2020-2021学年鄂东南新高考联盟高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年鄂东南新高考联盟高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设集合2={-2,—1,0,123,4,5},B={-2,0,1,2},则2C8=（）

A.{1,2}B.{-2,1,2}C.{0,1}D.{-2,0,1,2）

2.已知££竺竺=2,则cos?。+s讥a•cosa的值是（）

cosa-sma

A.-|B.C.ID.I

3.八x）=’+a"x，（x>0,0<a<e）,则丫=/，。力的零点有（）

（cos%,（x<0）

A.0个B.1个C.2个D.无穷多个

71

4.命题p：--<a<1,命题q：/（%）=2、一嚏+Q在（1,2）上有零点，则p是]的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11

5.设％,yER,a>1,b>1,若a%=9=3,a+2b=6五,则嚏+亍的最大值是（）

A.；B.1C.|D.2

22

6,将函数叵|的图象上所有的点向左平移0个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原

来的0倍（纵坐标不变），得到的图象的函数解析式是（）

A.0B.□C.0D.0

7.若neZ,在①sin（mr+g）,②sin（2rar土g）,③sin[wr+（—1）其勺],④cos[2rar+（—1尸口中，

3336

与sin相等的是（）

A.①和②B.③和④C.①和④D.②和③

8,若对Vxe[1,2],使得/一aW0成立，则实数a的取值范围是（）

A.a>4B.a>1C.a>4D.a>1

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9,与2020。终边相同的角是（）

A.-220°B,-140°C.140°D.220°

10.函数/（x）为定义在R上的奇函数，当x>0时，/（x）=e~x（x-1）,下列结论正确的有（）

A.当%<0时，/(%)=ex(x+1)

B.函数/(%)有且仅有2个零点

C.若zn<e~2,则方程/(%)=m在久>0上有解

D.V%i，外ER，|/(%2)一V2恒成立

11.已知函数f(%)=sinajx(sinajx+V3coso)x)(o)>0)的最小正周期为兀，则下列结论中正确的是

()

A./(%)</《)对一切16R恒成立

B.f(x)在区间(-弟-专上不单调

C.f(x)在区间上恰有1个零点

D.将函数/Q)的图像向左平移看个单位长度，所得图像关于原点对称

12.下列函数中，是奇函数且存在零点的是()

32

A.y=x+xB.y=log2xC.y=2x—3D.y=x\x\

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.点P是圆，+丫2+2%-3=0上任意一点，则点P在第一象限的概率为.

14.设正数a,b满足：a+4b=2,贝壮+£的最小值为.

15.若函数/(2x+1)=6x+2,则函数/(x)=.

16.设函数y=f(%)是奇函数，若丁一2)+3(-1)-3=/(1)+/(2)+3,则/⑴+〃2)=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知p：一点：#熬事,普密箜颜，q：d-宴：牛1-瀛三顺沏::*顺.

(1)若p是q充分不必要条件，求实数雕的取值范围；

(2)若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数蹴的取值范围.

18.如图所示，在平面四边形28CD中，AB=4,AD=2,/.DAB=60°,/.BCD=120°.

(1)当BC=C。时，求ABC。的面积；

(2)设NCBD=。，记四边形4BCD的周长为/(。)，求f(0)的方程，并

求出它的最大值.

B

19.已知函数ft礴=需一口.

(/)若，1铲i=&,求需的值；

*lSft

(〃)若副砌I书喊整蝉❿对于曲电44恒成立，求实数微的取值范围.[

20.已知函数f(x)=2sin(2x-》将/㈤的图像向左平移吗＜t＜兀)个单位长度，得到函数g(%)的

图像.

(I)若9(%)的图像关于点(一，0)对称，求函数9(%)的解析式；

(n)在(I)的条件下，当xe[—力时，求不等式g(x)〈遮的解集.

21.若方程％+y-6dx+y+3m=0表示两条直线,求m的取值范围，若仅表示一条直线，求根的

范围.

22.已知函数/(%)=/+4%+3

(1)若g(%)=f(x)+ex为偶函数，求c

(2)利用单调性定义证明：函数/(%)在区间[-2,+8)上是增函数.

参考答案及解析

L答案：D

解析：解：集合4={-2,—1,0,123,4,5},

B={-2,0,1,2},

•*AC\B={-2,0,1,2},

故选：D.

