2021年江苏省连云港市中考数学试卷及解析（真题样卷）

2021年江苏省连云港市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.（3分）（2021•衢州）-3的相反数是（）

A.3B.~3C.1D._l

33

2.（3分）（2021•连云港）下列运算正确的是（）

A.2a+3b=5abB.5a-2a=3aC.a2*a3=a67D.(a+b)2=a2+b2

3.（3分）（2021•连云港）2021年连云港高票当选全国"十大幸福城市"，在江苏十三个省辖

市中居第一位，居民人均可支配收入约18000元，其中"18000"用科学记数法表示为（）

A.0oI8X105B.Io8xl03C.1。8xl04D.18xl03

4.（3分）（2021•连云造）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛

中每名学生的平均成绩彳及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参

赛，则应选择的学生是（）

甲乙丙丁

x8998

s211lo2lo3

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.（3分）（2021•连云港）已知四边形ABCD,下列说法正确的是（）

A.当AD=BC,ABIIDC时，四边形ABCD是平行四边形

B.当AD=BC,AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形

C.当AC=BD,AC平分BD时，四边形ABCD是矩形

D.当AC=BD,AC_LBD时，四边形ABCD是正方形

6.（3分）（2021•连云港）已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的

取值范围是（）

A*k<lB"k>-1Ck<1且kwOD-k>-工且kxO

3333

7.（3分）（2021•连云港）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3,4）,

顶点C在x轴的负半轴上，函数y=X（x<0）的图象经过顶点B,则k的值为（）

A.-12B.-27C.-32D.-36

8.（3分）（2021•连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量

y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）

与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量x一件产品的销售利润，下列

结论错误的是（）

A.第24天的销售量为200件

B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等

D.第30天的日销售利润是750元

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.（3分）（2021•连云港）在数轴上，表示-2的点与原点的距离是.

10.（3分）（2021•连云港）代数式二^在实数范围内有意义，则x的取值范围

x-3

是.

11.（3分）（2021•连云港）已知m+n=mn,贝ij（m-1）（n-1）=.

12.（3分）（2021•连云港）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和

为.

JF

QE

cD

13.（3分）（2021•连云港）己知一个函数，当x>0时，函数值y随着x的增大而减小，请

写出这个函数关系式（写出一个即可）.

14.（3分）（2021•连云港）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4

的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为

主视图左视图

俯视图

15.（3分）（2021•连云港）在小ABC中，AB=4,AC=3,AD是^ABC的角平分线，则AABD

与4ACD的面积之比是.

16.（3分）（2021•连云港）如图，在△ABC中，ZBAC=60°,ZABC=90°,直线hllbll13,

h与12之间距离是1,12与13之间距离是2,且11,12,13分别经过点A,B,C,则边AC的

长为.

三、解答题

17.（6分）（2021•连云港）计算：J3）2+（.1）-2021°.

12_A

18.（6分）（2021•连云港）化简：（1+」-）4-....

"1m2+in

'2x+l>5

19.（6分）（2021•连云港）解不等式组:

x+l>4(x-2)

20.（8分）（2021•连云港）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得

到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员

工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表和图.

组别个人年消费金额x（元）频数（人数）频率

Ax<2000180o15

B2000<x<4000ab

C4000<x<6000

D6000<x<8000240o20

Ex>8000120o10

合计c1o00

根据以上信息回答下列问题：

（1）a=,b=,c=.并将条形统计图补充完整；

（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在组；

（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数.

21.（10分）（2021•连云港）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都

有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为"2","3","3","5","6"的五张牌

背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放

回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x,按表格要求确定奖项.

奖项一等奖二等奖三等奖

x|=4|x|=3l<|x|<3

（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率;

（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？

22.（10分）（2021•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点

C落在点F处，DF交AB于点E.

（1）求证；ZEDB=NEBD；

（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由.

23.（10分）（2021•连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，

决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现

在只花费了4800元.

（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续

二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.

24.（10分）（2021•连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=5/泉-与x

轴、y轴分别交于A,B两点，P是直线AB上一动点，。P的半径为1.

