大学物理课后题答案

第一章质点运动学

1」一质点沿直线运动，运动方程为x(，)=6/2-2『.试求：

(1)第2s内的位移和平均速度；

(2)1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；

(3)1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度.

［解答］(1)质点在第1s末的位移大小为

x(l)=6Xl2-2Xl3=4(m).

在第2s末的位移大小为

x(2)=6X22-2X23=8(m).

在第2s内的位移大小为

△x=x(2)-x(l)=4(m),

经过的时间为A/=ls,所以平均速度大小为

v=Ax/A/=4(m-s'').

(2)质点的瞬时速度大小为

v(/)=dx/d/=12r-6Z2,

因此项)=12X1-6X12=6(m・5)，

v(2)=12X2-6X22=0,

质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即As=Ax=4m.

(3)质点的瞬时加速度大小为

a(t)=dv/dt=12-12/,

因此Is末的瞬时加速度为

41)=12-12X1=0,

第2s内的平均加速度为

a=［v(2)-v(l)］/A/=［0-6］/1=-6(m-s2).

［注意］第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.

1.2一质点作匀加速直线运动，在f=10s内走过路程s=30m,而其速度增为n=5倍.试证加速度为

2(〃-1)5

Q=T5+1)/2.

并由上述数据求出量值.

［证明］依题意得vt=nvo,

根据速度公式匕=%+at,得

a=(n-l)v0/r,(1)

根据速度与位移的关系式匕2=Vo+2as,得

4=-1)*/2s,(2)

(1)平方之后除以(2)式证得

2(〃一l)s

(7=­

(〃+1)/.

计算得加速度为

2(5-1)30

(5+l)102=o,4(m-s2).

1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5。的夹角的初速度65m•『从西边起跳，准确地落在坑

的东边.已知东边比西边低70m,忽略空气阻力，且取g=10m§2.问：

(1)矿坑有多宽？他飞越的时间多长？

(2)他、在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？

［解答］：70m方法一：分步法•(1)夹角用6表示，人和车(他)在竖直方

向首先做竖：-----------------\一直上抛运动，初速度的大小为

Vyo图1.3=v()sin(9=24.87(m-s-I).

取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式

V/-vo=at,

这里的功就是a=-g；当他达到最高点时，v,=0,所以上升到最高点的时间为

t\=-Mg=2.49(s).

再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式

v,2-VQ2=2as,

可得上升的最大高度为

h\=v^Hg=30.94(m).

他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为

。2=+/?=100.94(m).

根据自由落体运动公式5=8力2,得下落的时间为

Vg=4.49(s).

因此他飞越的时间为

t=t\+.=6.98(s).

他飞越的水平速度为

匕o=vocos^=60.05(m-s'1),

所以矿坑的宽度为

x=匕M=419.19(m).

(2)根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为

-1

vv=gt=69.8(m-s),

落地速度为

22121

v=(vv+v^)=92.08(m,s-),

与水平方向的夹角为

(p=arctan(匕A\)=49.30°,

方向斜向下.

方法二：一步法.取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为、=匕/送/2/2,移项得时间的一元二次

方程

1

—gt?-％sin仍+y=0

解得

2

t=(%sin6±sin6>-2gy)g

这里y=-70m,根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计

算时间为

t=6.98(s).

由此可以求解其他问题.

1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比

例的加速度,即dv/dL-小，。为常数.

(1)试证在关闭发动机后，船在，时刻的速度大小为u%

x=—ln(v0^/+l)

(2)试证在时间，内，船行驶的距离为k.

dv

=—kdt

［证明］⑴分离变量得丫2

积分

可得

(2)公式可化为1+%灯，

由于u=dr/df,所以

dr=———d/=--------d(l+v(]kt)

1+vQktk(l+v°kt)

S而岛di.

积分

x=—ln(vnA:/+l)

因此k证毕.

［讨论］当力是速度的函数时，即/=人口，根据牛顿第二定律得/=掰。.

山于a=d2x/d/2,

而dx/dt=v,

所以a=dv/d/,

分离变量得方程

/(v),

解方程即可求解.