利用交集定义直接求解.

本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.答案：D

解析：解：由题意,cosa+sina

cosa-sina

•••tana=-

a+sinacosa

由cos2a+sina•cosa=同时除以COS?©

cos2a+sin2a

1+tana

得：cos2a+sina-cosa=

l+tan2ai+-

故选：D.

利用弦化切的思想，cosa+sina_2,可得：^+tana—2,求出汝九仇，由cos2q+sina•cosa=

cosa-sina1-tana

吟陋等同时除以cos2a,即可求解.

cos2a+sin2a

本题主要考察了同角三角函数关系式和万能公式的应用，属于基本知识的考查.

3.答案：A

解析：解：当％>0时，求导可得/(%)=：+am=在％[时有最小值，/(^)=a+aln\

又0<aVe,ln5>ln§=-1,所以/(*>0,即％>0时，/(%)>0,y=/[/(%)]>0,没有零点.

当％<0时，cosx6[—1,1],若cosx>0,则y=/[/(%)]>0,

若cos%G[-1,0],则同样可得y=/[/(%)]>0,函数没有零点.

故选：A.

利用导数判断函数的单调性求出函数在％>0时的最小值，判断函数的零点个数，然后判断％<0时，

函数的零点的个数，推出结果即可.

本题考查函数的导数的综合应用，函数的零点个数的判断，考查计算能力.

4.答案:B

解析：解：命题q：/(x)=2久—；+a在(1,2)上有零点，.•・a=《—2*e1).

7

又命题p：―-<a<1,

则p是q的必要不充分条件.

故选：B.

命题q：/0)=2久—；+a在(1,2)上有零点，化为a=(—2,利用单调性可得其取值范围，即可判

断出关系.

本题考查了函数的单调性、函数零点、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

5.答案：D

解析：

1-1

本题考查基本不等式的运用，考查对数运算，考查学生分析转化问题的能力，正确表示^+亍是关键.

1111

由产=»=3,求出x,y,进而可表示i+亍，再利用基本不等式，即可求或+亍的最大值.

xy

解：；a>1,b>1,a=b=3,•.x=loga3,y=log63,

•••=Iog3a,=log3b,

11

•1--+-=loga+logb=\ogab,

xy333

•・•a+2b=6V2>2,2ab,

・・.ab<9(当且仅当Q=2b时，取等号)，

••，+；Wlog39=2,

即$+2的最大值为2；

xy

故选：D.

6.答案：D

解析：试题分析：将函数□的图象上所有的点向左平移s个单位，得到□的图像，再把所

得图象上所有点的横坐标缩短到原来的S倍(纵坐标不变)，得到的图象的函数解析式是0

考点：三角函数伸缩平移变换

7.答案：B

解析：解：①sinQur+§=土sing=土产,

@sin(2n7ri~)=±sin|=±苧；

@sin[n7r+(-1)"^)]=sin^=y

COS[2HTT+(―l)n^]=cos：=y-

所以③④满足题意,

故选B

分别求出①②③④四个表达式的值，等于日的即可满足要求.

本题是基础题，考查三角函数的化简求值，诱导公式的应用，考查计算能力,常考题型.

8.答案：A

解析:

本题考查了不等式恒成立问题，二次函数的图象和性质.构造函数〃切=尤2a,则已知可化为

进而解得实数a的取值范围.

J—U

解：令=—

若Vxe[1,2]使得一aW0恒成立,

则7(1)<o

了(2)〈0'

即｛;二:北

解得a>4,

故选A.

9.答案：BD

解析:

本题考查终边相同角的概念，是基础题.

直接由2020。=5x360°+220°,2020°=6x3600-140。得答案.

解:•••2020°=6X360°-140°,2020°=5X360°+220°,

.•.与2020。终边相同的是一140。或220。.

故选：BD.

10.答案：AD

解析：解：当x>0时，f(x)=e~x(x-1),f'(x)=

—e~x(x—1)+e~x=e-x(2—x),

可得0<x<2时，f(x)>0,f(x)递增，x>2时，

f'(x)<0,/(x)递减，可得x=2处/(%)取得极大值e-2

x-»+oo,/(x)r0,画出y=f(x)在x>0的图象，

由奇函数的图象关于原点对称，可得/Q)在x<0的图

象，且f(0)=0,

可得y=/(%)在R上的图象.

