奥数：整式的证明

绝密★启用前

OO

奥数：整式的证明

熬郛注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；

2.请将答案正确填写在答题卡上；

OO

卷II(非选择题)

一、解答题(本题共计12小题，每题10分，共计120分，)

1.若％+y=a+/?,且％2+y2=a2+b2,求证：%1997+y1997=a1997+61997.

2.已矢口％2—yz=y2-xz=z2—%y,求证：x=y=z或％+y+z=0.

疑

忠

OO3.化简(1+%)[1-％-…+(_久尸-1],其中几为大于1的整数.

4.已知Q+b+c=0.求证：2(a4+匕4+c4)=(a2+炉+c2)2.

0

5.已知14(Q2+庐+c2)=(Q+2b+3c)2,求证：a\b\c=1:2:3.

盘期4444

6.已知：a+b+c4-d=4abcdf且a,b,c,d都是正数，求证：a=b=c=d.

7.证明：(y+z—2x)3+(z+%—2y尸+(%4-y-2z)3=3(y+z—2x)(z4-%—

2y)(x+y-2z).

OO8.已知(c—a)?—4(Q—b)(b—c)=0,求证：2b=a+c.

9.设a、b、c、d是正实数且满足a?+62=02+=1,ad=be,求证：QC+bd=

1.

10.已知cm—bmHO,a。0,ax2+bx+c=0,mx24-nx4-p=0,求证：(cm-

氐-E

ap)2=(bp—cn)(an—bm).

11.已知x+y+z=xyz,证明：x(l—y2)(l—z2)+y(l—x2)(l—z2)4-z(l—

x2)(l-y2)=4xyz.

OO12.证明：(%+y+z)3xyz—(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y34-z3)—(y3z3+z3x3+

x3y3).

居

......o.....内...............o.....装...............o.....订...............o.....线...............o.....

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

......o.....夕卜...............o.....装...............o.....订...............o.....线...............o.....

参考答案与试题解析

oO

奥数：整式的证明

一、解答题（本题共计12小题，每题10分，共计120分）

1.

熬郛【答案】

解：

…（x+y=a+b

依题意得：2,22-2，

U+y/=Q/+/

由①2-②得：2xy=2ab③

②-③得：（％-y）2=（口一b）2,

O

o・'.\x-y\=\a-b\,

即％—y=a—b或x—y=b—a,

分别联立①解之得

（X=a（%=b

ly=b或|y=a

x1997+y1997=a1997+h1997.

【考点】

整式的等式证明

【解析】

首先联立已知两个等式组成方程组，然后解方程组可以得到％、与、的关系，接着

疑yab

忠代入证明的等式即可解决问题.

oO【解答】

解：

%+y=a+b

依题意得:

%2+y2=Q2+匕2

0

由①2一②得：2xy=2ab③

盘期②—③得：(x-y)2=(a-h)2,

\x-y\=\a-b\,

即％—y=a—b或％—y=b—a,

分别联立①解之得

fX=a(x=b

ly=b或1y=a

oO：.炉997+^1997=。1997+/997.

2.

【答案】

证明：x2-yz=y2-xz=z2-xy

x2—yz—y24-xz=0

氐-Ex2—y2=yz—xz

x2—yz—z2+xy=0

y2—xz—z2+xy=0

xz—xy=z2—y2整理得：z2—%24-yz—%y=0

yz-xy=xy-yz

2yz—2xy=0

oOyz=xy

z2-x2=0

Z=X

:・•

同理可证％=yOo

x=y=z..

x+y+z=0..

..

【考点】.

..

整式的等式证明.

..

岚

【解析】图

本题需先根据已知条件进行整理，把式子/—yz=y2-XZ=z2-孙分别进行移项,..

..

然后再进行抵消，即可得出它们各自的值，最后证得结果...

..

【解答】..

..

证明：・.,x2—yz=y2-xz=z2-xy..

..

「•x2—yz—y2+xz=0..

Oo

x2—y2=yz-xz

22.※.

x—yz—z-hxy=0.※.

22.

y—xz-z+xy=0.品

..

xz—xy=z2—必整理得：—/+yz-xy=0※.

.※

..

yz—xy=xy—yz趣.

※

2yz—2xy=0区

n※

yz=xy.

..

•0.z2—%2=0-※£.

.※.

Z=X..

然.

.※.

同理可证％=y..

※.

•'・x=y=z..

区o

x+y+z=0O※

※

3..

.塘.

【答案】.※.

.※.

