2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（理科）

2022年普通高等学校招生全国统一考试(乙卷)数学(理科)

1.设全集。=｛1,2,3,4,5｝，集合加满足令加=｛1,3｝，贝女)

A.2eA/B.3dMC.D.5^M

2.已知z=l-2i,且z+应+Z?=O,其中〃，匕为实数，贝!J()

A.a=l,b=—2B.a=—1,b=2

C.a=l,b=2D.a=—lfb=—2

3.已知向量Q,匕满足|5|=1,|5|=百，|5一2石|=3,则无5=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人

造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛包｝»=1+工，

%

,,1,1

仇=1+-------「，4+---------i—…，依此类推，其中a-eN*(左=1,2,…).则()

a】H----a1H---------

%a2+^-

a3

A.bx<b5B.b3<bsC.b6<b2D.%<伪

5.设歹为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点3(3,0),若|AF|gBF|,则|AB|=

()

A.2B.2V2C.3D.3衣

6.执行右边的程序框图，输出的〃=()(〜、

〔开始J

/，_________

入：。=1,6=1,「=1/

7.在正方体ABCD—中，E,尸分别为AB,8c的中点，则()

A.平面B[EF!"平面BDD[B.平面B｝EF，平面A.BD

C.平面4EE〃平面4ACD.平面耳石尸〃平面AG。

8.已知等比数列｛”“｝的前3项和为168,(Y2-<a5=42,则牝=()

A.14B.12C.6D.3

9.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四

棱锥的体积最大时，其高为()

A-IB-I*

10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、

丙比赛获胜的概率分别为Pi，P2,2，且P3>>Pl>。记该棋手连胜两盘的概率为P，

则()

A.0与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，0最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，0最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，0最大

11.双曲线C的两个焦点为"，F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过耳作。的切线与C

3

交于N两点，且cosN427工=m，则C的图心率为()

A±B.17D.姮

2222

12.已知函数/(九)，g(x)的定义域均为H,且/(%)+g(2-％)=5,g(%)-/(x-4)=7,

22

若丁=8。)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则次)=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为.

14.过四点(0,0),(4,0),(-1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

15.记函数/>0)=85(0¥+0)(69>0,0<0〈万)的最小正周期为丁，f(T)=­,X=~

29

为/(x)的零点，则co的最小值为.

16.已知犬=%和X=々分别是函数/(X)=2优->。且。w1)的极小值点和极大值点,

若为<%，则a的取值范围是

17.记AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知sinCsin(A—3)=sin/?sin(C—A).

(1)证明:2a2=Z?2+c2;

25

(2)若a=5,cosA=一，求AABC的周长.

31

18.如图，四面体ABCO中A£>，CE>,AD=CD,ZADB^ZBDC,E为AC中点.

(1)证明：平面班平面ACD;

(2)设45=5£>=2,NACfi=60°,点F在上，当AAFC的面积最小时，求CF与平

面ABD所成角的正弦值.

19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积

量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：加之)和材积量(加3),

得到如下数据：

样本数号i12345678910总和

根部横截面积为0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=0.038,£城=1.6158,=0.2474.

i=\i=\i=l

⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总

和为186机2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种

树木的总材积量的估计值.

鼻(劭一矽做-5)

附：相关系数,=J：-*,Jl.896al.377.

Jz(须一矽2XX汕一可2

-3

20.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A(O,-2),两点

(1)求E的方程；

(2)设过点P(l,—2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x的直线与线段AB交于点T,

点〃满足近=而，证明：直线"N过定点.

21.2知函数/(x)=ln(l+x)+oveT.

⑴当a=1时，求曲线/(%)在点(0,/(O))处的切线方程：

(2)若/(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求”的取值范围.

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(支善为件为参数).以坐标原点为极点，

I"一

JT

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为夕sin(6+§)+m=0.

(1)写出/的直角坐标方程：

(2)若/与C有公共点，求“2的取值范围.

333

23.已知abc为正数，且。5+人”+。5=1,证明：

b+ca+ca+b*2y/abc

答案和解析

L【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合的关系，补集的运算，属于基础题.

【解答】

解：因为全集。={1,2,3,4,5},2河={1,3},

所以"={2,4,5},

所以2e〃，A选项正确.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查共朝复数和复数相等，属于基础题.

根据题干表示彳，再出列出复数相等的等式，即可求解a,b.

【解答】

解：由题设，z—l~2i,z=l+2z,代入有a+>+l+(2a-2)i=0,

故a=1,b——2.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积运算.

【解答】

解：由题设，|1一25|=3,得|万F-4万・B+4|5『=9,代入\b\=s/3,

有4G-B=4,故1-5=1

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查社会生活中的数列的比较大小，考查运算推导能力，属于基础题.

利用递推关系进行大小的比较.

