最短路径问题专项练习

最短路径问题专项练习共13页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；ABAB二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。〔构建“对称模型”实现转化〕1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，那么与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，那么点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)那么点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的根本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比拟来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，那么应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，那么P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于eq\f(1,2)AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，那么P到A，B的距离和最短．【例3】如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如下图，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.那么MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作点关于某直线的对称点是解决这类问题的根本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，那么点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，那么有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比拟来说明最值问题是常用的一种方法．三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，那么它爬行的最短路径是。ABCABCD张村李庄ABL例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，张村李庄ABL②如图，直线L同侧有两点A、B，A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。张村李庄③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，假设张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km张村李庄四、练习题〔稳固提高〕〔一〕1、如图是一个长方体木块，AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，那么蚂蚁爬行的最短路径是。ABAABABABCDA第3题第2题第1题A第3题第2题第1题2、现要在如下图的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带〔金丝带的宽度忽略不计〕，圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，那么所缠金丝带长度的最小值为。3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的外表从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5cm，底面圆的周长为4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，那么PE+PB的最小值为。⌒⌒⌒6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，那么EC＋ED的最小值为_______。⌒⌒⌒7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD=2CD，点P是半径OC上的一个动点，那么AP+PD的最小值为_______。〔二〕8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，假设CD＝18cm，那么△PMN的周长为________。9、，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，那么△AEC的周长为__________。10、，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，那么AB的长。11、如图，在锐角△ABC中，AB＝4eq\r(2)，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，那么BM+MN的最小值是____．12、在平面直角坐标系中，有A〔3，－2〕，B〔4，2〕两点，现另取一点C〔1，n〕，当n=时，AC+BC的值最小．第11题第14题第15题13、△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，那么EF的最小值等于．14、如图，菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，那么PE+PF的最小值为___________.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，假设河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A〔2，0〕，B〔0，4〕．〔1〕求该函数的解析式；〔2〕O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．〔三〕16、如图，∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：〔1〕由图观察易知A〔0，2〕关于直线l的对称点A′的坐标为〔2，0〕，请在图中分别标明B〔5，3〕、C〔－2，5〕关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：〔2〕结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P〔a，b〕关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为；运用与拓广：〔3〕两点D〔1，－3〕、E〔－1，－4〕，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．18、几何模型：条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，那么的值最小〔不必证明〕．模型应用：〔1〕如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，那么的最小值是___________；〔2〕如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；OABPRQ图3〔3〕如图3，∠AOB=45OABPRQ图3OABOABC图2PABECBD图1AB′Pl19、问题探究〔1〕如图=1\*GB3①，四边形是正方形，，为边的中点，为上的一个动点，求的最小值；〔2〕如图=2\*GB3②，假设四边形是菱形，，，为边上的一个动点，为上的一个动点，求的最小值；ADBCADBCEPACDB问题解决〔3〕如图=3\*GB3③，假设四边形ABCD是矩形，，，为边上的一个动点，ADBCADBCEPACDB20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为〔-2，0〕，连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.〔1〕求点B的坐标；〔2〕求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；〔3〕在〔2〕中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由.〔注意：此题中的结果均保存根号〕解：〔1〕过点B作BD⊥轴于点D，由可得：OB=OA=2，∠BOD=60。.在Rt△OBD中，∠ODB=90。，∠OBD=30。.∴OD=1，DB=∴点B的坐标是〔1，〕.〔2〕设所求抛物线的解析式为，由可得：解得：∴所求抛物线解析式为〔3〕存在.由配方后得：∴抛物线的对称轴为=－1.〔也写用顶点坐标公式求出〕∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小.∵点O与点A关于直线=－1对称，有CO=CA.BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小.设直线AB的解析式为解得：∴直线AB的解析式为当=－1时，∴所求点C的坐标为〔－1，〕.21、DOxyBEPAC如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、DOxyBEPAC〔1〕求抛物线的表达式．〔2〕把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．〔3〕试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，假设存在，请写出点F的坐标；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕由题意知解得，-------------3分〔列出方程组给1分，解出给2分〕∴抛物线的解析式为-----------4分〔2〕设点A〔，0〕，B〔，0〕，那么，解得-------------5分∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90°----------6分由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD∴四边形ADBC是平行四边形----------------------------7分又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形--------------------------8分〔3〕延长BC至N，使．假设存在一点