当x<0时，—x>0,/(%)=—/(—%)=—ex(—%—1)=ex(x+1),故A正确；

由图象可得/(%)与x轴有三个交点，故3错误；

由x>0时，可得/(%)G(-1,e-2],可得方程/(x)=m在％>0上有解，则一1<mWe-2,故C错误;

由图象可知，/(x)G(-1,1),贝！)上K1，小€凡|/(x2)-/(xi)|<1-(-1)=2,故。正确.

故选：AD.

求得x>0时，/(%)的导数，可得单调性和极值，画出％>0的图象，由奇函数的特点作出y=/(x)在

R上的图象，由x<0,-x>0,运用奇函数的定义可得％<0时/(%)的解析式，可判断4由图象与

x轴的交点个数可判断B；由x<0时/Q)的范围，可判断C；由/Xx)的值域可判断D.

本题考查函数的图象和性质，主要是奇偶性和单调性、对称性的运用，考查数形结合思想和运算能

力，属于中档题.

11.答案：AB

解析：解：,函数/(%)=si?i3x(s讥3X+V^cosax)=+4sin23x=sin(2<i)x—2)+(

的最小正周期为箸=n,.>,a)=l,/(%)=sin(2x-7)+7-

zCi)oZ

令x=5,求得/(%)=I为最大值，故有/Xx)对一切xeR恒成立，故A正确;

在区间(一弟―勺上，2x—e(一兀,—》函数/(%)没有单调性，故8正确；

在区间《当上，2万—江弓,詈)，函数f(x)有2个零点,故C错误；

将函数/(X)的图像向左平移专个单位长度，所得了=5也(2%+%)+》的图像关于不原点对称，故。错

误，

故选：AB.

由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查三角恒等变换，整弦函数的图象和性质，属于中档题.

12.答案：AD

解析：

本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数零点的定义，属于基础题.

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和是否存在零点，综合可得答案.

解：根据题意，依次分析选项，

4中，y==x3+x,其定义域为R,有/(-%)=-/Q),是奇函数，且存在零点0,符合题意；

B中，y=log2x,是对数函数，是非奇非偶函数，不符合题意；

C中，y=2/—3,是二次函数，是偶函数，不符合题意；

。中，y==x|x|,其定义域为R,有g(-x)=-g(x),是奇函数，且存在零点0,符合题意.

故选：AD.

13.答案：

O

解析:

本题考查几何概型，解题的关键是求解圆在第一象限的部分的弧长，属于基础题.

求出圆在第一象限的部分的弧长和圆的周长，利用几何概型的公式即可求解概率.

解：如图：圆/+y2+2%_3=0化为标准方程(久+I)2+y2=4,

圆心为人(一1,0)，半径为2,

由图易知AABC为等边二角形，

则圆在第一象限部分的弧长为：gx2,

圆的周长为：4兀，

27r

所以圆上的任意一点P在第一象限的概率为：i=l

47r6

故答案为：

6

9

弟

省-

4.2

解析：解：•・,正数Q,揖两足a+4b=2,

11111

.■,-+-=-(«+4^(-+-)

=-5+竺+2)2气5+2巴)=2，

2、ab，2、7aM2

当且仅当竺=W即a=:且6=孑寸取等号,

ab33

・••所求的最小值为:

故答案为：I

由题意可得工+J=;(a+4h)(i+b=;(5+-+^),由基本不等式可得.

ab2'八ab，2'ab，

本题考查基本不等式求最值，属基础题.

15.答案：3x—1

解析：解：/(2x+1)=6%+2=3(2*+1)-1；

/(x)=3x—1.

故答案为：3%—1.

可将/(2x+1)=6x+2变成/(2x+1)=3(2%+1)-1,从而便可得到/(x)=3x—1.

考查函数解析式的概念，已知丹以切］解析式求fO)的解析式的方法，本题还可换元法求解.

16.答案：—3

解析：

本题主要考查用奇偶性来求函数值，属于基础题.

先由函数y=/Q)是奇函数,求得/(—2)=—“2),/(-I)=—/(I)代入/(—2)+/(—1)-3=先1)+

/(2)+3求解.

