【解析】广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题

惠州市2020届高三第一次模拟考试文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，然后再求并集运算.【详解】由，得集合B=所以A=故选：A.【点睛】本题考查集合的描述法和集合的并集运算，属于基础题.为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算对选项进行逐一化简可得答案．【详解】对于A，不是纯虚数；对于B，是实数；对于C，为纯虚数；对于D，不是纯虚数.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．,则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若，则0<a<b，则是0<a<b成立的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系进行转化是解决本题的关键．的方差为，若，则新数据的方差为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据方差的性质直接计算可得结果.【详解】由方差的性质知：新数据的方差为：.故选：.【点睛】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题.的图象大致形状是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别在和两种情况下得到函数解析式，根据指数函数单调性可判断出所求函数单调性，进而得到所求图象.【详解】当时，；当时，，为上的增函数，在上单调递减，在上单调递增，可知正确.故选：.【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式，进而根据指数函数单调性判断出结果.6.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，结合三视图求出相应的长度，利用柱体和椎体的体积公式，即可得到答案．【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半圆的直径为，高为，故半圆柱的体积为，三棱柱的底面三角形的一边长为，该边上的高为，该三棱柱的高为，故该三棱柱体积为，所以该“柱脚”的体积为．故选：C．【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．中，角的对边分别为，若，，且满足，则的值为（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理将边化为角，即可求出角，结合向量的数量积即可求解.【详解】根据正弦定理得：即：,又，故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式及平面向量的数量积，考查边化角的技巧，属于基础题.，则满足的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得是偶函数，且在区间上单调递增，则不等式等价为，即，从而得到答案.【详解】由，知是偶函数，不等式等价为，当时，，在区间上单调递增，解得：.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题.是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为（）A.±l B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据，结合抛物线的定义，求出点坐标，得到点坐标，进而可得直线斜率.【详解】因为点在抛物线上，且，点在抛物线的准线上，由抛物线的定义可知，直线，设，则，解得，所以，故，故，又，所以直线的斜率为.故选C【点睛】本题主要考查求抛物线中直线的斜率，熟记抛物线的定义即可，属于常考题型.m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由，便得，又，，即.故选：D.【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，属于基础题.的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后得到函数为奇函数，则函数的图象（）A.关于点对称 B.在上单调递增C.关于直线对称 D.在处取最大值【答案】A【解析】【分析】由最小正周期为得出，由的图象向右平移个单位后得到函数为奇函数得出，进而得出，然后根据正弦型函数的图像与性质逐一对选型进行判断即可得出答案.【详解】解：函数的最小正周期为，可得，向右平移个单位后得到的函数为，因为此函数为奇函数，又，所以.故函数，对于选项：正确；对于选项：当，不具有单调性，故B错；对于选项：，故C错；对于选项：，没有取到最大值，，故D错.故选：A.【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质，属于中档题.，若关于x的方程恰好有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的单调性，作出的函数图像，根据方程恰好有四个不相等的实数根，可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，根据二次函数零点分布可得，解不等式组即可求解.【详解】当时，，，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，同理可得在上单调递增，作出的函数图像如图所示：设的两根为由恰好有四个不相等的实数根，则方程的一根在区间上，另一根在区间上不妨设，，根据二次函数零点分布可得，即，解得故实数m的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了由方程根的个数求参数的取值范围、利用导数判断函数的单调性，考查了数形结合的思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.是曲线的一条切线，则实数的值是_____.【答案】1【解析】【分析】设出切点坐标P（x0，ex0），利用导数的几何意义写出在点P处的切线方程，由直线y＝x+b是曲线y＝ex的切线，根据对应项系数相等可求出实数b的值．【详解】∵y＝ex，∴y′＝ex，设切点为P（x0，ex0），则在点P处的切线方程为y﹣ex0＝ex0（x﹣x0），整理得y＝ex0x﹣ex0•x0+ex0，∵直线是y＝x+b是曲线y＝ex的切线，∴ex0＝1，x0＝0，∴b＝1．故答案为1．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础题.，，若向量与垂直，则=__________.【答案】7【解析】【分析】先求出，再由，可求出的值.【详解】由，所以，，解得.故答案为：7.【点睛】本题主要考查了向量的垂直的条件和数量积的坐标运算的应用，准确运算是解答的关键，属于基础题．15.2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）.已知学习时长在的学生人数为25，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用频率和为可构造方程求得，根据总数频率频数可构造方程求得.【详解】由频率分布直方图的性质可得：，解得：，学习时长在的频率为：，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、总数的问题，属于基础题.左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，若动点满足且，则点到双曲线一条渐近线距离的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由题意结合椭圆定义求得的轨迹，求出双曲线的一条渐近线方程，再求出到渐近线的距离，则答案可求．【详解】椭圆的则，若动点Q满足且，则三点共线，且同向，由，所以Q的轨迹为以为圆心，6为半径的圆，双曲线的一条渐近线方程设为，由圆心到渐近线的距离为，所以点到双曲线一条渐近线距离的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查椭圆与双曲线的综合，考查动点的轨迹的求法和点到直线距离公式的应用，考查圆上的点到直线的距离的最大值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和.参考公式：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意结合等差数列的性质可得、，再根据等差数列的性质可得、，由等差数列的通项公式即可得解；（2）由题意，再由分组求和法、等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】（1）设等差数列公差为，由题意可得即，又，，，，，；（2）由题意得，所以，.【点睛】本题考查了等差数列性质的应用及通项公式的求解，考查了分组求和法、等差数列前n项和公式的应用，属于中档题.中，，，，面，，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由条件可得，即，又由条件可得面，从而可得，从而得证.