【解答】

L11—>—二，故4〉仇；同理可得仇<&，

解：由已知4=1H—，b=1-\------—

q2q+工

"Q]H------

a2a2

瓦>4,又因为一>-----------,故4<白，于是得>b2>b3>b4>b5>b6>by>...,排除

a2+------j-

〃3----

包

A

—>------二----，故2<仅，排除C而4>为>4，排除B.

%

CI3I•••

«6

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题.

【解答】

解：易知抛物线C：y2=4%的焦点为尸(1,0),于是有I3户1=2,故IA厂1=2,注意到抛物线通

径2。=4,

通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AFLx轴，

于是有IAB|=A/22+22=272.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查程序框图，属于基础题.

【解答】

A231

解：第一次循环：Z?=l+lx2=3,a—3—1—2,n—1+1—2,|——21=|(―)2—21=—>0.01

储24

A273

第二次循环：》=3+2x2=7,a=7—2=5,〃=2+1=3,|—-2|=|(-)2-2|=—>0.01

a525

第三次循环，6=7+2x5=17,。=17—5=12,〃=3+1=4,

I—7-21=|(―)2-21=—<0.01

/'12144

故输出〃=4

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题.

【解答】

解：对于A选项：在正方体ABC。-A4GA中，因为EP分别为AB，BC的中点，易知

EF±BD,从而叮，平面BQ。，又因为EFu平面,所以平面耳，平面BQQ,

所以A选项正确；

对于8选项：因为平面ABDc平面BDD[=BD,由上述过程易知平面BXEF，平面

A^BD不成立；

对于C选项的直线A4t与直线BXE必相交，故平面B、EF〃面AXAC有公共

点，从而C的错误；

对于。选项：连接AC,做，BC,易知平面A4c〃平面AC。，

又因为平面AByC与平面B[EF有公共点B「故平面ABXC与平面BXEF

不平行，所以。选项错误.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列前〃项和中的基本量计算，属于基础题.

根据题干列出等式求得q与夕，进而求出线.

【解答】

解：设等比数列伍〃｝首项％,公比q.

,Jq+%+%=168/M(l+q+O=168k(l+^+/)=168

由题意，＜，即＜，即〈,

%-4=42城1——=42[qq(l-q)(l+q+q-)=42

解得，4=g，%=96,所以a6=ai/=3.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查圆锥体积，最值计算.

【解答】

解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是

边长为。的正方形，底面所在圆面的半径为广，则厂=2。，

2

所以该四棱锥的高/z=Jl-；,所以体积

V=¥/一色,设dnWOVtVR，

4i2_，＞0,

当0<t<一,(l)单调递增，

3

4

单调递减，所以当f=2时,V取最大，此时/?=

3

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式的计算，属于中档题.

根据题意计算出与，?，/，然后作差比较大小.

【解答】

解：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为琦，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为

?，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为均由题意

扁=PjP2（l—P3）+P3（l—P2）］=PlP2+P1P3-2p、p2P3,

?=［Pl（1-0）+。3（1-Pl）1=P1P2+P2P3-2Plp2P3,

舄=P31B（1-P2）+0-Pl）1=P1P3+P2P3-2Plp2P3，

所以舄一辱=-，）＞0，七一%=口（。3-P2）＞。，

所以扁最大.

11.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的性质及直线与圆相切的性质，属于中档题.

【解答】

解：由题意，点N在双曲线右支.记切点为点A,连接AD,则跖V,\AD\^a,

又=则|刀耳|二而-a?=b.过点F］作F?B工MN交直线MN于点B,连接gN,

则鸟又点。为大耳中点，贝i||£5|二2|ZM|=2a,|用四=2|由川=3.

344

由cosN耳N/^=M，得sinN耳NB=m，tanZFiNF2=—

所以四N|=~|金,网|=9|士

2sin/片N82tanZT^A^2

tk\FlN\=\FlB\+\BN\=2b+~,由双曲线定义，|片N|—|£N|=2a,

则2b—a=2a,即？=』，所以e=J1+与=、值?=史.(此题是否有另外一解，待官方公

a2Va-V42

布)

12.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的对称性，周期性，属于拔高题.

【解答】

解：若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，则g(2-©=g(2+x),因为

f(x)+g(2-x)=5,所以/(-%)+g(2+x)=5,故/(-%)=/(%),/(九)为偶函数.由

g(2)=4，”0)+g(2)=5,得/(0)=1.由g(%)—"%—4)=7,得g(2—%)=f(-x-2)+7,

代入/(%)+g(2—JV)=5,Wf(x)+f(—x—2)=—2>/(九)关于点(—1,—1)中心对称，所以

『(1)=/(-1)=-1.由/(%)+/(_%_2)=—2,/(-%)=/(%),得/(%)+/(%+2)=-2,所

以/(%+2)+/(九+4)=—2,故/(%+4)=/(%),/(%)周期为4.由7(0)+〃2)=—2,得

22

/(2)=—3,又/(3)=*—1)=/⑴=—1,所以£/伏)=6〃1)+6/(2)+5/(3)+5/(4)=

k=\

11x(-1)+5x1+6x(-3)=-24.