解：原式=1—%+x2—x3+...4-(—x)n-1+%—%24-x3+.x)n-1+(—x)n..

祖.

=l+(-x)n..※

..

说明本例可推广为一个一般的形式：※

堞

我

耶

(a—6)(an-1+an-2b+...+abn~2+hn-1)=an—bn..※.

.※.

【考点】..

.长.

整式的等式证明.※.

.※.

【解析】..

猴.

..

用小括号里两项分别乘以中括号里每一项，然后合并同类项即可..冰.

Oo

【解答】※

解：原式=23n-123n-1n..

1—%+X—x+.x)4-%—%+x+.x)+(―x)..

=14-(―x)n...

..

说明本例可推广为一个一般的形式：.

..

(a一b)(anT+an-2b+...+abn-2+bf=an-bn...

田

4.氐

【答案】..

..

证明：左•右=2(a4+期+c4)—(a2+b2+c2)2..

..

=a44-64+c4-2a2b2—2b2c?—2c2a2..

..

=(a2-b2-c2)2-4b2c2..

..

=(a2—d2—c24-2hc)(a2—b2—c2—2bc)..

Oo

=[a2—(b—c)2][a2—(b+c)2]

..

=(a-h4-c)(a+b-c)(a一b-c)(a+b+c)..

=0...

试卷第4页，总10页

所以等式成立.

说明本题证明过程中主要是进行因式分解.

oO【考点】

整式的等式证明

【解析】

本题主要用到的方法是比差法，把294+匕4+。4)与(Q2+/+C2)2进行相减意，然后

再利用Q+b+C=0的条件，即可证出结果.

熬郑【解答】

证明：左-右=2(a4+b，+c4)-(a2+h2+c2)2

=a4+b4+c4-2a2b2—2b2c?—2c2a2

=(a2—&2—c2)2—4b2c2

=(a2—b2—c2+2bc)(q2—h2—c2—2bc)

=[a2—(b—c)2][a2—(b+c)2]

O

o=(a-b+c)(a+b—c)(a—b—c)(a+b+c)

=0.

所以等式成立.

说明本题证明过程中主要是进行因式分解.

5.

□r

【答案】

证明：:14(。2+-+c2)=(Q+2b+3C)2,

14a2+14b2+14c2=a24-4b24-9c2+4ab+Gac+12bc,

222

4a—4ab+炉+9a2—gac+c4-9b?-12bc+4c=0,

(2a—bp+(3a—c)2+(3b-2c)2=0,

忠2a—b=3a—c=0,3b—2c=0,

oO•»b~~2a,c=3a,

a.b:c=1:2:3.

【考点】

整式的等式证明

【解析】

期首先把14(。2+力2+。2)=(a+2b+3c)2利用完全平方公式展开，然后利用配方法变

为三个非负数的和，最后利用非负数的性质即可求解.

【解答】

证明：.「14(Q2+62+。2)=(Q+2b+3C)2,

14a24-14b2+14c2=a24-4b2+9c24-4ab+6ac+12bc,

4a2—4ab4-h2+9a2—6ac4-c24-9Z?2—12bc+4c2=0,

O

o••(2.0,—b)2+(3Q-c)2+(3b-2c)2=0,

2a—Z?=0,3a—c=0,3b-2c=0,

••b—2a,C—3a,

a:b\c=1:2:3.

6.

氐【答案】

证明：由已知可得：a44-b44-c4+d4—4abcd=0,

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0,

所以(a?-b2)2+(c2—d2)2+2(ab-cd)2=0.

因为(M—b2)2>0,(c2—d2)2>0,(ab—cd)2>0,

所以小—b2=c2-d2=ab-cd=0,

oO所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0.

又因为a,b,c,d都为正数，

••

所以a+bWO,c+dWO,

•:•:

所以a=b,c=d.Oo

22

所以ab—cd=a—c=(a+c)(a—c)=0,..

所以Q=C,.

..

故Q=b=c=d成立...

【考点】.

.

岚

整式的等式证明公

【解析】.

..

本题需先根据已知条件得出Q4+b4+c4+d4-4abcd=0,然后再进行整理，得出..

..

(a2—h2)2+(c2—d2)2+2(ab—cd)2=0,再根据a,b,c,d都是正数这个条件,..

..

..

得出a=b,c=d,a=cf最后得出结果即可...

..

【解答】..

Oo

证明：由已知可得：a4+Z?4+c44-d4—4abcd=0,

(a2-b2}2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d?-4abcd=0,.※.