（2）设点到平面的距离为，由等体积法有，可得，从而可求出答案.【详解】（1）证明：由已知可得，，且面ABCD，面，面，，，面，面∴面且面，所以面面（2）又平面，平面，面又平面，即三角形为直角三角形设点到平面的距离为，，即，点到平面的距离为【点睛】本题考查面面垂直的证明和求点到面的距离，求点到面的距离一般用等体积法求解，也可以用向量法求解.属于中档题.19.惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I卷的题型结构，其中第22、23题为选做题，考生只需从中任选一题作答.已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人.在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22题统计结果如下表1，23题统计结果如下表2.表122题得分035810理科人数507080100500文科人数52010570表223题得分035810理科人数1010152540文科人数552505（1）在答卷中完成如下列联表，并判断能否至少有的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系；选做22题选做23题合计文科人数110理科人数100总计1050（2）在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率.参考公式：，其中.【答案】（1）列联表见解析，有；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由分层抽样法求得被选取的6名学生中理科生和文科生人数，进而写出从6名学生中随机抽取2名的所有基本事件以及被抽中的2名学生均为理科生的基本事件，进而求出相应的概率.【详解】解：（1）根据题意填写列联表如下，选做22题选做23题合计文科人数11040150理科人数800100900总计9101401050由表中数据，计算所以有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；（2）由分层抽样的方法可知在被选取的6名学生中理科生有4名，文科生有2名，记4名理科生为，2名文科生为，从这6名学生中随机抽取2名，全部可能的基本事件共15种分别是：被抽中的2名学生均为理科生的基本事件是：，有6种，故所求的概率为所以被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率为.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.且.（1）当时，求函数的单调区间与极值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数取极大值，无极小值；（2）.【解析】试题分析：（1）将代入，求出函数的导函数，判断函数在区间上的单调性，进而研究极值；（2）令，即当时，恒成立.求导研究最值和0比即可.试题解析：（1）当时，函数，，当时,，当时，.所以函数的单调增区间为,单调减区间为，当时，函数取极大值，无极小值.（2）令，根据题意，当时，恒成立..①当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；②当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；③当时，,恒有,故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即,解得，故.综上，的取值范围是.点睛：不等式的存恒成立问题，常用的方法有两个：一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式两边，要就函数的图像，找参数范围即可；二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.：的两个焦点分别是，直线：与椭圆交于两点.（1）若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；（2）若，且，求证：的面积为定值.【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据为等腰直角三角形可知；分别讨论焦点在轴和轴上两种情况，构造方程求得；（2）根据可知，将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，代入可整理得到的关系；利用弦长公式和点到直线距离公式可表示出的面积，化简整理可得定值.【详解】（1）为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，为等腰直角三角形，，当时，，解得：；当时，，解得：；或.（2）证明：当时，椭圆方程：，设，，，即，由整理得：，，即，，，，，满足，.到直线的距离为，，的面积为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程中的参数的求解问题、定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够利用变量表示出所求项，利用韦达定理和已知的等量关系对所求项进行化简整理，消去变量得到定值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.答题时请在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑.中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.求曲线的普通方程和的直角坐标方程；