3

13.【答案】—

10

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型及其计算，属于基础题.

【解答】

解：设“甲、乙都入选”为事件A,则尸(A)=£=3・

14.【答案】(x—2)2+(y—3)2=13或(x—+(y—I)?=5或(x—gy+(y_g)2=■^或

(一，+(一)、爱

【解析】

【分析】

本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题.

圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距

离为半径，每种情况逐一求解即可.

【解答】

解：设点A(O,O),5(4,0),C(-l,l),0(4,2).

(1)若圆过A、B、C三圆圆心在直线x=2,设圆心坐标为(2,a),

则4+〃=9+(a—Ifna=3,r="+q2=岳，所以圆的方程为。―2尸+(y—3了=13;

(2)若圆过A、B、。三点，同⑴设圆心坐标为(2,a),

则4+/=4+(a—2>=。=1,r="=日所以圆的方程为口―2尸+(y—1猿=5;

(3)若圆过A、C、D三点、,则线段AC的中垂线方程为y=x+l,线段AD的中垂线方程

为y=-2尤+5,联立得,一彳"r=樽镖=手，所以圆的方程为

4

3

(4)若圆过3、C、。三点，则线段3。的中垂线方程为y=l,

8

x——

线段8C中垂线方程为y=5%—7,联立得45j《-4)+7

"=1

所以圆的方程(x—|)+(y—I)?=詈.

15.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查由余弦型函数的图象与性质，属于基础题.

由故)=/(。)=日求得。，再由丐)=。求得0=3+然口”即可求最小直

【解答】

解：/(T)=/(0)=cos^=—,且0<0<%，故o=工，

26

/(g)=cos(ga)+^)=0=>^co+^=^-+k兀*£Z)=0=3+9k(kGZ),

又G>0,故g的最小值为3.

16.【答案】@1)

【解析】

【分析】

本题考查利用导数的极值求解参数，考查转化能力与运算求解能力，属于较难题.

求导，转化为r(%)=2(axIna-ex)至少要有两个零点九=玉和1=/，构造函数九(①)=f[x｝，

分类讨论，判断单调性，进而求解范围.

【解答】

解：ff(x)=2(优Ina-ex)至少要有两个零点九=不和%=%，

构造函数h(x)=f(x)=2(axlna-ex),对其求导，h!(x)=2a®(Ina)2-2e，

⑴若。>1,则力㈤在L上单调递增,此时若/(%0)=0,则广(%)在(-oo,%0)上单调递减，

在(九0,+oo)上单调递增，此时若有%=玉和%=%分别是函数/(%)=2优一cd(口>。且aw1)的

极小值点和极大值点，则%>%，不符合题意，

(2)若Ovavl,则VQ)在H上单调递减，止匕时若〃(％)=0,则/(%)在(—8,%)上单调递增，

在+8)上单调递减，令〃(%)=0,则*=一号，此时若有尤=%和Xu%分别是函数

(Ina)~

/(%)=2优一分2(々>。且QW1)的极小值点和极大值点，且玉<42，则需满足/'(%)>0，即

a

f(xo)=2(a°lna—exo)=2—的o)>0,/v,xQ]na>l,

故me=ln粉>1,所以aeQj).

17.【答案】解：(1)证明：已知sinCsin(A—3)=sin3sin(C—A)

可化简为sinCsinAcosB—sinCeosAsinB=sinBsinCeosA—sinBcosCsinA,

由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,即accosB=2Z?ccosA-abcosC,

2,2r2>2,22„2,z22

由余弦定理可得ac-——-------=2bc--------——-——ab--------,即证2储=加+/,

lac2bclab

,Z?2+c2-a250-252525

⑵由(1)可知k+。2=2a2=50,cosA=---------------=-------=----二——,

2bc2bc2bc31

2bc=31,b2+c2+2bc=(Z?+c)2=81,

:.b+c=9,.\a+b+c=14,AABC的周长为14.

【解析】本题考查正余弦定理，属中档题目.

⑴利用正弦定理角化边，再利用余弦定理角化边，化简得证;

(2)由余弦定理求出a+b即可得出三角形的周长.

18.【答案】解：(1).AD^CD,NADB=NBDC且BD为公共边：.AADB与ABDC全等,

AB—BC.

又「E为AC中点且AO=CD,:.DE±AC,同理

又；DEcBE=E,且均含于平面BED,二AC_L平面5石1).