(1)判断原点o与OP的位置关系，并说明理由；

(2)当。P过点B时，求OP被y轴所截得的劣弧的长;

(3)当。P与x轴相切时，求出切点的坐标.

25.(10分)(2021•连云港)如图，在△ABC中，NABC=90。，BC=3,D为AC延长线上

一点，AC=3CD,过点D作DHIIAB,交BC的延长线于点H.

(1)求BD・cosNHBD的值；

(2)若NCBD=NA,求AB的长.

26.(12分)(2021•连云港)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2

的正方形ABCD与边长为2&的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上,

AB与AG在同一直线上.

(1)小明发现DGLBE,请你帮他说明理由.

(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请

你帮他求出此时BE的长.

(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，

交点为H,写出aGHE与ABHD面积之和的最大值，并简要说明理由.

27.(14分)(2021•连云港)如图，已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=L?交于A,

B两点，其中点A的横坐标是-2.

(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.

(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不

存在，请说明理由.

(3)过线段AB上一点P,作PMIIx轴，交抛物线于点M,点M在第一象限，点N(0,

1),当点M的横坐标为何值时，MN+3Mp的长度最大？最大值是多少？

2021年江苏省连云港市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.（3分）（2021•衢州）-3的相反数是（）

A.3B.-3C.1D.1

33

考点：相反数.

专题：常规题型.

分析：根据相反数的概念解答即可.

解答：解：-3的相反数是3,

故选：A.

点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上号；一个正数

的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.

2.（3分）（2021•连云港）下列运算正确的是（）

A.2a+3b=5abB.5a-2a=3aC.a2»a3=a6D.（a+b）2=a2+b2

考点：同底数基的乘法；合并同类项；完全平方公式.

分析：根据同类项、同底数基的乘法和完全平方公式计算即可.

解答：解：A、2a与3b不能合并，错误；

B、5a-2a=3a,正确；

C、a2*a3=a5,错误；

D、（a+b）2=a2+2ab+b2,错误；

故选B.

点评：此题考查同类项、同底数塞的乘法和完全平方公式，关键是根据法则进行计算.

3.（3分）（2021•连云港）2021年连云港高票当选全国“十大幸福城市"，在江苏十三个省辖

市中居第一位，居民人均可支配收入约18000元，其中“18000"用科学记数法表示为（）

A.0。18xl05B.1。8xlO3C.1。8xl04D.18xlO3

考点：科学记数法一表示较大的数.

分析：科学记数法的表示形式为axl0n的形式，其中他同＜10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成a时-，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

解答：解：将18000用科学记数法表示为1。8xl04.

故选C.

点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中［gal

＜10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.（3分）（2021•连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播"大赛，选拔赛

中每名学生的平均成绩彳及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参

赛，则应选择的学生是（)

甲乙丙丁

X8998

2

S11lo2lo3

A.甲B.乙C.丙D.丁

考点：方差；算术平均数.

分析：从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合

两个方面可选出乙.

解答：解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳

定，

因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙，

故选：B.

点评：此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，

方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差

越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳

定.

5.（3分）（2021•连云港）已知四边形ABCD,下列说法正确的是（）

A.当AD=BC,ABIIDC时，四边形ABCD是平行四边形

B.当AD=BC,AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形

C.当AC=BD,AC平分BD时，四边形ABCD是矩形

D.当AC=BD,AC_LBD时，四边形ABCD是正方形

考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定.

分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、

D不正确.

解答：解：】•一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

A不正确；

・•,两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

B正确；

V对角线互相平分且相等的四边形是矩形，

C不正确；

•••对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，

D不正确；

故选：B.

点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、

矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键.

6.（3分）（2021•连云港）已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的

取值范围是（）

A.k<lB-k>-1Ck<1且kwOD-k>-工且kxO

3333

考点：根的判别式.

专题：计算题.

分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0,即可求出k的范围.

解答：解：；方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，

A=4-12k>0,

解得：k<l

3

故选A.

点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.

