数学-广东省四校联考2024届高三上学期10月月考试题和答案

2023~2024学年度第一学期四校联考（二）数学试卷命题学校：东莞市第六高级中学命题：周国真审题：王蔷薇说明：本试卷共4页，22道题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 3．已知sin(π+c）=，则sin(+2c)的值为()4．设Sn为正项等差数列{an}的前n项和．若S2023=2023，则+的最小值为()5．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()试卷第1页，共6页试卷第2页，共6页16.已知函数f(x)满足xf,(x)lnx+f(x)>0(其中f,(x)是f(x)的导数)，若a=f(e2)，b=f(e)，c=f(e2)，则下列选项中正确的是()7.若函数f(x)=x2+3x+1+kex恰有两个零点，则实数k的取值范围为()A.(,0]B.(e2,2)8.若直角坐标平面内A，B两点满足：①点A，B都在函数f(x)的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”，点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数f(x)=〈(”0)恰有两个“姊妹点对”，则实数a的取值范围是()2C.01二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是()2B.若2下列结论正确的是()11.下列四个命题中，错误的是()A.“m”1”是“关于x的方程mx2+2x+1=0有两个实数解”的必要不充分条件12.已知x1，x2分别是函数f(x)=ex+x-2和g(x)=lnx+x-2的零点，则()x12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.n，neN*.若其前k项和为126，则k=.2(πx2014．已知函数f(x)定义域为R，满足f(x+2)=－f(x)，当-2<x”2时f(x)=〈l|,,-0f(f(-5))=.15．已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，yeR都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0,f(k.2x)+f(4x+1-8x-2x)>0对任意xe[-1,2]恒成立，则实数k的取值范围是.16.函数f(x)=x2-axlnx在(,2)上不单调，则实数a的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知曲线y=f(x)=x3-ax2+bx+1在点(0,f(0))处的切线的斜率为3，且当x=3时，函数f(x)取得极值.（1）求函数在点(0,f(0))处的切线方程2）求函数的极值；试卷第3页，共6页试卷第4页，共6页f(x)-m<0成立，求m的取值范围.18.(本小题12分)已知角θ的终边上一点p(1,y)，且sinθ=-，（1）求tanθ的值2）求的值. θ)=，求cosa的值.19.(本小题12分)(1)求{an}，{bn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Mn.20.(本小题12分)已知函数f(x)=(x2-2x)ex(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[0,m]上的最大值和最小值.试卷第5页，共6页21.(本小题12分)广东某中学校园内有块扇形空地OPQ，经测量其半径为60m，圆心角为.学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案1如图1所示.用C表示方案1中矩形ABCD的面积，并求其最大值;(2)你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球场面积?若有，在图2中画出来，并证明你的结论.22.(本小题12分)已知函数f(x)=x-alnx(aeR).(1)当a<e时，讨论函数f(x)零点的个数；alnx-xex恒成立，求a的取值范围.试卷第6页，共6页2023~2024学年第一学期四校联考（二）参考答案题号123456789答案ABDDBCCBBCBCDBCDABD222部分试题答案详解7.【答案】C16.(2,).=0有两个不同的解，即y=xe当x<2时，g,(x)>0，g(x)单调递增;g(x)喻0，如下图：数形结合可知ke[0,e2)U{一}时，函数f(x)恰有两个零点.8.【答案】B【解答】解：由题意知函数f(x)=〈)恰有两个“姊妹点对”，等价于函数f(x)=lnx，x>0与函数g(x)=ax+1，x>0的图象恰好有两个交点，当a<0时，h,(x)>0，函数h(x)区间(0,+伪)上单调递增，不符合题意；，所以函数h(x)在区间(0,)上单调递增，22a22a令h,(x)<0，解得x>，所以函数h(x)在区间(,+伪)上单调递减，所以函数h(x)在(e,)上有且仅有一个零点，所以函数M(x)在(0,4)上单调递增，令M,(x)<0，解得x>4，所以函数M(x)在区间(4,+伪)上单调递减. 2a 2a 所以函数h(x)在(,)上有且仅有一个零点.12.【答案】ABD【解答】解：函数f(x)=ex+x一2的零点为x1，x与其反函数y=lnx关于直线y=x对称，y=ex与直线y=2x的交点为(x1,2x1)，y=lnx与直线y=2x的交点为(x2,2x2)，可得x12直线y=2x与直线y=x垂直，则点(x1,ex1)和(x2,lnx2)也关于直线y=x对称，则有 121212(2x2)=x2lnx2，,(3)(3)，故C错误；ln由上可知x1x2=x2lnx2>ln,2215.【答案】解：(1)令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0.证明：令y=一x，得f(x一x)=f(x)+f(一x)=f(0)=0，所以f(一x)=f(x)，所以f(x)为奇函数.由题知：f(k.2x)+f(4x+1一8x一2x)>0=f(0)，>f(0)，又y=f(x)是定义在R上的增函数，所以k.2x>2x+8x4x+1，2x2x+2，令2x则g(t)=t24t+1，所以k>g(t)max，若函数f(x)=x2一axlnx在(,2)上不单调，则方程f,(x)=0在(,2)上有根即方程a=在(,2)上有根且方程的根是函数f,(x)的变号零点，令g(x)=，则g,(x)=，xe(,1)时，g,(x)<0，g(x)递减，xe(1,2)时，g,(x)得g(x)e(2,),故ae(2,),故答案为：(2,).