有理数的混合运算，理解程序流程图是解决本题的关键．考点六单项式的判断及系数、次数例题：（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）在代数式，中，是单项式的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据单项式的定义，即可求解．【详解】解：单项式有，共3个．故选：C【点睛】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）单项式的系数为m，次数为n，则8mn的值为____．【答案】【分析】先判断单项式的系数与次数，然后计算8mn即可．【详解】解：∵单项式的系数为，次数为，∴，故答案为：【点睛】本题考查单项式的概念，掌握单项式的定义，会判断单项式的系数与次数的是解题的关键．2．（2022·全国·七年级专题练习）在代数式，，，12，，中，单项式有___________个．【答案】3【分析】根据单项式的定义，进行逐一判断即可．【详解】解：在，，，12，，中，单项式有，，12，一共3个，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数．考点七多项式的判断及系数、次数例题：（2022·全国·七年级课时练习）在代数式、1、、、、、、、、，单项式有______个，多项式有______个．【答案】

4

4【分析】根据单项式与多项式的定义分析即可．【详解】单项式：1，，，共4个，多项式：，，，共4个，，不是整式．故答案为：4，4．【点睛】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或衣蛾字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．【变式训练】1．（2021·四川·广汉市教学研究教师培训中心七年级期中）下列整式：①；②；③；④0；⑤；⑥，其中单项式是__________，多项式是__________（填序号）．【答案】

①③④

②⑤⑥【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；进行判断即可．【详解】解：属于单项式的：①；③；④0；属于多项式的有：②；⑤；⑥，故答案为：①③④；②⑤⑥．【点睛】本题考查了单项式、多项式的定义，能熟记单项式、多项式的定义是解此题的关键．2．（2022·全国·七年级单元测试）多项式是______次______项式，其中三次项是______，二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．【答案】

三##3

三##3

0

5

【分析】根据多项式的次数、项、系数的定义写出即可．【详解】多项式是三次三项式，其中三次项是，二次项系数是0，一次项系数是5，常数项是．故答案为：三；三；；0；；．【点睛】本题考查了多项式的项数，系数，此时，掌握多项式的定义是解题的关键．多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“－”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数；一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．考点八整式的判断例题：（2022·全国·七年级单元测试）在代数式，，，，，，中，整式共有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据整式的定义，单项式和多项式都是整式，整式是指没有除法运算，或有除法运算但除式中不含字母的有理式．【详解】解：∵在代数式，，，，，，中，，，，，，是整式，∴整式共有5个故选C【点睛】本题考查了整式的定义，掌握整式的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）对于下列四个式子：①0.1；②；③；④其中不是整式的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】根据整式的概念对各个式子进行判断即可．【详解】解：①0.1；②；④都是整式；③分母中含有字母，不是整式；故选：C．【点睛】本题考查的是整式的概念，整式分为单项式和多项式，注意分母不能出现字母．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）在，，0，，，中，整式有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】根据整式的定义逐个分析判断即可求解，单项式和多项式统称为整式．【详解】解：在，，0，，，中，整式有，，0，，，共5个，故选C【点睛】本题考查了整式的判断，掌握单项式和多项式统称为整式是解题的关键．一、选择题1．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列各式符合代数式书写规范的是（

）A．a8 B． C．m﹣1元 D．1x【答案】B【分析】本题根据书写规则，数字应在字母前面，分数不能为假分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．【详解】A、数字应写在前面正确书写形式为8a，故本选项错误；B、书写形式正确，故本选项正确；C、正确书写形式为（m﹣1）元，故本选项错误；D、正确书写形式为x，故本选项错误，故选：B．【点睛】本题考查了代数式：用运算符号（指加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．数的一切运算规律也适用于代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式，注意代数式的书写格式是解答此题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）下列式子中：，，，，，整式有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据整式的定义判断即可．【详解】-a是单项式，是整式；为单项式，是整式；是一个多项式，是整式；不是整式，因为它的分母中含有字母；是一个多项式，也是整式；所以一共有4个整式；故选:C【点睛】本题考查整式的基本概念，单项式和多项式统称为整式．3．（2022·河南郑州·七年级期末）下列说法正确的是（