7.（3分）（2021•连云港）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3,4）,

顶点C在x轴的负半轴上，函数y=X（x<0）的图象经过顶点B,则k的值为（）

A.-12B.-27C.-32D.-36

考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征.

分析：根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值

即可.

解答：解：C（-3,4）,

OC={§2+4'5，

・•.CB=OC=5,

则点B的横坐标为-3-5=-8,

故B的坐标为：（-8,4）,

将点B的坐标代入y=X得，4=上，

x-8

解得：k=-32.

故选C.

点评：本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是

根据菱形的性质求出点B的坐标.

8.（3分）（2021•连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量

y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）

与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量X一件产品的销售利润，下列

结论错误的是（）

B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等

D.第30天的日销售利润是750元

考点：一次函数的应用.

分析：根据函数图象分别求出设当04区20,一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单

位：天）的函数关系为z=-x+25,当04K24时，设产品日销售量y（单位：件）与

时间t（单位；天）的函数关系为y=2^+100,根据日销售利润=日销售量x一件产品

6

的销售利润，即可进行判断.

解答：解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；

B、设当OstCO,一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关

系为z=kx+b,

把（0,25）,（20,5）代入得：[b=25,

[20k+b=5

解得：色一I,

[b=25

z=-x+25,

当x=10时，y=-10+25=15,

故正确；

C、当04区24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为

y=kit+bi>

%,=100

把（0,100）,（24,200）代入得：，

24ki+b[=200

解得：（1一6,

b^lOO

•.・y=£t+ioo，

6

当t=12时、y=150,z=-12+25=13,

.••第12天的日销售利润为；150x13=1950（元）,第30天的日销售利润为；150x5=750

（元），

750x1950,故C错误;

D、第30天的日销售利润为；150x5=750（元），故正确.

点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式.

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.（3分）（2021•连云港）在数轴上，表示-2的点与原点的距离是2.

考点：数轴.

分析：在数轴上，表示-2的点与原点的距离即是-2的绝对值，是2.

解答：解：-2与原点的距离为：|-2|=2.

点评：注意：距离是一个非负数，求一个数对应的点到原点的距离就是求这个数的绝对值.

10.（3分）（2021•连云港）代数式一L^5E实数范围内有意义，则x的取值范围是x云.

x-3

考点：分式有意义的条件.

分析：根据分母不等于0进行解答即可.

解答：解：要使代数式实数范围内有意义，

X-3

可得：x-3*0,

解得：x/3,

故答案为：x#3

点评：此题考查分式有意义，关键是分母不等于0.

11.（3分）（2021•连云港）已知m+n=mn,则（m-1）（n-1）=1.

考点：整式的混合运算一化简求值.

分析：先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算.

解答：解：（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1,

*.*m+n=mn,

/.（m-l）（n-l）=mn-（m+n）+1=1,

故答案为1.

点评：本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的

运算法则，此题难度不大.

12.（3分）（2021•连云港）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为—

720°.

AF

B'E

D

考点：多边形内角与外角.

分析：根据多边形内角和公式进行计算即可.

解答：解：由内角和公式可得：（6-2）xl80°=720°.

故答案为：720°.

点评：此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n-2）.180°（n>3）

且n为整数）.

13.（3分）（2021•连云港）已知一个函数，当x>0时，函数值y随着x的增大而减小，请

写出这个函数关系式y=-x+2（写出一个即可）.

考点：一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质.

专题：开放型.

分析：写出符合条件的函数关系式即可.

解…解：函数关系式为：y=-x+2,y='，y=-x?+l等；

x

故答案为：y=-x+2

点评：本题考查的是函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一.

14.（3分）（2021•连云港）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4

的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为8rt.

考点：由三视图判断几何体；几何体的展开图.

分析：根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为4,底面圆的直径为4,然后

根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.

解答：解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4,底面圆的直径为4,

所以这个几何体的侧面展开图的面积=工40<4=8几

2

故答案为：8九

点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面

的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了三视图.

15.（3分）（2021•连云港）在4ABC中，AB=4,AC=3,AD是4ABC的角平分线，则4ABD

与ZkACD的面积之比是4：3.