解：・函数y=/(x)是奇函数，

・•.C),/(-1)=-/⑴，

又2)+/(-l)-3=/(l)+/(2)+3,

所以—/(2)-/(l)-3=/(l)+/(2)+3,

可解得f(l)+f(2)=-3,

故答案为：-3.

17.答案：(1)雕复额(2)御吱黑工兽

解析：试题分析：结合不等式的解法，先求出那，町成立的等价条件，利用那是敏的充分不必要条

件即可求解潞的取值范围.

试题解析：承：翻：1-懒W察三X#微

(1)•・・泮是薯的充分不必要条件，

IK槽

•••|：-军喇是耦砌的真子集.二.，卜T建-X二

••・实数蹴的取值范围为.更矍

(2)•••“7”是“W”的充分不必要条件，

・••薯是部的充分不必要条件.

।诵

二」：1—飕更―鬣二酮潞蛰.实数雕的取值范围为峋v

।口小；蹦三力虬

v«

考点：充分必要条件.

18.答案：解：(1)在A4BD中，AB=4,AD=2,ADAB=60°,

由余弦定理可得BD=^22+42-2X2X4X|=2A/3,

在ABCD中,乙BCD=120°,

.♦•当BC=CD时，ZBDC=30°,

BDsinSOP2通

•••由正弦定理可得BC=F20g

BCO的面积S=-xBCxCDxsinZ-BCD

=-x2x2x—=V3;

(2)在ABC。中，由正弦定理可得一不—而——1,

siwsin(W)一")sml2(>

解得DC=4sin6,BC=4s讥(60°-。)，

f(9)=AB+AD+BC+CD

=6+4sin6+4sin(60°—0)

=4sin9+2百cos。—2sin9+6

=4sin(0+60°)+6,

0°<0<60°,

・•・当且仅当。=30。时，sin(0+60。)有最大值1,

・•・/(。)的最大值为：10.

解析：本题考查了函数y=4s出(3X+R)的图象与性质，两角和与差的三角函数公式，辅助角公式，

正余弦定理在解三角形计算中的综合应用和三角形面积公式，属于中档题.

(1)在AaBD中，由余弦定理可得BD,在△BCD中由正弦定理可得8C,由面积公式可得ABCD的面

积；

(2)在△BCD中，由正弦定理可得名—~市.叱、1,可得DC=4s讥。，BC=

siitdsin(W>-0)snil20

4sin(60°-0),利用两角差的正弦函数公式和辅助角公式得/(6)=4sm(9+60°)+6,再利用函数

y=Asin(a)x+p)的最值可得/'(0)的最大值为10.

19.答案：(I)客=酗觐if。#阴］j.(口)-S.

解析：试题分析：(I)首先将原式化为保新_公蜜『一双=:副.利用换元法解出警，，然后得到

■或：=1睡域R¥JSj；

(n)利用转化化归思想，将软律i普邂H常理倒恒成立，转化成渝柒)蕨唐-4M励恒成立，

根据窗-工>©,得到晓书：i#嬲.蚓恒成立，通过分离参数得到微空T；铲带孽，只需，:摘畋-翁书霞］L，，

转化成求二次函数闭区间上的最值问题.

试题解析：(I)vf，二穴!*)=*，2分

由条件可知蜜一上，=雪，即皆急■1_骞蜜,-n=fl-

解得蟹'=n土点.

因为蜜飞通，二蜜'=工¥、区，

■1=启摞Jn,十抵|6分

（口）因为蕾到一，所以宣蝌=谭-'：,.频烂）=萨-^.

嫉1谭[|书哪1筒i曜❿恒成立，即3柒-:书哪；起-'-|逆（聊恒成立，

""与‘盘./•'K,就£

/d卡%]

即：蕾一」|谭带工书前凹颂.又源归苕刈，所以窗一’-器⑩，

k献％"L1嘉

所以晓书：1#嬲河斛恒成立，即微逆-:箴^普小恒成立•9分

又旌4藁，，蹴网[T评书期二，即溷更T.12分

考点：1.指数方程；2.二次函数的性质；3.“分离参数法”.

20.答案：解：（I）将函数/Q）=2s讥（2%—9的图像向左平移[（三<t<兀）个单位长度，

得到函数9（吗=2s加（2x+2t—9的图像，

若g（x）的图像关于点（一?0）对称，则2x（—》+2t—g=/OT,keZ,

即1=处+巴，令k=l,可得t=