一元二次方程的根的分布

关于一元二次方程的根的分布求函数零点个数方法：（1）方程f(x)=0的根个数（2）函数图像与x轴交点的个数（3）转化为两个函数图像的交点的个数想一想,怎样确定函数零点个数呢？第2页,共33页，2024年2月25日，星期天

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：思考:若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点，是否一定有f(a)·f(b)<0？第3页,共33页，2024年2月25日，星期天下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的条件及其运用一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。但解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。一元二次方程根的分布强调：为简化情况，我们在此只研究a>0的一元二次方程，当二次项系数小于0时，先化为正。即把一元二次方程化为标准形式：

ax2+bx+c=0(a>0)第4页,共33页，2024年2月25日，星期天所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。同理，一元二次方程根的K分布，是指两根相对于K的分布。一元二次方程根的基本分布

——零分布和K分布第5页,共33页，2024年2月25日，星期天1：零分布（1）有两正根（2）有两负根（3）一正一负2：k分布（1）有两个大于k的根（2）有两个小于k的根（3）一个大于k，一个小于k（4）有一个根在区间(k1,k2)内（5）区间(k1,k2)内有两个根3：数形结合思想

一元二次方程根的分布第6页,共33页，2024年2月25日，星期天情形一、方程ax2+bx+c=0（a>0）根的零分布第7页,共33页，2024年2月25日，星期天例1：x2+（m-3)x+m=0有两正根，

求m的范围。第8页,共33页，2024年2月25日，星期天第9页,共33页，2024年2月25日，星期天例2：x2+（m-3)x+m=0有两个负根求m的范。

第10页,共33页，2024年2月25日，星期天xy1x2x0>aO0>c0>D第11页,共33页，2024年2月25日，星期天例3：x2+（m-3)x+m=0有一个正根，一个负根且正根绝对值较大，求m的范围。

第12页,共33页，2024年2月25日，星期天第13页,共33页，2024年2月25日，星期天xyk2>-ab1x2x0>aO0>DkxyK2>-ab1x2x0>aO0>Dk情形二、方程ax2+bx+c=0（a>0）根的K分布第14页,共33页，2024年2月25日，星期天例1：x2+（m-3)x+m=0求m的范围。

的两个根都大于第15页,共33页，2024年2月25日，星期天xy02>-ab1x2x0>aO0>Dk第16页,共33页，2024年2月25日，星期天例2：x2+（m-3)x+m=0求m的范围

的两个根都小于1第17页,共33页，2024年2月25日，星期天第18页,共33页，2024年2月25日，星期天例3：x2+（m-3)x+m=0求m的范围

且一个根大于1，另一个根小于1f(1)=2m-2<0

第19页,共33页，2024年2月25日，星期天第20页,共33页，2024年2月25日，星期天例4：x2+（m-3)x+m=0求m的范围两个根有且仅有一个在（0，2）内f(0)f(2)=m(3m-2)<0当m=0时，二根分别为0与3，不合题意；当m=时，二根分别为2与，符合题意；m的范围为第21页,共33页，2024年2月25日，星期天结论5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根满足

第22页,共33页，2024年2月25日，星期天例5：x2+（m-3)x+m=0

求m的范围

两个根都在（0，2）内第23页,共33页，2024年2月25日，星期天结论6、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根满足

x1<k1<k2<x2yxk2ok1第24页,共33页，2024年2月25日，星期天例6：x2+（m-3)x+m=0求m的范围

一个根小于2，一个根大于4第25页,共33页，2024年2月25日，星期天例7：x2+（m-3)x+m=0求m的范围

一个根在（-2，0）内，另一个根在（0，4）内第26页,共33页，2024年2月25日，星期天例8：x2+（m-3)x+m=0

求m的范围

一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内第27页,共33页，2024年2月25日，星期天一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布两个正根两个负根一正根一负根一根为零一正一负，且负的绝对值大

C＝0

课堂小结第28页,共33页，2024年2月25日，星期天一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布两个根都小于k两个根都大于k一个根小于k,一个根大于k

yxkoyxkoyxkof(k)<0第29页,共33页，2024年2月25日，星期天两个根都在（k1,k2)内两个根有且仅有一个在（k1,k2)内x1<k1<

k2<x2

yxk2ok1yxk2ok1yxk2ok1一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布第30页,共33页，2024年2月25日，星期天数形结合解决二次方程根的分布问题需考虑的条件:(1)相应函数值的正负;(2)判别式△;(3)对称轴第31页,共33页，2024年2月25日，星期天1、

若一元二次方程kx2+(2k-1)x+k-3=0有一根为零，则另一根是正根还是负根？

2、当k为何值时，关于x的方程x