在本题中，人已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的〃次方成正比，则

dv/dZ=-h".

(1)如果〃=1,则得

积分得

Inv=-kt+C.

当f=0时，v=vo»所以C=lnv（）,因此

lnv/vo=-k3

得速度为

v=v（）ekt.

而dv=y（）e"df,积分得

x=&*+c、

—k.

当f=0时，x=0,所以C'=v（）/h因此

—=一kdt

(2)如果〃W1,则得n"，积分得

尸

—=-kt+C

1-M.

工C

当，=0时，v=v(),所以1一〃,因此

11,~

F=F+("TW

V%

如果〃=2,就是本题的结果.

如果〃¥2,可得

{口+(〃_1)%”尸(“-1)_1}

*=(”-2用4,

读者不妨自证.

1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置(以弧度表示)可用公式表示：6=2+4户.求:

(1)f=2s时，它的法向加速度和切向加速度；

(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时;。为何值？

(3)在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？

［解答］(1)角速度为

co=dO/dt=12?=48(rad-sd),

法向加速度为

22

an=ra=230.4(m-s-)；

角加速度为

^=d<w/d/=24/=48(rad-s-2),

切向加速度为

2

at=^9=4.8(m-s-).

(2)总加速度为a=(1+4)巴

当4=a12时,有4a,=a：+a/,即

a“=a小.

由此得―苏=厂夕百，

即(⑵2)2=24/6,

解得P=G/6.

所以

6=2+4/=2(l+G/3)=3154(rad).

(3)当为时，可得邛=32,

即24/=(12/)2,

解得/=(1/6)1/3=0.55(S).

1.6-飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v=300m-sl方向与水平线夹角为30。而斜向下，止匕后

飞机的加速度为。=200mT,方向与水平前进方向夹角为30。而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原

来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？

［解答］建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为

Vftr=V0COS3,

v0>,=vosin0.

加速度的大小为

ax=acosa,

av=t/sina.

运动方程为

12

%=小+铲'/

12

y=_%./+54/

i,

.1x-v0cosdt+—acosa-t

y=-v0sin。♦/+gasina/

令y=0，解得飞机回到原来高度时的时间为

t=0(舍去)；asina(s)

将f代入x的方程求得x=9000m.

［注意］选择不同的坐标系，例如x方向沿着。的方向或者沿着％的方向，也能求出相同的结果.

1.7一个半径为H=1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一

物体4在重力作用下，物体N从静止开始匀加速地下降，Ar=2.0s内下降的距离〃

=0.4m.求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.

［解答］圆盘边缘的切向加速度大小等于物体Z下落加速度.

1,

h--aAt~

由于2所以

a,=2/?/Az2=0.2(m-s).

物体下降3s末的速度为

图1.7-1

v=att=0.6(ms)，

这也是边缘的线速度，因此法向加速度为

R=0.36(m-s-2).

1.8-升降机以加速度1.22m62上升，当上升速度为2.44m-sT时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天

花板与升降机的底面相距2.74m.计算：

(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间；

(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.

［解答］在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为

,12

%=%£+/

螺帽做竖直上抛运动，位移为

,12

由题意得〃=〃|-力2，所以

0=；(a+g)/

乙9

解得时间为

/=j2"/(a+g)=0705(S).

算得〃2=-0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.

［注意］以升降机为参考系，钉子下落忖相对加速度为a+g，而初速度为零，可列方程

〃=(“+g)，/2,

由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离.

1.9有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处.已知气流相对于地面的速度为u,AB之间

的距离为/,飞机相对于空气的速率v保持不变.

21

t0=——

(1)如果〃=0(空气静止)，试证来回飞行的时间为v；

t=________

(2)如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为'l-w2/v2；

‘2-「%,

(3)如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为2Vl-w2/v2.

［证明］(1)飞机飞行来回的速率为v,路程为2/,所以飞行时间为/o=2〃v.

(2)飞机向东飞行顺风的速率为v+〃，向西飞行逆风的速率为所以飞行时间为

II2vl

21/v_r0

1-M2/V21-W2/V2.