又ACu平面ACD,.•.平面BXD_L平面ACD.

(2)在AABC中，AB=2,ZACB=60°,AB=BC:.AC=2,BE=也.

在AACD中，，ADLCD,AD=CD,AC=2,E为AC中点，:.DE±AC,DEW.

又：BD=2,:.DE2+BE-=BDT,即DEL5E

r.直线AC、直线£D、直线EB两两互相垂直.

由点尸在2。上且~408与4应>。全等，AF=FC,

由于E为AC中点二所，AC

当AAFC的面积最小时.•.石户，

在RtAD£B中，•：BE=6,DE=1:.EF^―,BF=)

22

如图，以点£为坐标原点，直线AC、EB、ED分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

3

C(-1,0,0)、A(l,0,0),5(0,73,0),£>(0,0.1)、F(0,^-,-)

丽=(0,-8,1)、AZ)=(-1,0,1),BC=(-l,-73,0)

,CF^BF-BC^-BD-BC=(1,-,-)

444

设平面ABD的法向量为m=(x,y,z)

可得<___.设y=1.•.沅=(v3,l,V3)

AD-m=0

设而与炉所成的角为a,CF与平面AB。所成角的为。

;。lII而利询Ir4g

4J3

所以CF与平面ABO所成角的正弦值为」.

【解析】本题考查面面垂直的判定，及线面角的求解，属于中档题.

19.【答案】解：（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为无，平均一棵的材积量为9,

则无=——=0.06,y=—=0.39.

10-10

£工斯一位豆

0.2474-10x0.06x0.39

（2）r=i=1=

V0.038-10x0.06V1.6158-10x0.392

W孕-同）（『-时）

0.01340.01340.0134…

=---------------------=------------------=-----------=097•

V0.002x0.09480.01x71.8960.01377

vJaQ

(3)设从根部面积总和为X,总材积量为匕则一=二，=—xl86=1209(m3).

Yy0.6

【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题.

x2v23

20.【答案】解：⑴设£的方程为二+3=1,将A(0,-2),5(3,—1)两点代入得

a2b22

4T

第一1尤2V2

”,解得/=3,加=4,故E的方程为一+乙=1.

91।34

■+记=1

32

⑵由A(0,—2),仇一,—1)可得直线AB:y=—x—2

23

22,f7

①若过P(l,—2)的直线的斜率不存在，直线为x=l.代入：+(=1,可得”(1,三)，

N(l-,将丁=手代入A3:y=gx—2,可得T(布+3,,由近=而,

2"

得〃(2庭+5,易求得此时直线EN：y=(2-)x-2.过点(0,—2)；

3

②若过P(l,—2)的直线的斜率存在，设依―y—(左+2)=0,河(石,乂)，N5,%)。

rkx-y-pf+2)=0

联立,x2।「得(3k2+4)尤2_6kQ+k)x+3k(k+4)=0,

,6M2+财—8(2+拈)

护+讥+一*=鼬旗2+/4船’且石%+5=许—24左(*)

故有《34

岫(4+拈)

6*2=嫄+4加一3F+4

y=x3

联立2，可得T(W*+3,yJ,H(3%+6-石，%),

y=—x-22

3

2

可求得此时HN:y-y2=——皂'——(x-%9)

一3乂+6-%%一

将(0,—2)代入整理得2(石+x2)-6(y；+%)+%%+%%-3yly2-12=0

将(*)式代入，得24左+12k°+96+48左一24k-48-48左+24k2-36k2-48=0,

显然成立.

综上，可得直线罚V过定点(。，-2).

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题.

(1)根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；

(2)分类讨论过点尸的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出T,N坐标，表示出直线方

程，判断直线过定点即可.

21.【答案】解：(1)当。=1时，尤=0,尸(x)=2,又尤=0时，

C+1

"0)=0,

所以曲线f(x)在点(0"(0))处的切线方程为y-0=2。-0),即y=2x.

(2)令g(x)=exln(x+1)+ax(x>-1)=exf(x),有g(0)=0,

/(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，也即g(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零

点，

则g<x)=e'[ln(x+1)H——]+a,

1+x

(I)若a..—1时，则g，(x)=e*[ln(x+1)H———]+a

1+x

令3(H)=皿H+I)+K^,”㈤飞：])十口㈤分别在(—i,o)和(o,+8)单调递减和单调递

增，易知当x=0时，w(a?)取得最小值1,

所以,[ln(x+1)+

1+x

当%>0时,-1>0,于是g(%)在(0,+8)递增,且(尤)><?(0)=0与(?(%)在(0,+8)上有一个

零点矛盾.

(II)若av—1时，令G(x)=g\x)贝ij

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G'(©=产[ln(x+1)+------——桢=exh(x)