偏微分方程求解

关于偏微分方程求解基础知识预习微分方程的ＭＡＴＬＡＢ求解包含１：常微分方程的ＭＡＴＬＡＢ求解（上 节课已经讲过）这里不再赘述。２：偏微分方程的ＭＡＴＬＡＢ求解（本 次教学内容）第2页,共46页，2024年2月25日，星期天偏微分方程概念偏微分方程（PartialDifferentialEquation，简称PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。偏微分方程分为①线性偏微分方程式与②非线性偏微分方程式，常常有几个解而且涉及额外的边界条件。常微分方程：在微分方程中，若自变量的个数只有一个的微分方程。偏微分方程：自变量的个数有两个或两个以上的微分方程。第3页,共46页，2024年2月25日，星期天求解偏微分方程的方法求解偏微分方程的数值方法：1.有限元法（FiniteElementMethod,FEM）---hp-FEM2.有限体积法（FiniteVolumeMethod,FVM）3.有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）。其它：广义有限元法（GeneralizedFiniteElementMethod,FFEM）、扩展有限元法（eXtendedFiniteElementMethod,XFEM）、无网格有限元法（MeshfreeFiniteElementMethod）、离散迦辽金有限元法（DiscontinuousGalerkinFiniteElementMethod,DGFEM）等。第4页,共46页，2024年2月25日，星期天MATLAB解偏微分方程MATLAB提供了两种方法解决PDE问题：①pdepe()函数，它可以求解一般的PDEs，具有较大的通用性，但只支持命令行形式调用。②PDE工具箱，可以求解特殊PDE问题，PDEtool有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE问题，并且不能解决偏微分方程组，但是它提供了GUI界面，从繁杂的编程中解脱出来了，同时还可以通过File->SaveAs直接生成M代码使用pdeval()直接计算某个点的函数值？？？第5页,共46页，2024年2月25日，星期天一般偏微分方程组(PDEs)的MATLAB求解直接求解一般偏微分方程(组)，它的调用格式为sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)问题描述函数初值条件边界条件输出参数自变量参数第6页,共46页，2024年2月25日，星期天【输入参数】（1）@pdefun：是PDE的问题描述函数，它必须换成下面的标准形式PDE就可以编写下面的入口函数[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)m,x,t就是对应于(式1)中相关参数和自变量，du是u的一阶导数，由给定的输入变量即可表示出出c,f,s这三个函数第7页,共46页，2024年2月25日，星期天【输入参数】（2）@pdeic：是PDE的初值条件，必须化为下面的形式我们使用下面的简单的函数来描述为u0=pdeic(x)第8页,共46页，2024年2月25日，星期天【输入参数】（3）@pdebc：是PDE的边界条件描述函数，必须先化为下面的形式于是边值条件可以编写下面函数描述为[pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du)其中a表示下边界，b表示下边界第9页,共46页，2024年2月25日，星期天【输入参数】（4）m：就是对应于(式1)中相关参数x,t：就是对应于(式1)中自变量第10页,共46页，2024年2月25日，星期天【输出参数】sol：是一个三维数组，sol(:,:,i)表示ui的解，换句话说uk对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)第11页,共46页，2024年2月25日，星期天实例讲解（题目）例：第12页,共46页，2024年2月25日，星期天初值条件边界条件第13页,共46页，2024年2月25日，星期天实例讲解（解法）【解】第一步根据（1）对照给出的偏微分方程，则原方程可以改写为第14页,共46页，2024年2月25日，星期天输入参数（1’）目标PDE函数%%目标PDE函数function[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)c=[1;1];f=[0.024*du(1);0.17*du(2)];temp=u(1)-u(2);s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp));第15页,共46页，2024年2月25日，星期天输入参数（2’）初值条件初值条件改写为%%初值条件函数functionu0=pdeic(x)u0=[1;0];第16页,共46页，2024年2月25日，星期天输入参数（3’）边界条件边界条件改写为%%边界条件函数function[pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)%a表示左边界，b表示右边界pa=[0;ua(2)];qa=[1;0];pb=[ub(1)-1;0];qb=[0;1];第17页,共46页，2024年2月25日，星期天（4'）主调函数clcx=0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t);figure('numbertitle','off','name','PDEDemo——byMatlabsky')%创建个窗口，窗口名字是name后边的名字'NumberTitle','off'是关掉默认显示名字。subplot(211)surf(x,t,sol(:,:,1))%sol(:,:,i)表示ui的解title('TheSolutionofu_1')xlabel('X')ylabel('T')zlabel('U')subplot(212)surf(x,t,sol(:,:,2))%sol(:,:,i)表示ui的解title('TheSolutionofu_2')xlabel('X')ylabel('T')zlabel('U')第18页,共46页，2024年2月25日，星期天第19页,共46页，2024年2月25日，星期天PDEtool求解特殊PDE问题MATLAB的偏微分工具箱(PDEtoolbox)可以比较规范的求解各种常见的二阶偏微分方程(特殊二阶的PDE)第20页,共46页，2024年2月25日，星期天典型偏微分方程的描述