(3)飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度.为了使飞机沿着

ZB之间的直线飞行，------就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿

A—>vB

V=^v2-u-,所以飞行时间为

45方向的速度大小为v+ZJ泳

%…-B

t_21__2/_2//丫/((

可〃-/yjv2-U2Vl-M2/V2Ji"”.证毕.

1.10如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为V,.下落雨的速度方向与铅直

方向的夹角为偏向于汽车前进方向，速度为也.今在车后放一长方形物体，问车速环为多大时此物体

刚好不会被雨水淋湿？

［解答］雨对地的速度凡等于雨对车的速度%加车对地的速度G,由此

可作矢量三角形.根据题意得tana=①.

方法一：利1用直角三角形.根据直角三角形得

V1=v2sin^+v^sina,

图1/0限

其中V3Vx/cosa,而刃,=y2cos仇

也

因此V]=V2sin^+也cosOsina/cosa,

v}=v(sin^+—cos^)

2h.证毕.

方法二：利用正弦定理.根据正弦定理可得

K二玲

sin(。+a)sin(900-a),

所以

sin(8+a)

v=匕---------

icosa

sin0cosa+cos0sina

=V2----------------------------------

cosa

=v2(sin0+cos。tana)

W=v2(sin^+—cos^)

即h

方法三：利用位移关系.将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在/时间内，雨滴的位移为

Z=（vi-也sin。），，

h=V2COS07.

两式消去时间/即得所求.证毕.

第3章狭义相对论

3.1地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯

性参考系，设在地球赤道和地球某一极(例

如南极)上分别放置两个性质完全相同的钟,

且这两只钟从地球诞生的那一天便存在.如

果地球从形成到现在是50亿年,请问那两只

钟指示的时间差是多少？

［解答］地球的半径约为

A=6400千米=6.4xl06(m),

自转一圈的时间是

T=24x60x60(s)=8.64x10%),

赤道上钟的线速度为

v=2nR/T=4.652xl012(m-s-1).

将地球看成•个良好的参考系，在南极

上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上

看南极的钟做反向的匀速直线运动.

南极和赤道上的钟分别用/和8表示，

南极参考系取为S,赤道参考系取为S'.A

钟指示S系中的本征时;同时指示了B钟的

运动时间，因此又指示S,系的运动时.同理,

B钟指示S'系中的本征时，同时指示了A钟

的反向运动时间，因此又指示S系的运动时.

方法一：以S系为准.在S系中，/钟

指示B钟的运动时间，即运动时

Ar=50xl08x365x24x60x60=1.5768xl016(s).

B钟在S,中的位置不变的，指示着本征时

A/1.A钟的运动时M和B钟的本征时△八之

间的关系为

可求得8钟的本征时为

△/'=A/Jl-(v/c)2«［1--(-)2

2c

因此时间差为

1v

A/-A/

2c=1.898x1()5⑸.

在南极上看，赤道上的钟变慢了.

方法二：以S'系为准.在S,系中，B钟

指示N钟的反向运动时间，即运动时

Af=50xl08x365x24x60x60=1.5768xl0l6(s).

A钟在S中的位置不变的，指示着本征时

ArB钟的运动时和A钟的本征时Z之

间的关系为

△t

J1-(WC)2

可求得/钟的本征时为

A/=AzJl-(v/c)2a[l--(-)2]A/'

2c

因此时间差为

1v0

2c=1.898X105(S).

在赤道上看，南极上的钟变慢了.

[注意]解此题时，先要确定参考系，还

要确定运动时和本征时，才能正确引用公式.

有人直接应用公式计算时间差

A

A/-△/'=i=-A/'

Ji-3/。)？

1V1v

«[l+-(-)20]A/'-A/'=-(-)02A/'

2c2c,

由于地球速度远小于光速，所以计算结果差

不多，但是关系没有搞清.从公式可知：此

人以S系为准来对比两钟的时间，A/'是8钟

的本征时，△/是/钟的运动时，而题中的本

征时是未知的.

也有人用下面公式计算时间差，也是同

样的问题.