考点：角平分线的性质.

分析：估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与4ACD的AC上的高相等，

估计三角形的面积公式，即可得出^ABD与4ACD的面积之比等于对应边之比.

解答：解：AD是4ABC的角平分线，

设4ABD的边AB上的高与4ACD的AC上的高分别为hi,h2,

hi=h2,

AABD与4ACD的面积之比=AB：AC=4：3,

故答案为4：3.

点评：本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性

质是解题的关键.

16.（3分）（2021♦连云港）如图,在△ABC中，ZBAC=60°,ZABC=90°,直线1111I2II13,

h与12之间距离是1,12与13之间距离是2,且11,12,13分别经过点A,B,C,则边AC的

考点：相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理.

分析：过点B作EFJJ2,交h于E,交13于F,在RtaABC中运用三角函数可得

易证△AEB-△BFC,运用相似三角形的性质可求出FC,然后在RtABFC中运用勾

股定理可求出BC,再在RtAABC中运用三角函数就可求出AC的值.

解答：解：如图，过点B作EFJL12,交11于E,交13于F,如图.

•••ZBAC=60°,NABC=90°,

tanZBAC=型=

AB

直线11II12II13,

/.EF±li,EFJJ3,

・•.ZAEB=ZBFC=90°.

•/ZABC=90°,

・•.ZEAB=90°-ZABE=ZFBC,

△BFC-△AEB>

EBAB_

,.EB=1,FC=A/3.

在RtABFC中，

BC={BF2+FC2=J22+（遥）三"

在RtAABC中，sinzBAC=^=近，

AC2

Ar-2BC_2J?一空直

V3V33

故答案为名②.

3

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定

理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识，构造K型相似是解决本题的关键.

三、解答题

17.（6分）（2021•连云港）计算：q（-3）2+（-|）1-2021°.

考点：实数的运算；零指数累；负整数指数累.

专题：计算题.

分析：原式第一项利用二次根式的性质计算，第二项利用负整数指数幕法则计算，最后一项

利用零指数基法则计算即可得到结果.

解答：解：原式=3+2-1=4.

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.（6分）（2021♦连云港）化简：（1+」_）.m

2一,

"1m+m

考点：分式的混合运算.

专题：计算题.

分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约

分即可得到结果.

解答：解：原式=空2・-----111皿1）----------

nrl-1（nrl-2）（m-2）

_in

m-2

点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

r2x+l>5

19.（6分）（2021•连云港）解不等式组：

x+l〉4(x-2)

考点：解一元一次不等式组.

分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

解咨解:依〉5①

'[x+l>4（x-2）②

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x<3,

所以不等式组的解集是2<xV3.

点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知"同大取较大，同小取较小，小大大小中间

找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键.

20.（8分）（2021•连云港）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得

到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员

工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表和图.

组别个人年消费金额x（元）频数（人数）频率

Ax<2000180o15

B2000<x<4000ab

C4000<x<6000

D6000<x<8000240o20

Ex>8000120o10

合计clo00

根据以上信息回答下列问题：

（1）a=36,b=0o30,c=120.并将条形统计图补充完整；

（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在Q组；

（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数.

42

36

30

24

1S

12

6

0ABCDE

考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；条形统计图；中位数.

分析：（1）首先根据A组的人数和所占的百分比确定c的值，然后确定a和b的值;

（2）根据样本容量和中位数的定义确定中位数的位置即可；

（3）利用样本估计总体即可得到正确的答案.

解答：解：（1）观察频数分布表知：A组有18人，频率为0。15,

二c=18+0。15=120,

a=36,

/.b=36vl20=0o30；

/.C组的频数为120-18-36-24-12=30,

补全统计图为：

（2）共120人，

中位数为第60和第61人的平均数，

中位数应该落在C小组内；

（3）个人旅游年消费金额在6000元以上的人数3000x（0。10+0。20）=900人.

点评：本题考查了统计图的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问

题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.理解平均数、中位数和众数

的概念，并能根据它们的意义解决问题.