第21页,共46页，2024年2月25日，星期天

第22页,共46页，2024年2月25日，星期天

（3）双曲线型偏微分方程的一般形式

第23页,共46页，2024年2月25日，星期天

（4）特征值型偏微分方程的一般形式，注意它是（1）的变形，不能算独立的一类第24页,共46页，2024年2月25日，星期天MATLAB采用有限元的方法求解各种PDEMATLAB为我们提供一个pdetool(在commandwindow中键输pdetool打开)的交互界面，可以求解二元偏微分u(x1,x2)(注意只能求解二元)。方程的参数由a、c、d和f确定，求解域由图形确定，求解域确定好后，需要对求解域进行栅格化(这个是自动)。第25页,共46页，2024年2月25日，星期天

第26页,共46页，2024年2月25日，星期天

第27页,共46页，2024年2月25日，星期天偏微分方程边界条件的描述Dirichlet(狄利克莱)条件Neumann(纽曼)条件第28页,共46页，2024年2月25日，星期天

第29页,共46页，2024年2月25日，星期天

第30页,共46页，2024年2月25日，星期天求解实例

第31页,共46页，2024年2月25日，星期天【解】由给定的PDE，可以得出d=1,c=1,a=2,f=10第32页,共46页，2024年2月25日，星期天step1:点击工具栏的【PDE】按钮，如下输入PDE的参数，注意选择Hyperbolic

第33页,共46页，2024年2月25日，星期天step2:绘制求解域

对坐标轴的操作可以在【Options】主菜单中操作，包括设置网格、坐标系范围等(1)【Options】->AxisLimits设置如下第34页,共46页，2024年2月25日，星期天

第35页,共46页，2024年2月25日，星期天

(2)点击工具栏上的第三个按钮【绘制椭圆】，任意绘制一个椭圆，双击椭圆，设置如下第36页,共46页，2024年2月25日，星期天重复上面的操作，参数如下

第37页,共46页，2024年2月25日，星期天得到

第38页,共46页，2024年2月25日，星期天

(3)在setformula中如下输入，“+”表示求并集，“-”表示求差集，注意没有直接求交接的操作符第39页,共46页，2024年2月25日，星期天step3:边界条件和初值条件初值条件可以通过【Solve】->【Parameters…】设置边值条件设置如下(1)点击工具栏的第6个按钮【区域边界】，显示如下第40页,共46页，2024年2月25日，星期天

(2)【Boundary】->【RemoveAllSubdomainBorders】移除所有子域的边界，将得到所有子域合并成一个求解域(3)【Boundary】->【SecifyBoundaryConditons…】设置边界如下，注意我们这里只有Dirichlet条件第41页,共46页，2024年2月25日，星期天step4:生成使用有限元方法求解方程所需的栅格点击工具栏的第8/9个按钮，对求解域生成栅格，多次点击可以在原来基础上继续细化栅格，直到自己觉得满意为止，当然可以通过【Mesh】主菜单进行精确控制第42页,共46页，2024年2月25日，星期天

step5:求解方程点解工具栏的第10个按钮“=”【求解方程】

step6:求解结果绘图

点击第11个按钮【绘制图形】，里面的选项很丰富，可以绘制等高线等好多，甚至播放动画，具体大家可以自己慢慢摸索第43页,共46页，2024年2月25日，星期天动画播放设置：(1)【Solve】->【Parameters】设置合适的时间向量Time(2)【Plot】->【Parameters】选中【Animation】，点击后面的【Options】，设置播放速度和次数，比如6fps表示每秒6帧(3)【P