.※

所以(a?—所)2+92_所)22(ab—cd)2=0..

+.品

.

因为Q2—川)220,(c2-d2)2>0,(ah-cd)2>0,※.

.※

222..

所以a?-b=c-d=ab-cd=0,趣

※

所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c—d)=0.区

n※

又因为a,b,c,d都为正数，.

..

所以Q+bHO,c+dwO,-※£.

.※.

所以a=b,c=d...

然.

22.※.

所以ab—cd=a—c=(a+c)(a-c)=0,..

※.

所以a=c,..

区o

故a=b=c=d成立.O※

7.※.

.塘

【答案】.※.

.※.

证明：令y+z—2x=a,①.

祖

z+x-2y=b,②.※.

.

%+y—2z=c,③※

堞

熬

耶

则要证的等式变为※.

..

333※.

a+Z?4-c=3abc...

.长.

联想到乘法公式：.※.

.※.

a34-Z734-c3—3abe=(a+b+c)(a2+Z?24-c2—ah—he—ca),..

猴.

..

将①，②，③相加有：Q+b+c=y+z—2x+z+x—2y+x+y—2z=0,

.冰.

O

a34-b3+c3-3abc=0,※o

.0.(y+z-2x)3+(z+%—2y>+(久+y—2z)3=3(y+z—2x)(z+%—2y)(%+..

.

y-2z)...

..

【考点】.

整式的等式证明..

田

对称式和轮换对称式氐

【解析】.

..

分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法：令y+z-2x=a,..

..

..

z+%—2y=/?,%+y—2z=c，又由Q3+〃+/=3Q/JC,即可求证得：(y+z—..

..

2x)3+(z+x—2y尸+(x+y—2z)3=3(y+z—2x)(z4-x—2y)(x+y—2z)...

..

【解答】..

O

证明：令y+z-2x=a,①o

z+x—2y=b,②..

.

x4-y-2z=c,③..

试卷第6页，总10页

则要证的等式变为

。3+〃+。3=3a儿.

oO联想到乘法公式：

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2b2+c2—ab—be—ca),

将①，②，③相加有：a+b+c=y+z—2x+z+%—2y+%+y—2z=0,

a34-b34-c3-3abc=0,

(y+z—2x)3+(z4-%—2y厂+(%+y—2z)3=3(y+z—2%)(z+%—2y)(x4-

熬郑y-2z)・

8.

【答案】

解：(c—a)2—4(a—b)(b—c)=0,

c2-2ac+a?+4QC-4ab+4b2-4bc=0,

即(c+a)2—4b(a+c)+4b2=0

oO(c+a—2b)2=0

2b=Q+c

【考点】

整式的等式证明

【解析】

□r

本题需先利用完全平方公式对(c-a)2-4(a-bXb-c)=0进行整理，最后解得(c+

a-2bY=0,即可证出结果.

【解答】

解：(c—a)2—4(a—b)(b—c)=0,

c2—2ac+a2+4。。—4ab+4Z?2—4bc=0,

忠即(c+a)2—4b(a+c)+4b2=0

oO(c+a—2b)2=0

.，*2b=a+c

9.

【答案】

1=(a2+b2)(c2+d2)=(ac)24-a2xd24-b2xc2+(Z?d)2,

期又「ad=be,

1=(ac)24-a2xd2+62xc24-(bd)2=(ac)2+2xa2xd24-(bd)2=(ac)2+

2acbd+(bd)2.*.1=(ac+fad)2,/a,b,c,d>0,

ac+bd>0

ac+bd=1.

【考点】

oO整式的等式证明

【解析】

本题需先根据a、b、c、d是正实数，得出(a+b+c+d)2大于零，再根据M+炉=

c2+d2进行整理，最后得出结果即可.

【解答】

氐1=(a2+b2)(c2+d2)=(ac)24-a2xd24-h2xc24-(6d)2,

又ad=be,

1=(ac)24-a2xd2+h2xc2+(bd)2=(ac)2+2xa2xd24-(dd)2=(ac)2+

2acbd4-(hd)2.'.1=(ac+bd)2'.,a,b,c,d>0,

ac4-Z?d>0

ac+bd=1.

oO10.

【答案】

••

证明：•「an—bm。0

•:•:

「•方程aM+b%+c=0和方程m/+九％+p=o有相等的根Oo

方程Q/+bx+。=0可化为/+3%+'=0①..

.

..

方程+%+p=0可化为/+—%4--=0②..

n「mm