第02讲整式的加减探索与表达规律（重难点突破）

第02讲整式的加减、探索与表达规律（重难点）【知识点一、同类项】定义：所含字母，并且相同字母的也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．说明：(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．【知识点二、合并同类项】1.概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的，且字母部分不变．说明：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．(2)合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.【知识点三、去括号法则】如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号．说明：(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“”号时，可以看作1与括号内的各项相乘．（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．【知识点四、添括号法则】添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都符号；添括号后，括号前面是“”号，括到括号里的各项都要符号．说明：(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：，【知识点五、整式的加减运算法则】一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并．说明：（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．【知识点六、规律探索型问题常见类型】1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.说明：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.说明：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.【知识点七、规律探索型问题解题技巧】1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.(一)同类项的概念例1．下列各组单项式中，是同类项的是（

）A．与 B．2m与3nC．与 D．与【答案】C【详解】解：A.与，字母不同，不是同类项，故该选项不正确，不符合题意；B.与，字母不同，不是同类项，故该选项不正确，不符合题意；C.与，是同类项，故该选项正确，符合题意；D.与，对应字母的次数不同，不是同类项，故该选项不正确，不符合题意．故选：C．【变式训练11】、下列式子中是同类项的是（

）A．与 B．与 C．与 D．3与9【答案】D【详解】A：与所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项不符合题意；B：与所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项不符合题意；

C：与所含的字母不相同，不是同类项，选项不符合题意；D：3与9是同类项，选项符合题意；故选：D．【变式训练12】、下列说法正确的是（

）A．与是同类项 B．与是同类项C．与是同类项 D．与是同类项【答案】D【详解】解：A、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意；B、与是所含相同字母x的指数不同，不是同类项，不符合题意；C、与所含相同字母x的指数不同，不是同类项，不符合题意；D、与含有相同的字母，且相同字母的指数相同，是同类项，符合题意．故选：D．(二)合并同类项例2．下列运算结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：与不是同类项不能合并，选项A不符合题意；，选项B符合题意与不是同类项不能合并，选项C不符合题意；，选项D不符合题意；故选：B．【变式训练21】、下列计算中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算正确，符合题意；D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；故选C．【变式训练22】、下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C，故A错误；，故B错误；C.，故C正确；，故D错误．故答案为C．(三)去括号 例3．下列去括号正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A．，故A错误；B．，故B错误；C．，故C错误；D．，故D正确．故选：D．【变式训练31】、下列各题去括号正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A、，故错误，此选项不符合题意；B、，故正确，此选项符合题意；C、，故错误，此选项不符合题意；D、，故错误，此选项符合题意；故选：B．【变式训练32】、下列各式去括号后正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A.，故此项不符合题意；B.，故此项符合题意；C.，故此项不符合题意；D.，故此项不符合题意；故选：B．(四)添括号例4．不改变代数式的值，下列添括号错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：根据添括号法则，可得，故A选项正确，不符合题意；，故B选项正确，不符合题意，而C选项错误，符合题意；，故D选项正确，不符合题意．故选：C．【变式训练41】、把的后两项放入带有“”号的括号里，得到（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，C选项正确，符合题意，A、B、D选项错误，不符合题意；故选：C【变式训练42】、下列添括号，正确的是（

）B． C． D．【答案】C【详解】解：A．，因此A不正确，故A不符合题意；B．，因此B不正确，故B不符合题意；C．，因此C正确，故C符合题意；D．，因此D不正确，故D不符合题意；故选：C．(五)整式的加减例5．设a，b，c为互不相等的数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意可得，∵，∴，故A不正确，不合题意；∴，∴，故B不正确，不合题意；∴，故C不正确，不符合题意，∴，∴，故D正确，符合题意，故选∶D．【变式训练51】、三个连续奇数，最小的奇数是（为自然数），则这三个连续奇数的和为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵三个连续奇数，最小的奇数是，∴另两个奇数分别为和，∴这三个连续奇数的和为．故选C．【变式训练52】、已知某三角形第一条边为，第二条边比第一条边长，第三条边比第一条边的2倍少，则这个三角形的周长为（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意，第二条边的长度为：，第三条边的长度为：，因此这个三角形的周长为：．故选：A．(六)化简求值例6．已知，，则式子的值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】第一个等式减去第二个等式的2倍，得，∴．故选：B．【变式训练61】、当时，代数式的值是（

）A．9 B． C． D．【答案】B【详解】解：，∵，∴原式．故选：B．【变式训练62】、已知整式的值是2，则的值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【详解】，∵整式的值是2，∴．故选C．(七)无关型问题例7．如果关于的代数式的值与无关，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵关于的代数式的值与无关，∴，解得：，故选D．【变式训练71】、若式子的值与的取值无关，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，∵代数式的值与x的取值无关，∴，，∴，，∴，故选：A．【变式训练72】、若多项式与多项式的差不含二次项，则的值为（

）A．4 B． C．3 D．【答案】C【详解】解：由题意可得，，∵差不含二次项，∴，解得：，故选：C．(八)数式规律例八．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（

）．24

68

10

1214

16

18

2022

24

26

28

30……A．98 B．100 C．102 D．104【答案】B【详解】解：观察数字的变化可知：第n行有n个偶数，因为第1行的第1个数是：；第2行的第1个数是：；第3行的第1个数是：；…所以第n行的第1个数是：，所以第10行第1个数是：，所以第10行第5个数是：．故选：B．【变式训练81】、观察下列两行数；1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现；第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，第n个相同的数是2023，则n等于（）A．337 B．338 C．339 D．340【答案】B【详解】解：由题目中的数据可知，第一行是一些连续的奇数，第二行奇数个数为奇数，偶数个数为偶数，第二行的第个数为，令，得，第一行和第二行第个相同的数是2023，，故选B【变式训练82】、按一定规律排列的单项式：2a，，，，，……，第n个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意可知，第n个单项式的系数为，最高次幂为，第n个单项式是，故选：A．(九)图表规律例9．将一列有理数、2、、4、、6、…按如图所示的方式进行排列，则应排在（

）A．A位置 B．B位置 C．D位置 D．E位置【答案】B【详解】解：由图可知，每个“峰”对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，由于峰上的数的排列是从2开始的，当的余数为1时，数排在A的位置，余数为2时，数排在B的位置，余数为3时，数排在C的位置，余数为4时，数排在D的位置，没有余数时，数排在E的位置，∵，∴排在B的位置．故选：B．【变式训练91】、我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示第n层的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，则＋…＋＝（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】