数学（选修2-2）课件本章整合提升4

第四章导数及其应用本章整合提升一、导数的概念函数f(x)在x＝x0处的导数就是在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0).二、导数的几何意义三、导数的运算3.复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是y＝f(φ(x)).②可分解为y＝f(u)与u＝φ

(x)，其中u称为中间变量.(2)求导法则：复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ

(x)的导数间的关系为y′x＝f′(u)φ′(x).1.要注意结合实例，理解导数概念的实质；利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时导数不存在，此时的切线方程为x＝x0.2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此，观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.3.对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要按中间变量，换成自变量的函数.四、应注意的问题1.利用导数判断函数的单调性应注意的问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，必须确定使导数等于0的点，同时需注意定义区间内的不连续点或不可导点.(3)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分条件.五、导数在研究函数中的应用2.利用导数研究函数的极值要注意的问题(1)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充分必要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要非充分条件.(2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导.(3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.3.极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.开区间(a，b)上的连续函数f(x)在区间(a，b)上的最值、极值情况有如下几种可能情况：①没有极值，无最大值无最小值；②有极大值无极小值，有最大值无最小值；③有极小值无极大值，有最小值无最大值；④有极大值、极小值，极大值、极小值即为最大值、最小值.4.导数的实际应用利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系列出函数解析式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值.求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较.1.求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数.为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.六、定积分与微积分基本定理2.利用定积分求平面图形的面积将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须确定被积函数，积分变量，积分上、下限.一般步骤如下：(1)画图；(2)确定要素(找到所属基本型，确定被积函数的积分上、下限)；(3)转化求值.要注意当所围成的图形在x轴下方时积分值为负，因此，需对其定积分取绝对值.(3)求平面图形面积的一般步骤如下：①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；②对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上、下限，用定积分表示其面积；③计算各个定积分，求出所求的面积.关键环节：a.认定曲边梯形，选定积分变量；b.确定被积函数与积分上、下限.对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容以及Δx→0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形.专题一利用导数的定义解题【点评】解答本题的关键是对导数的定义的理解以及正弦两角和公式的应用.求导公式和导数法则的建立使求导问题程序化，为许多较复杂的函数的求导提供了简捷的途径.在运用时必须严格按照已有的公式、法则进行，运用求导公式和法则必须做到：(1)正确掌握基本函数的求导公式.(2)正确利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导.(3)正确运用函数四则运算的求导法则和简单的复合函数的求导法则.专题二导数的计算【点评】求函数的导数时要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合形式.在求导数的过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式，对于不具备求导法则结构形式的解析式要进行适当恒等变形.对于较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程烦琐冗长，且易出错，此时可将函数解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式再求导数，但必须注意等价变形.由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).因此，关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决.专题三导数的几何意义(1)解：∵y′＝3x2，∴直线l的斜率为3a2(a≠0).∴直线l的方程为y－a3＝3a2(x－a)，即3a2x－y－2a3＝0(a≠0).答案：B

曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为____________________.解析：由题意，得y′＝3x2－1.∴当x＝1时，y′＝3×12－1＝2.∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0

设曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a＞0)的交点为P，在点P处的曲线C的切线与x轴交于点Q(－a,0)，求a的值.专题四求参数的取值问题【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意题设条件a＞0.

已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.求a，b，c，d的值.解：由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.又f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.

讨论函数的单调性及求单调区间的方法有三种：根据图象求解；根据函数的单调性的定义求解；利用导数求解.利用导数讨论单调性和求单调区间具有普遍的指导意义.应注意：①确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；②在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点；

专题五求函数的单调区间③命题“如果f′(x)>0，那么函数是增函数”的逆命题不成立，当f(x)在(a，b)内为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，f(x)也就恒为常数，故由f′(x)≥0不能得到f(x)是单调函数，因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件.

已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a).(1)求导数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)的递减区间.

解：(1)f(x)＝(x2－4)(x－a)＝x3－ax2－4x＋4a.∴f′(x)＝3x2－2ax－4.利用导数研究函数的极值要注意：(1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充要条件是f′(x)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.f′(x0)＝0是x0为极值点的必要不充分条件.(2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导.(3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.专题六求极值、最值问题【点评】本题将极值不存在问题转化为判定一元二次方程(a≠0)无不等实根的问题，充分体现了转化思想在解决数学问题中的应用.解决生活中的优化问题时应注意的问题：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形.如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值.(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.专题七利用导数解决实际问题

在高为H、底面半径为R的圆锥内作一个内接圆柱，当圆柱的底面半径r为多大时，圆柱的体积最大？[思路点拨]

本题的关键是画出轴截面，建立圆柱体积与底面半径r的函数关系式，利用导数求函数的最大值.

【点评】解决此类题的关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解.故当x＝6000时，l取得极大值.由于函数只有一个点使l′＝0，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6000件产品.(1)利用定义求定积分(定义法).(2)利用微积分基本定理(牛顿_莱布尼茨公式)求定积分，步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a).需要注意：由于[F(x)＋C]′＝F′(x)＝f(x)，故导数为f(x)的原函数有无数个，在用微积分基本定理求定积分时，只写一个最简单的，不再加任意常数C.专题八求定积分的方法【点评】本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分.【点评】根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理代入求值.若被积函数较复杂，可以先