A/-A/=/f-A/

yjl-(v/c)2

“[1+衿》一加=美)2加

3.2一个“光钟”由两个相距为人的平面镜

N和8构成，对于这个光钟为静止的参考系

来说，一个“滴答”的时间是光从镜面Z到

镜面B再回到原处的时间，其值为

_2L°

r一

C.若将这个光钟横放在一个以速度

/行驶的火车上，使两镜面都与衣垂直，两

镜面中心的连线与选平行，在铁轨参考系中

观察，火车上钟的一个“滴答”r与力的关

系怎样？

［解答］不论两个“光钟”放在什么地方,

TO都是在相对静止的参考系中所计的时间，

称为本征时.在铁轨参考系中观察，火车上

钟的一个“滴答”的时间r是运动时，所以

它们的关系为

一Jl—(；/c.

3.3在惯性系S中同一地点发生的两事件A

和8,8晚于N4s；在另一惯性系S'中观察，

8晚于N5s发生，求S,系中4和8两事件的

空间距离？

［解答］在S系中的两事件/和8在同•

地点发生，时间差△/=4s是本征时，而S'

系中观察力和B两事件肯定不在同一地点，

A/'=5s是运动时，根据时间膨胀公式

△t

\t'=

J-(Wc)2

4

5=

Jl-(v/c)2,

即

可以求两系统的相对速度为

v=3c/5.

在S'系中A和B两事件的空间距离为

A/=vAf=3c=9xl08(m).

3.4一根直杆在S系中观察,其静止长度为/,

与x轴的夹角为仇S'系沿S系的x轴正向以

速度u运动，问S'系中观察到杆子与x,轴的

夹角若何？

［解答］直杆在S系中的长度是本征长度,

两个方向上的长度分别为

/v=/cos。和ly=/sin仇

在S,系中观察直杆在y方向上的长度不变,

即/；,=4；在x方向上的长度是运动长度,

根据尺缩效应得

因此

,小4tan。

tanu=—=,一i

4J1-（V/C）2,

可得夹角为

0'=arctan{[1-（v/c）2]12tan。}

3.5S系中观察到两事件同时发生在x轴上,

其间距为Im,S,系中观察到这两个事件间距

离是2m,求在S,系中这两个事件的时间间

隔.

[解答]根据洛仑兹变换,得两个事件的

空间和时间间隔公式

,、Ax-vAt

Ax-.=-

Ji-3/。)？，

At-Axv!c2

&'=

J1-(V/C)2

(1)

由题意得：A/=0,Ax=Im,Ax'=2m.因

此

Ax

Ax'=

J-(V/C)2,

-Axv/c2

"=

Jl-(v/c)2,(2)

由(2)之上式得它们的相对速度为

v=Ax、）2（3）

将(2)之下式除以（2）之上式得

加'_y

Ax'c2

所以

；）2

=--7(Ar')2-(Ar)2

C=-0.577x10-8(s).

［注意］在'系中观察到两事件不是同时

发生的，所以间隔Ax,=2m可以大于间隔Ax

=lm.如果在S系中观察到两事件也是同时

发生的，那么Ax'就表示运动长度，就不可

能大于本征长度Ax,这时可以用长度收缩公

式Ar'=Arjl-(Wc)2,计算它们的相对速

度.

3.6一短跑运动员，在地球上以10s的时间

跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c

的飞船上观察，结果如何？

［解答］以地球为S系，则Af=10s,Ax=

100m.根据洛仑兹坐标和时间变换公式

-(v/c)2和c)~

飞船上观察运动员的运动距离为

Ar-vA/

Ax'=

J-3/。)?

100-0.8CX1Q

J1-0.8-^-4xl09(m).

运动员运动的时间为

,、A/-VAY/C2

△t'=

Vl-(v/c)2

10-0.8xlQ0/c

0.6«16.67(s).

在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，

后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于

地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约

为地球后退的距离，EP4x10m.

3.7已知S'系以0.以的速度沿S系x轴正向

运动，在S系中测得两事件的时空坐标为乃=

20m,=40m,t\=4s,t2=8s.求S'系中

测得的这两件事的时间和空间间隔.