21.（10分）（2021•连云港）九（1）班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都

有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为"2","3","3","5","6"的五张牌

背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录两张牌点数后放

回，完成一次抽奖，记每次抽出两张牌点数之差为x,按表格要求确定奖项.

奖项一等奖二等奖三等奖

M=4冈=3l<|x|<3

（1）用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率;

（2）是否每次抽奖都会获奖，为什么？

考点：列表法与树状图法.

分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲同学获得

一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案；

（2）由树状图可得：当两张牌都是2时，冈=0,不会有奖.

解答：解：（1）画树状图得：

第一次

第二^

11341023102332214331

•••共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的有2种情况，

二甲同学获得一等奖的概率为：2°；

2010

（2）不一定，当两张牌都是2时，|x|=0,不会有奖.

点评：此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况

数之比.

22.（10分）（2021•连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点

C落在点F处，DF交AB于点E.

（1）求证；ZEDB=ZEBD；

（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由.

考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质.

分析：（1）由折叠和平行线的性质易证NEDB=NEBD；

（2）AFIIDB；首先证明AE=EF,得出NAFE=NEAF,然后根据三角形内角和与等

式性质可证明NBDE=NAFE,所以AFIIBD.

解答：解：（1）由折叠可知：ZCDB=ZEDB,

V四边形ABCD是平行四边形，

/.DCIIAB,

ZCDB=NEBD,

ZEDB=ZEBD；

（2）AFIIDB；

ZEDB=ZEBD>

DE=BE,

由折叠可知：DC=DF,

・「四边形ABCD是平行四边形，

DC=AB,

/.DF=AB,

AE=EF,

ZEAF=ZEFA,

在ABED中，ZEDB+ZEBD+ZDEB=180°,

/.2ZEDB+ZDEB=180°,

同理，在AAEF中，2NEFA+NAEF=180。，

,/ZDEB=ZAEF,

ZEDB=ZEFA,

...AFIIDB.

点评：本题主要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，运用

三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是解决问题的关键.

23.（10分）（2021•连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，

决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现

在只花费了4800元.

（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续

二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.

考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用.

分析：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据"按

原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元"建立方程，解方程

即可；

（2）设平均每次降价的百分率为y,根据"原定票价经过连续二次降价后降为324元”

建立方程，解方程即可.

解答：解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根

据题意得

6000_4800

xx-80

解得x=400.

经检验，x=400是原方程的根.

答：每张门票的原定票价为400元；

（2）设平均每次降价的百分率为y,根据题意得

400（1-y）2=324,

解得：yi=0o1,y2=l。9（不合题意，舍去）.

答：平均每次降价10%.

点评：本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题

目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

24.（10分）（2021•连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=与x

轴、y轴分别交于A,B两点，P是直线AB上一动点，0P的半径为1.

（1）判断原点O与OP的位置关系，并说明理由；

（2）当。P过点B时，求OP被y轴所截得的劣弧的长；

（3）当OP与x轴相切时，求出切点的坐标.

考点：圆的综合题.__

分析：(1)由直线y=J9-25/ax轴、y轴分别交于A,B两点，可求得点A与点B的

坐标，继而求得NOBA=30。，然后过点O作OHJLAB于点H,利用三角函数可求得

0H的长，继而求得答案；

(2)当OP过点B时，点P在y轴右侧时，易得。P被y轴所截的劣弧所对的圆心

角为：180。-30。-30。=120。，则可求得弧长；同理可求得当0P过点B时，点P在y

轴左侧时，OP被y轴所截得的劣弧的长；

(3)首先求得当。P与x轴相切时，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对

称性可以求得当。P与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标.

解答：解：(1)原点0在OP外.