解得〈lb=3，经检验符合题意，所以在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+1..............................................4分令f,(x)>0，解得x>3或x<1，令f,(x)<0，解得1<x<3，故f(x)在(一伪,1),(3,+伪)上单调递增，在[1,3]上单调递减，...................................6分所以f(x)极大值=f(1)=，f(x)极小值=f(3)=1；...................................7分（3）f(x)在[0,3]上有极大值，无极小值，f(x)m<0能成立，则f(x)min<m.............................8分所以m之1............................................9分)............................................10分18.【答案】解：(1)角θ的终边上一点p(1,y)，且sinθ=-得所以θ为第四象限角，则y<0，........................................1分所以由sinθ=y，y=-........................................3分 1+y2所以tanθ=-.........................................4分(2)因为tanθ=-，=2－.........................................8分a+θe(0,)，所以cos（a+θ)= 1-sin2所以cosa=cos[（a+θ)-θ]=cos（a+θ)cosθ+sin（a+=.+.（-）3-=20...........................10分.....................11分...........................................................12分=1;..........................................................1分当n>2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，...........................................................2分经检验，当n=1时，满足an=2n-1，因此an=2n-1.......................=3;.....................................4分n，......................................5分n，因此bn=3n.......................................6分n，2n，......................................7分4n，......................................8分两式相减得2......................................9分......................................10分，......................................11分20.【答案】解：(1)f(x)=(x2一2x)ex，求导得f,(x)=ex(x2一2)..........................................................12分.........................................................1分解得<x<，........................................................4分：f(x)在[一,]上单调递减，：f(x)在区间[0,m]上的最大值为f(0)=0，f(x)在区间[0,m]上的最小值为f(m)=(m2一2m)em.......................................................7分②当√2<m<2时，：f(x)在[一,]上单调递减，在[,+伪)上单调递增，且f(0)=f(2)=0，：f(x)在区间[0,m]上的最大值为f(0)=0，f(x)在区间[0,m]上的最小值为f()=(2一2)e..................................9分：f(x)在[一,]上单调递减，在[,+伪)上单调递增，且f(m)>0=f(0)，：f(x)在区间[0,m]上的最大值为f(m)=(m2一2m)em，f(x)在区间[0,m]上的最小值为f()=(2一2)e...................................11分综上所述，当0<m<时，最大值为f(0)=0，最小值为f(m)=(m2一2m)em.当<m<2时，最大值为f(0)=0，最小值为f()=(2一2)e.21.【答案】解：(1)如图所示，取PQ弧的中点E，连接OE，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于BN=60sinc,ON=60cosc.................................1分OM==DM=CN=60sinc,所以MN=ONOM=60cosc60sinc，即AB=60cosc一60sinc，而BC=2BN=120sinc，.................................2分故矩形ABCD的面积S=AB.BC=3600(cosc一sinc).2sinc.................................3分=3600(2sinccosc一2sin2c)=3600[sin2c一(1一cos2c)]所以<2c+<......所以矩形ABCD面积的最大值为3600(2一)m2；.................................7分(2)如图所示，在半径OP上截取线段AB为矩形的一边，作得矩形ABCD.设经BOC=θ,0<θ<，可得CB=60sinθ,OB=60cosθ,则OA=CBtan=20sinθ,.................................8分所以S=(OBOA)会CB=(60co所以当2θ+=时，即θ=时，S有最大值为600.即教室面积的最大值为600m2.现将两种方案的最大值进行比较大小：所以方案2更合算.22.【详解】（1）由f(x)=x一alnx得f,(x)=xa，(X>0)当a=0时，f(x)=x>0恒成立，所以函数f(x)无零点，.................................10分.................................11分.................................12分................................1分当a<0时，f,(x)>0，f(x)在区间(0,+伪)上单调递增，且x无限趋近于0时，f(x)<0，又f(1)=1>0，故f(x)只有1个零点；...