［解答］根据洛仑兹变换可得S'系的时间

间隔为

、_.—1一(-2一演)/：

8-4-0.8(40-20)/c

0.6=«6.67(s).

空间间隔为

X2-Xx-v(t2-/1)

Jl-(n/c)2

_40-20-0.8cx(8-4)

0.6«=-1.6xio*9(10*12m).

3.8S系中有一直杆沿x轴方向装置且以

0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观

察者测得杆长10m,另有一观察以0.8c的速

度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的

杆长若何？

［解答］在S系中的观测的杆长△/=10m

是运动长度，相对杆静止的参考系为S,其

长度是本征长度，根据尺缩效应

△/=△/正（%/c『,可得杆的本征长度

为

Jl-(%/C)2

10

A/1-0.982=50.25(m).

另一参考系设为S'系，相对S系的速度

为也0=-0.8。.在S'系观察S'系的速度为

h_VIO_V2O

122

l-v10v2()/c

_0.98c-(-0.8c)

1一°・98(-0.8)=o,99796c.

在S'系观察S'系中的杆的长度是另一运动

长度

A/''=A/'Jl-(v.,/c)2-，、

v\12/=3.363(m).

［注意］在涉及多个参考系和多个速度的

时候，用双下标能够比较容易地区别不同的

速度，例如用片0表示S相对S系的速度，

用V12表示S系相对S''系的速度，因此，尺

缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混

淆.

3.9一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和

0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两

者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多

长时间间隔后相撞？

［解答］两者相撞的时间间隔A/=5s是运

动着的对象一飞船和慧星一发生碰撞的时间

间隔，因此是运动时.在飞船上观察的碰撞

时间间隔A,是以速度v=0.6c运动的系统的

本征时，根据时间膨胀公式

\t

J-3/c)2

可得时间间隔为

加'=△〃l-(v/c)2=4(s).

3.10在太

阳参考系

中观察，

一束星光

垂直射向

地面，速

率为C,而

地球以速率〃垂直于光线运动.求在地面上

测量，这束星光的大小与方向如何.

［解答］方法一：用速度变换.取太阳系

为S系，地球为S,系.在S系中看地球以v=

〃运动，看星光的速度为

Ux=0,Uy=C,

星光在S'系中的速度分量为

A2

X-uxv/c

22

WrVl—V/c

uv----------z—

1-uxv/

=CA/1-W2/C2=\!c2-u2

星光在S'系中的速度为

u=+〃；=c

即光速是不变的.

星光在S'系中与y'轴的夹角，即垂直地

面的夹角为

八、"11

0=arctan—=arctan广—-

&2-〃2.

方法二：用基本原理.根据光速不变原

理，在地球的S'系中，光速也为c,当地球

以速度V=〃沿X轴运动时,根据速度变换公

式可得星光的速度沿X,轴的分量为=-U,

所以星光速度沿y'轴的分量为

2222

uy=y］c-wv/=\Jc-u

从而可求出星光速度垂直地面的夹角为

八'II,u

0=arctanT=arctan/

Uy&2一"

［注意］解题时.，要确定不同的参考系，

通常将已知两个物体速度的系统作为S系，

另外一个相对静止的系统作为S'系，而所讨

论的对象在不同的参考系中的速度是不同

的.

此题与书中的例题5.4类似，这里的太

阳相当于5.4题中的地球，这里的地求相当

于5.4题的乙飞船，这里的星光相当于5.4

题中的甲飞船.

3.11-粒子动能等于其非相对论动能二倍

时，其速度为多少？其动量是按非相对论算

得的二倍时，其速度是多少？

［解答］(1)粒子的非相对论动能为

Ek-m()v2/2,

相对论动能为

E'k=me1-根or2,

其中m为运动质量

Vl-(v/c)2

根据题意得

一mc2=2

J1-(V/C)2Q

设x=(v/b)2,方程可简化为

或1=(1+x)Jl-X,

平方得

1=(13)(17),

化简得

x(?-x-l)=O.

由于x不等于0,所以

x2-x-1=0.

解得

1±75

x----------

2

取正根得速率为

1+V5

v=c.