理由：・.•直线与x轴、y轴分别交于A,B两点，

二点A(2,0),点B(0,-273)>

在RtAOAB中，tanNOBA=^—亚，

0B2733

ZOBA=30°,

如图1,过点。作OHLAB于点H,

在RtAOBH中，OH=OB・sinNOBA=y,

V3>1«

*e•原点O在。P外;

(2)如图2,当OP过点B时，点P在y轴右侧时，

「PB=PC,

ZPCB=ZOBA=30°,

・•・OP被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180。-30。-30。=120。,

...弧长沏120°XJIX1^2K；

1803

同理：当OP过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为：空；

3

.•.当OP过点B时，0P被y轴所截得的劣弧的长为：空；

3

(3)如图3,当0P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D,

在PD_Lx轴，

PDIIy轴，

ZAPD=ZABO=30",

在RtADAP中，AD=DP»lanZDPA=lxtan30°=近,

3

OD=OA-AD=2-亚，

3_

,此时点D的坐标为：（2-亚,0）；

3

当OP与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为:

（2+近,0）；

3

综上可得：当0P与x轴相切时，切点的坐标为：（2-Y3,0）或（2+叵0）.

33

点评：此题属于一次函数的综合题，考查了直线上点的坐标的性质、切线的性质、弧长公式

以及三角函数等知识.注意准确作出辅助线，注意分类讨论思想的应用.

25.（10分）（2021•连云港）如图，在△ABC中，ZABC=900,BC=3,D为AC延长线上

一点，AC=3CD,过点D作DHIIAB,交BC的延长线于点H.

（1）求BD«cosZHBD的值；

（2）若NCBD=NA,求AB的长.

考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形.

分析：（1）首先根据DHIIAB,判断出△ABO△DHC,即可判断出柜夏=3；然后求出

CDCH

BH的值是多少，再根据在RtABHD中，cosNHBD=刃，求出BD・cosNHBD的值

BD

是多少即可.

（2）首先判断出△ABC-△BHD,推得区1；然后根据^ABC-△DHC,推得

HDBH

期望=3,所以AB=3DH；最后根据卫萼生求出DH的值是多少，进而求出AB

DHCDDH4

的值是多少即可.

解答：解：（1）DHIIAB,

・•.ZBHD=ZABC=90°,

△ABO△DHC,

•ACBC=3

/.CH=1,BH=BC+CH,

在RlABHD中，

cosZHBD=—,

BD

BD»cosZHBD=BH=4.

（2）,/ZCBD=ZA,ZABC=ZBHD,

•••△ABO△BHD,

.二空

…而而S'

△ABO△DHC,

AB^C,

DH-CD=-3

AB=3DH,

--.....3...---3-D--H-,

DH4

解得DH=2,

AB=3DH=3x2=6,

即AB的长是6.

点评：（1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要

明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形

对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可

单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件

方可.

（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握.

26.（12分）（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2

的正方形ABCD与边长为2a的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上,

AB与AG在同一直线上.

（1）小明发现DGLBE,请你帮他说明理由.

（2）如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请

你帮他求出此时BE的长.

（3）如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，

交点为H,写出AGHE与ABHD面积之和的最大值，并简要说明理由.

考点：几何变换综合题.

专题：综合题.

分析：(1)由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等,

且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应

角相等得NAGD=ZAEB,如图1所示，延长EB交DG于点H,利用等角的余角相

等得到NDHE=90°,利用垂直的定义即可得DGJ_BE；

(2)由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等,

且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应

边相等得到DG=BE,如图2,过点A作AM_LDG交DG于点M,NAMD=ZAMG=90°,

在直角三角形AMD中，求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长,

进而确定出DG的长，即为BE的长；

(3)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6,理由为：对于△EGH,点H在以EG

为直径的圆上，即当点H与点A重合时，AEGH的高最大；对于△BDH,点H在以

BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的

最大值.

解答：解：(1)・四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

AD=AB,ZDAG=NBAE=90°,AG=AE,

在4ADG^flAABE中，

'AD=AB

,ZDAG=ZBAE-

AG=AE

二△ADG合△ABE(SAS),

ZAGD=ZAEB,

如图1所示，延长EB交DG于点H,

在△ADG中，ZAGD+ZADG=90°,

ZAEB+ZADG=90°,

在AEDH中，ZAEB+ZADG+ZDHE=180°,

ZDHE=90°,

贝DG±BE；

(2)V四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，