）A．单项式的系数是，次数是2 B．单项式的次数是3C．是四次三项式 D．是二次单项式【答案】C【分析】根据单项式的系数与次数、多项式的项数与次数的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、单项式的系数是，次数是，则此项错误，不符合题意；B、单项式的次数是，则此项错误，不符合题意；C、总共有三项，项中次数最高的是4，所以它是四次三项式，则此项正确，符合题意；D、是二次二项式，则此项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了单项式的系数与次数、多项式的项数与次数，熟记相关概念是解题关键．4．（2022·海南鑫源高级中学七年级期末）如果，那么代数式的值是（）A．1 B．0 C．±1 D．2021【答案】B【分析】由非负数的性质先求得a、b的值，然后再代入计算即可．【详解】解：∵∴，∴，故选：B【点睛】本题主要考查的是非负数的性质以及乘方运算，掌握非负数的性质是解题的关键．5．（2022·河南郑州·七年级期末）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，则输出的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把x=代入程序中计算，判断结果比0小，以此类推，得到结果大于0，输出即可．【详解】解：把x=代入运算程序得：（-1）×（-3）-8=3-8=-5<0，把x=-5代入运算程序得：（-5）×（-3）-8=15-8=7>0，输出的结果y为7．故选B．【点睛】本题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键．二、填空题6．（2022·贵州铜仁·七年级期末）m与n的和的3倍可以表示为__________．【答案】3（m+n）【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m与n的和，再表示出和的3倍即可．【详解】解：“m与n和的3倍”用代数式可以表示为：3（m+n）．故答案为：3（m+n）．【点睛】此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“平方”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．7．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学七年级期中）单项式的次数是____，系数是____【答案】

3

【分析】根据单项式系数和次数的定义即可求解．【详解】解：单项式的次数是3，系数是．故答案为3，．【点睛】本题考查单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．8．（2021·云南省元谋县第一中学七年级期中）已知_______________【答案】16【分析】根据题意确定出的值，前两项提取3变形后，把的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：16．【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则运用整体代入是解本题的关键．9．（2020·四川乐山·七年级期末）已知3x2y|m|﹣（m﹣1）y+5是关于x，y的一个三次三项式，则代数式2m2﹣3m+1的值等于_____．【答案】6【分析】根据三次三项式的定义求值，即每一项的最高指数为3，项数为3．【详解】解：由题意可知m﹣1≠0，即m≠1，由3x2y|m|可知|m|＝1，即m＝±1，∴m＝﹣1．当m＝﹣1时，原式＝2×﹣3×(-1)+1＝2+3+1＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了多项式的项和次数概念，并用代入法求值，解题关键是掌握多项式的项与次数的概念．10．（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校七年级期末）下列单项式：，，，，…，，…根据你发现的规律，第2011个单项式是______________．【答案】【分析】发现规律：第奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，第n个单项式的系数的绝对值为n，第n个单项式的幂的底数为x，指数为n，根据规律解答即可．【详解】解：第奇数个单项式的符号为负，偶数个单项式的符号为正，∴第2011个单项式的符号为负，第n个单项式的系数的绝对值为n，第n个单项式的幂的底数为x，指数为n，∴第2011个单项式的系数为-2011，幂为，∴第2011个单项式是，故答案为：．【点睛】本题考查了数字的变化规律，判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键．三、解答题11．（2022·江苏·七年级）观察下列各式：﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…(1)写出第2014个和2015个单项式；(2)写出第n个单项式．【答案】(1)；﹣(2)(﹣1)n【分析】（1）由单项式的排列规律即可求出第2014个和2015个单项式；（2）由单项式的排列规律即可求出第n个单项式．(1)解：由﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…可得第n项的表达式为（﹣1）n，所以第2014个单项式为，第2015个单项式为﹣．(2)由单项式的特点可得第n个单项式为(﹣1)n．【点睛】本题考查数式规律题，发现单项式的排列规律是解题关键．12．（2021·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，这是一个计算程序示意图．(1)写出计算程序示意图所表达的代数式（不用化简）．(2)化简（1）中的代数式，并求当时代数式的值．【答案】(1)(2)x+1，2022【分析】（1）根据框图列出代数式即可．（2）化简代数式后代值计算．（1）由框图得：．（2）原式．当时，原式．【点睛】本题考查列代数式，求代数式的值，理解框图是求解本题的关键．13．（2020·吉林·德惠市第三中学七年级阶段练习）如图，在一个底为acm，高为hcm的三角形铁皮上剪去一个半径为rcm的半圆．(1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积，并判断这个代数式是单项式还是多项式；(2)求当a＝20，h＝15，r＝4时剩下的铁皮面积（π取3）．【答案】(1)ah﹣πr2，是多项式(2)126【分析】（1）先用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出结果；（2）把a＝20，h＝5，r＝4代入（1）中的代数式计算即可．（1）解：S