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文档简介
关于圆的参数方程(1)在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数,即并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数。(2)相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普通方程。第2页,共31页,2024年2月25日,星期天(3)参数方程与普通方程的互化x2+y2=r2注:1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时,通过参数建立间接的联系。第3页,共31页,2024年2月25日,星期天2、圆的参数方程第4页,共31页,2024年2月25日,星期天①并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y),都在圆O上.
5o思考1:圆心为原点,半径为r的圆的参数方程是什么呢?
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程,是参数.第5页,共31页,2024年2月25日,星期天OrxyP0P(x,y)C(a,b)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是:θP(x,y)P(x,y)P(x,y)第6页,共31页,2024年2月25日,星期天第7页,共31页,2024年2月25日,星期天例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。解:x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,(x+1)2+(y-3)2=1,∴参数方程为(θ为参数)第8页,共31页,2024年2月25日,星期天练习:
1.填空:已知圆O的参数方程是(0≤<2)⑴如果圆上点P所对应的参数,则点P的坐标是
第9页,共31页,2024年2月25日,星期天A的圆,化为标准方程为(2,-2)1第10页,共31页,2024年2月25日,星期天例2.
如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?第11页,共31页,2024年2月25日,星期天xMPAyO解:设M的坐标为(x,y),∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4sinθ
圆x2+y2=16的参数方程为2例2.
如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?例题:第12页,共31页,2024年2月25日,星期天1解:设M的坐标为(x,y),∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点坐标公式得:
点P的坐标为(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4∵点P在圆x2+y2=16上xMPAyO例2.
如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?例题:第13页,共31页,2024年2月25日,星期天例3、已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点,求(1)x2+y2
的最值,(2)x+y的最值,(3)P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解:圆x2+y2-6x-4y+12=0即(x-3)2+(y-2)2=1,用参数方程表示为由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ),(1)x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).(其中tanψ=3/2)第14页,共31页,2024年2月25日,星期天∴x2+y2
的最大值为14+2,最小值为14-2。(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin(θ+)∴x+y的最大值为5+,最小值为5-。(3)显然当sin(θ+)=1时,d取最大值,最小值,分别为,。第15页,共31页,2024年2月25日,星期天参数方程与普通方程的互化第16页,共31页,2024年2月25日,星期天同学们,请回答下面的方程各表示什么样的曲线:例:2x+y+1=0直线
抛物线椭圆?1、导入新课第17页,共31页,2024年2月25日,星期天第18页,共31页,2024年2月25日,星期天思考:1、通过什么样的途径,能从参数方程得到普通方程?2、在参数方程与普通方程互化中,要注意哪些方面?消去参数必须使x,y的取值范围保持一致.第19页,共31页,2024年2月25日,星期天2、参数方程化为普通方程第20页,共31页,2024年2月25日,星期天yxo(1,-1)代入消元法第21页,共31页,2024年2月25日,星期天oy三角变换消元法第22页,共31页,2024年2月25日,星期天步骤:1、写出定义域(x的范围)2、消去参数(代入消元,三角变换消元)参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意:第23页,共31页,2024年2月25日,星期天D2课堂练习第24页,共31页,2024年2月25日,星期天1.如果没有明确x、y与参数的关系,则参数方程是有限个还是无限个?2.为什么(1)的正负取一个,而(2)却要取两个?如何区分?请同学们自学课本例4,思考并讨论:3、普通方程化为参数方程第25页,共31页,2024年2月25日,星期天第26页,共31页,2024年2月25日,星期天第27页,共31页,2024年2月25日,星期天1.如果没有明确x、y与参数的关系,则参数方程是有限个还是无限个?2.为什么(1)的正负取一个,而(2)却要取两个?如何区分?请同学们自学课本例4,思考并讨论:两个解的范围一样只取一个;不一样时,两个都要取.无限个3、普通方程化为参数方程第28页,共31页,2024年2月25日,星期天(09广东(文))若直线(t为参数)垂直,则常数=______.与直线-6高考链接第29页,共31页,2024年2月25日,星期天(1)写出定义域(
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