V2=0.786c.

（2）粒子的非相对论动量为

p=mnv,

相对论动量为

加0丫

p'=mv

Jl-(Wc)2

根据题意得方程

=2moy

J-(We)?

很容易解得速率为

V-——C

2=0.866c.

3.12.某快速运动的粒子，其动能为

4.8X10-16J,该粒子静止时的总能量为

L6X10-17J,若该粒子的固有寿命为2.6X104S,

求其能通过的距离.

［解答］在相对论能量关系中

E=E0+Ek，

静止能量&)已知，且瓦=沏)。2,总能量为

EI?=me2=.俏。0-=,E。

Jl-(V/C)2，1一「/°)2,

所以

_____j______EQ+Ek

Jl-(v/c)2E°,

由此得粒子的运动时为

Z'4+/

Z=/==Z—5——L

Vl-(v/c)2E。

还可得

Jl-(n/c)2E。

1+Ek,

解得速率为

v=

粒子能够通过的距离为

M=vA/=c川(经知_1

=3x1炉x26x叫(1+30)2一1=24i67.4(m)

3.13试证相对论能量和速度满足如此

关系捻rO.

［证明］根据上题的过程已得

U=C

将£=戊+&代入公式立可得证.

3.13静止质子和中子的质量分别为mp=

2727

1.67285xl0kg,>Mn=1.67495xl0-kg,质子

和中子结合变成笊核，其静止质量为叫=

3.34365xl027kg,求结合过程中所释放出的

能量.

［解答］在结合过程中，质量亏损为

x

Am=mp+mn-m0=3.94988W'°(kg),

mc=3xl08(m-s-').可得释放出的能量为

AE=Awe2=3.554893X10-I3(J).

如果取c=2.997925xl()8(m-s"),可得释

放出的能量为

AE=3.549977x10-I3(J).

第二章质点力学的基本定律

2.1如图所示，把一个质量为m的木块放在

与水平成。角的固定

斜面上，两者间的静

摩擦因素〃,较小，因

此若不加支持，木块

将加速下滑.图2.1

(1)试证tan6M〃s；

(2)须施加多大的水平力户，可使木

块恰不下滑？这时木块对斜面的正压力多

大？

(3)如不断增大户的大小，则摩擦力

和正压力将有怎样的变化？

(1)［证明］木块在斜面上时受到重力

6=加叁和斜面的支持力灯以及静摩擦力

f,其中

ffs=

MSN,

而N=Geos®.

要使木块加速下

滑，重力沿着斜面

的分量不得小于最大静摩擦力根据牛顿

第二定律得

GsinO-〃sGcosO=ma=0，

因此证毕.

(2)［解答］

要使物体恰好不

下滑，则有

Gsin。-HM

-FcosO=0,(1)

N-Geos。-

Fsin6>=0.(2)

(2)x〃,+(1)得

Gsin。-//.Ceos。-Fcos^-psFsm0=0,

解得

„sin0-ucos®

F=---------------------tng

cos0+/JSsin3⑶

上式代入(2)得

cos6+〃sSine.⑷

(3)［解答］当木块平衡时，一般情况下,

有

Gsin。-f-Feos。=0,N-Geos®-FsinO=0.

解得

f=Gsin。-FcosO,N=Geos®+Fsin0.

可知：1当户的大小不断增加时，摩擦力将

不断减小；当尸=Gtan。时，摩擦力为零；

当尸再增加时摩擦力将反向；至于木块是否

向上做加速运动，则要进一步讨论.

2正压力将不断增加.

［讨论］当tan”1仅时，如果木块恰好不

上滑，则摩擦力恰好等于最大静摩擦力，方

向沿着斜面向下，用上面的方法列方程，可

得

厂sin9+〃cos3

F=----------------ms,

cos9-nssin0

将(3)式中的改为"就是这个结果.可

见：当tanO=l/%时，F趋于无穷大，只有当

tan6v时，才能增加F的大小使木块向上

加速滑动.

