二项分布与普哇松分布及其应用

关于二项分布与普哇松分布及其应用二项分布与普哇松分布及其应用

一．二项分布（binomialdistribution）的概念及应用条件二．二项分布的应用三．Poisson分布的概念及应用条件四.Poisson分布的应用第2页,共48页，2024年2月25日，星期天一．二项分布（binomialdistribution）的概念及应用条件

1．概念抛一枚均匀硬币,正面朝上的出现次数X:X01P0.50.5X的分布称作为二点分布,如果将此试验重复若干次，如10次，正面朝上的出现次数X可以为0,1,2,…,10第3页,共48页，2024年2月25日，星期天从一个人群中随机抽样，假定已知这个人群中某病的患病率为0.10，则随机抽出一人，患病人数的分布服从二点分布，X01p0.90.1第4页,共48页，2024年2月25日，星期天将此过程重复若干次，如n次，即抽取了n人，则患病人数的分布即为二项分布。

X0123……np?????第5页,共48页，2024年2月25日，星期天应用条件：①每个观察单位只能有2个互相对立的一个结果，如阳性与阴性，生存与死亡，发病与未发病。②

每次试验的条件不变。③

n个观察单位的结果相互独立。第6页,共48页，2024年2月25日，星期天例1设小白鼠接受某种毒物一定剂量时。其死亡率为80%，对于每只小白鼠来说，死亡概率0.8，生存概率0.2。如果每组有甲乙丙三只小白鼠第7页,共48页，2024年2月25日，星期天第8页,共48页，2024年2月25日，星期天2．二项分布的概率

设阳性结果发生的概率为π，则n个观察单位有x个呈阳性的概率第9页,共48页，2024年2月25日，星期天3．二项分布的累计概率最多有k例阳性的概率p(x≤k)=P(X=0)+P(X=1)+……+P(X=k)最少有k例阳性的概率p(x≥k)=P(X=k)+P(X=k+1)+……+P(X=n)第10页,共48页，2024年2月25日，星期天例2（药效的判断问题）已知某种疾病患者自然痊愈率为0.25，为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病人服用，且事先规定一个决策规则：若这10个病人中至少有4人治好此病，则认为这种药有效，提高了痊愈率，反之，则认为此药无效。求新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。第11页,共48页，2024年2月25日，星期天

4．二项分布的性质

(1)π=0.5时分布对称，π≠0.5分布偏态第12页,共48页，2024年2月25日，星期天第13页,共48页，2024年2月25日，星期天第14页,共48页，2024年2月25日，星期天第15页,共48页，2024年2月25日，星期天(2)

π不接近0或1，n较大时，近似正态，一般地要求nπ>5且n(1-π)>5第16页,共48页，2024年2月25日，星期天(3)

均数μ=nπ标准差σ=(4)

阳性率的均数μp=π

标准差σp=

（率的标准误）第17页,共48页，2024年2月25日，星期天例3在某镇按人口的1/20随机抽取329人，作血清登革热血凝抑制抗体反应检验，得阳性率p=8.81%,则此阳性率的抽样误差

第18页,共48页，2024年2月25日，星期天二．二项分布的应用

1.总体率的区间估计①查表法n≤50②正态近似法np>5n(1-p)>5p±uasp第19页,共48页，2024年2月25日，星期天

例4在血吸虫病流行区中，某县根据随机原则抽查4000人， 其血吸虫感染率为15%，如全县人口为205000人，试以99%的可信区间估计该县血吸虫感染人数至少有多少？至多有多少？总体率的99%可信区间即0.1354~0.1646至少0.1354×205000=27757至多0.1646×205000=33743

第20页,共48页，2024年2月25日，星期天2．率的假设检验

①样本率与总体率比较比较的目的是推断该样本所代表的未知总体率π与已知的总体率π0是否相等。②两样本率比较的u检验第21页,共48页，2024年2月25日，星期天①样本率与总体率比较

方法一：直接计算概率法

例5据以往经验，新生儿染色体异常率一般为1%，某医院观察了当地400名新生儿，只有1例异常，问该地新生儿染色体异常率是否低于一般？H0:π=0.01H1:π<0.01α=0.05P=p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)p>0.05不拒绝H0第22页,共48页，2024年2月25日，星期天问题:P=P(x≤1),而不是P=P(x≤2)P=P(x≤1),而不是P=P(x=1)3.P=P(x≤1),而不是P=P(x≥1)第23页,共48页，2024年2月25日，星期天例用一种新药治疗某种寄生虫病,受试者50人在服药后1人发生某种严重反应,这种反应在此病患者中也曾有发生，但过去普查结果约为每5000人中仅有1人出现。问此新药是否提高了这种反应的发生率?第24页,共48页，2024年2月25日，星期天