2.2如图所示，设质量机=10kg的小球挂在

倾角a=30。的光滑斜面上，求：

⑴当

斜面以加速厂

度a=g/3沿a

图中所示的一‘

方向运动时，--------------

绳中的张力图22

及小球对斜面的正压力各是多大？

(2)当斜面的加速度至少为多大时小球

对斜面的正压力为零？(g=9.8m,s")

［解答］

(1)小球受

到重力G,斜

面的支持力N

和绳子的张

力T.建立坐

标系，列方程得

Ncosa+Tsina-mg=O,

7cosa-Nsina=ma.

解得N=m(gcosa-asina)=68.54(N),

T=»7(gsin«+acosa)=77.29(N).

(2)令N=0,得加速度为

2

a=gctga=16.97(m-s').

2.3物体4和8的质量分别为机，=8kg,WB=

16kg,它们之间用绳子联结，在倾角a=37。

的斜面上向下滑动，如图所示.工和8与斜

面的滑动摩擦因素分别为"乂=0.2,"始=04

求：

(1)物体/和8的加速度；

(2)绳子的

张力；

(3)如果将

Z和8互换位置,

则(1)和(2)

的结果如何？图2.3

［解答］根据角度关系可得sina=3/5=

0.6,cosa=4/5=0.8,tana=3/4=0.75.

(1)如果物体4和8之间没有绳子，

由于tanOM〃$,可知：/和8都要沿斜面做加

速运动，而8的加速度比较小.当4和8之

间有绳子时，它们将以相同的加速度运动.

设绳子的

张力为7,根据

牛顿第二定律

分别对/和8

列运动方程：

Wjgsina-

〃必〃以gcosa-T=①必

T+租sgsina-偿即egcosa=inBa.

两式相加得

[(mA+wB)sina-(/ikAmA+/^kBmB)cosa]g

=(也|+机8)4,

所以加速度为

-Hm+/2m

a=gr［sina----k—A~JA-----—kB~-Bcosa\

=3.26(m-s-2).

(2)将加速度a的公式代入任一方程都

可解得张力为

T'kB-〃

mA+mB=3.86(N).

由此可见：当两物体的摩擦因素相等时，张

力才为零，这是因为它们的加速度相等.

(3)将/和8互换位置后，由于4的

加速度比较大，所以绳子不会张紧，其张力

为零.

A的运动方程为

切xgsina-/.tkAmAgcosa=mAaA，

2

解得aA=g(sina-〃Mcosa)=4.12(m-s-).

2

同理得OB=g(sina-fikBcosa)=2.7(4m-s-).

2.4一个重量为尸的质点，在光滑的固定斜

面(倾角为a)上以初速度/运动，%的方

向与斜面底边的

水平约AB平行，

如图所示，求这质

点的运动轨道.

［解答］质点在

斜上运动的加速

度为。=gsina,方向与初速度方向垂直.其

运动方程为

尸［Jgsinaf

x-vot,22

将t=小。,代入后一方程得质点的轨道方程

为

gsina

y=x2

这是抛物线方程.

2.5桌上有一质量A/=1kg的平板，板上放一

质量m=2kg的另一物体，设物体与板、板

与桌面之间的滑动摩擦因素均为〃*=0.25,

静摩擦因素为幺=0.30.求：

(1)今以水平力尸拉板，使两者一起

以〃=lm§2的加速度运动，试计算物体与

板、与桌面间的相互作用力；

(2)要将板从物体下面抽出，至少需要

多大的力？

［解答］(1)物体与板之间有正压力和摩

擦力的作用.

板对物体的支持大小等于物体的重力

Nm=mg=19.6(N),

这也是板受物体的压力的大小，但压力方向

相反.N

物体受板摩擦力f

做加速运动，摩擦力的十一”

大小为叫言

fm=ma=2(N),i.］i

这也是板受到的摩擦力

力的大小，摩擦力方向也相反.

板受桌子的支持力大小等于其重力

NM=(m+M)g-29.4(N),

这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反.

板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为

々=〃*NM=7.35(N).

这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相

反.