方法二：正态近似法（n较大）第25页,共48页，2024年2月25日，星期天例6根据以往经验，一般胃溃疡病患者有20%发生胃出血症状，现某医院观察65岁以上溃疡病人304例，有31.6%发生胃出血症状,问老年胃溃疡病患者是否较容易出血?H0:π=0.2H1:π>0.2α=0.05

p<0.05拒绝H0，认为……第26页,共48页，2024年2月25日，星期天

②两样本率比较的u检验第27页,共48页，2024年2月25日，星期天例7某山区小学男生80人，其中肺吸虫感染23人，感染率为28.75%,女生85人感染13人,感染率为15.29%,问男女生的肺吸虫感染率有无差别?H0:π0=π1H1:π0≠π1α=0.05pc=(23+13)/(80+85)=0.2182查u界值表得0.01<p<0.05第28页,共48页，2024年2月25日，星期天三．Poisson分布的概念及应用条件

Poisson分布常用于研究单位容积内某事件的发生数，如:

某交换台在某一段时间内所接到的呼唤次数某公共汽车站在一固定时间内来到的乘客数在物理学中，放射性分裂落到某区域的质点数显微镜下落在某区域中的微生物的数目在工业生产中，每米布的疵点数纺织机上的断头数等等都服从Poisson分布。

第29页,共48页，2024年2月25日，星期天医学研究中，单位容积中大肠杆菌数粉尘在单位容积的数目放射性物质在单位时间内放射质点数一定人群中患病率较低的非传染性疾病患病数（或死亡数）的分布。第30页,共48页，2024年2月25日，星期天1．概率x=0，1，2，……μ是总体均数第31页,共48页，2024年2月25日，星期天

2．分布特征①

非对称，但μ增大时趋于对称第32页,共48页，2024年2月25日，星期天第33页,共48页，2024年2月25日，星期天第34页,共48页，2024年2月25日，星期天②

均数与方差均为μ③

分布的可加性，可使μ>20,使得可用正态近似第35页,共48页，2024年2月25日，星期天3.应用条件平稳性：X的取值与观察单位的位置无关独立增量性：在某个观察单位X的取值与前面n个观察单位上X的取值独立.普通性：在充分小的观察单位上X的取值最多为1第36页,共48页，2024年2月25日，星期天四．Poisson分布的应用

1.区间估计①查表法x≤50例8将一个面积为100cm2的培养皿置于某病室中，1小时后取出，培养24小时,查得8个菌落,求该病室平均1小时100cm2细菌数的95%可信区间.X=8,查表得,μ的95%可信区间是(3.4,15.8)第37页,共48页，2024年2月25日，星期天②正态近似法x>50例9用计数器测得某放射性物质半小时内发出的脉冲数为360个，试估计该放射性物质每30分钟平均脉冲数的95%可信区间。第38页,共48页，2024年2月25日，星期天2．假设检验①样本均数与总体均数的比较比较的目的是推断该样本所代表的未知总体均数μ是否等于已知的μ0（理论值、标准值或经大量观察所得的稳定值）方法一：直接计算概率法第39页,共48页，2024年2月25日，星期天例9据以往大量观察得某溶液中平均每毫升有细菌3个。某研究者想了解该溶液放在5°C冰箱中3天，溶液中细菌数是否会增长。现采取已放在5°C冰箱中3天的该溶液1毫升，测得细菌5个。问该溶液放在5°C冰箱中3天是否会增长？H0：不会增长，即μ=3溶液中细菌数服从Poisson分布P=P（X≥5）=1-P（X=0）-…-P（X=4）=0.1847所以……第40页,共48页，2024年2月25日，星期天例10已知接种某疫苗时，一般严重反应率为1‰，现用一批该种疫苗接种150人，有2人发生严重反应，问该批疫苗的严重反应率是否高于一般。H0:μ=μ0=0.001×150=0.15H1:μ>0.15α=0.05p(x≥2)=1-p(x=0)-p(x=1)=0.0102<α所以拒绝H0注:此题也可用二项分布计算得p=0.0101529第41页,共48页，2024年2月25日，星期天方法二:正态近似法（μ≥20）例11某溶液原来平均每毫升有细菌80个,现欲研究某低剂量辐射能否杀菌。研究者以此低剂量辐射该溶液后取1毫升，培养得细菌40个。试作统计分析。H0:辐射后溶液中平均每毫升细菌数μ0=80H1:μ<80α=0.05u=-4.47,p<0.05拒绝H0,认为……第42页,共48页，2024年2月25日，星期天②两样本均数比较的u检验应用条件：μ1>20μ2>20检验统计量

第43页,共48页，2024年2月25日，星期天例11分别从两个水源各取10次样品，从每个样品取出1ml水作细菌培养,甲水源共生长890个菌落，乙水源共生长785个菌落,问两水源菌落数有无差别？H0:两水源菌落数相等，即μ1=μ2H1:μ1≠μ2α=0.05

=2.566查表得p=0.0102所以拒绝H0，认为两水源菌落数有差别