(2)设物体在最大静摩擦力作用下和板

一起做加速度为。'的运动，物体的运动方程

为

f="gg=ma、,

可得a'=Nsg・/，a；

板的运动方程为

F-f-Mm:

+M)g=Ma',f

即F=/+Ma'++M)g

=3.+/*)伽+M)g,

算得F=16.17(N).

因此要将板从物体下面抽出，至少需要

16.17N的力.

2.6如图所示：已知尸=4N,=0.3kg,m2

=0.2kg,两物体与水平面的的摩擦因素匀为

0.2.求质量为m2的物体的加速度及绳子对

它的拉力.(绳子和滑轮质量均不计)

［解答］利用几何关系得两物体的加速度

N间的关系为。2=2卬，而力的关系为7]=

2T2.

对两物体列运动方程得

•"m喏=加2。2，

F-T\-f,im\g=m\a\.

可以解得加2的加速度为

F-//(777j+2W)g

Cl~)—=2

加I/2+22

=.78(m-s-2),

绳对它的拉力

T=--------=-----(F-〃机|g/2)

叫/2+2祖2'

2.7两根弹簧

的倔强系数分(a)

别为《和ki

ki.求证：

(1)它

们串联起来

时，总倔强系图2.7

111

——=----1----

数%与鬲和月.满足关系关系式左左心；

(2)它们并联起来时，总倔强系数k=k[

+左2,

[解答]当力尸将弹簧共拉长X时，有尸=

kx,其中★为总倔强系数.

两个弹簧分别拉长X,和X2,产生的弹力

分别为

42X2-

F\-k\X\,F2=

(1)由于弹簧串联，所以

F=F\=F2>X=X\+%2>

，区+21=1+1

2.

因此kk}右，即〃h左

(2)由于弹簧并联，所以

F=F]+F2，x=X\=X2f

因此kx=k\X\+42工2，即左=鬲+毋

图2.6

2.8如图所示，质量为m的摆悬于架上，架

固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线

的方向(即摆线与竖直线的夹角0)及线中

的张力T.

(1)小车沿水平线作匀速运动；

沿斜面往上推(设"=6)；

(5)以同样大小的加速度4(岳=6),

将小车从斜面上推下来.

［解答］(1)小车

沿水平方向做匀速直

线运动时，摆在水平

方向没有受到力的作

用，摆线偏角为零，

线中张力为T=mg.

(2)小车在水平(2)

方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是

合外力.由于

tan，=ma/mg,

所以9=arctan(%)；

绳子张力等于摆所受的拉力

T=+(-g)2=myja2+g2

(3)小车沿斜

面自由滑下时，摆仍

然受到重力和拉力，

合力沿斜面向下，所

以

9=(P；

T=mgcos<p.

(4)根据题意

作力的矢量图，将

竖直虚线延长，与

水平辅助线相交，

(4)

可得一直角三角形，。角的对边是/MbcOS%

邻边是zwg+mbsin。，由此可得：

八mbcostp

tan(9=------------

mg+mbsm(p,

因此角度为

_hcos(p

0-arctan---------

g+bsin夕.

而张力为

T=J(〃⑼2+(叫4-2(〃伙/咽■)co沏/2+夕)

=niylh2+g2+2bgsincp

(5)与上一问

相比，加速度的方

向反向，只要将上

--结果中的6改为

-b就行了.

2.9如图所示：质量

为m=10kg的小

球，拴在长度/=5m的

轻绳子的一端，构成一

个摆.摆动时，与竖直

线的最大夹角为

60°.求：

图2.9

(1)小球通过竖直

位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？

(2)在9v60。的任一位置时，求小球

速度v与。的关系式.这时小球的加速度为

多大？绳中的张力多大？

(3)在。=60。时，小球的加速度多大?

绳的张力有多大？

［解答］(1)小球

在运动中受到重力和

绳子的拉力，山于小球

沿圆弧运动，所以合力

方向沿着圆弧的切线

方向，即尸=-mgsinG,

负号表示角度，增加的方向为正方向.

小球的运动方程为

F^ma=m^4

其中s表示弧长.由于s=R8=/a所以速度

为

ds,d0

v-——=I——

d/d/,

因此

厂dvdvdemdv

r=m—=m------=一v