2018-2019学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出4个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）（2019春•福田区期末）△ABC中，NA=/8,则△ABC一定是（）

A.锐角三角形B,等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

2.（3分）（2019春•福田区期末）()

A.

3.（3分）（2019春•福田区期末）若x>y,则下列式子中错误的是()

xy

A.x-2>y-2B.x+2>y+2C.-2x>-2yD.->-

22

4.（3分）（2019春•福田区期末）因式分解的正确结果是（)

A.a(J-1)B.a(6?-1)2

C.a(67-1)(a+1)D.a2

（3分）（239春•福田区期末）要使分式詈有意义,则“的取值范围是（）

5.

A.a>4B.a<4C.D.QW-2

x—3

6.（3分）（2019春•福田区期末）不等式组,X<1的解集在数轴上表示正确的是（）

A.-3-2-101B.

D.

7.（3分）（2019春•福田区期末）如图，一个长为2、宽为1的长方形以下面的“姿态”从

直线/的左侧水平平移至右侧（图中的虚线是水平线），其中，平移的距离是（）

45°

8.（3分）（2019春•福田区期末）如图，在。4BCD中，AB=5,分别以A、C为圆心，以大

于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，直线MN交AD于点、E,若△<?£>£的

周长是12,则BC的长为（）

7

°C

A.6B.7C.8D.11

9.（3分）（2019春•福田区期末）如图，直线人的解析式为y=kx+b,直线卜的解析式为y

=r+5,则不等式kx+b<-x+5的解集是（）

K

A.x<3B.x>mC.x>2D.x<2

10.（3分）（2019秋•深水县期末）如图,将RtA/lBC绕点A按顺时针旋转一定角度得到

8△AOE,点B的对应点D恰好落在8C边上.若AC=2y[3,ZB=60°,则CD的长为

（）

V

一::二¥‘侬总

A.1B.V3C.2D.4-V3

11.（3分）（2019春•福田区期末）下列说法正确的是（)

A.五边形的内角和是720°

B.有两边相等的两个直角三角形全等

C.若关于x的方程=二三有增根，则机=1

X-2X-2

D.若关于x的不等式x+5<2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4

12.（3分）（2019春•福田区期末）如图，已知在RtZVWC中，NACB=90°，BO是△ABC

的角平分线，E是AB上一点，且连接E。，作EFJ_BD于尸，连接CF.则下

面的结论：

①CD=CF；

②NEDF=45。；

（3）ZBCF=45°；

④若CD=4,AD=5,则SMOE=10.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13.（3分）（2019春•福田区期末）若"?〃=1,"L〃=2,则的值是.

14.（3分）（2013•咸宁）化简——+——的结果为______.

x-11-x

15.（3分）（2019春•福田区期末）两个实数a,b,规定〃㊉-R?,则不等式2㊉（2x

-1）<1的解集为.

16.（3分）（2019春•福田区期末）如图，已知在RtZXABC中，/AC8=90°,点。是AC

延长线上的一点，4£>=24,点E是8c上一点，BE=10,连接。E,仞、N分别是AB、

DE的中点，则MN=

三、解答题（本题共7小题，其中第17小题7分，第18小题6分，第19小题7分，第20

小题7分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题9分共52分）

17.（7分）（2019春•福田区期末）分解因式：

（1）2x-4.r+2；

（2）（x-y）n9（x-y）.

18.（6分）（2019春•福田区期末）先化简，再求值：（工一一一）+与号，其中a=5.

a-2a2-4az-4

131

19.（7分）（2019春•福田区期末）解方程：--+--=-

2%—14%—22

20.（7分）（2019春•福田区期末）如下图，网格中小正方形的边长是1,长方形ABCQ的

对称中心是坐标原点O,M、N两点的坐标分别为（-6,0）、（-1,3）,点P是线段A8

上的一动点，尸。的延长线交C£＞于点。，连接MP,NQ.

（1）作图：请在图1中作出点N关于点O的中心对称点M,并连接PM.

（2）探究发现：无论点P运动至何处，PN与NQ具有的关系是：

①PM与N。关于点O成中心对称.（填“一定”或“不一定”）

②PM与NQ的数量关系是：.

（3）问题解决：MP+NQ何时获得最小值？请在图2中画出此时P、。的位置，并请你

直接写出这个最小值.

21.(8分)(2019春•福田区期末)如图,E、尸是。A5CD的对角线AC上的两点，且

AC,DFLAC,连接BE、ED、DF、FB.

(1)求证：四边形BEQF为平行四边形;

(2)若BE=4,EF=2,求BO的长.

22.(8分)(2019春•福田区期末)王老师从学校出发，到距学校2000团的某商场去给学生

买奖品，他先步行了800/77后，换骑上了共享单车，到达商场时，全程总共刚好花了

\5min.己知王老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍(转换出行方式时，所需时

间忽略不计).

(1)求王老师步行和骑共享单车的平均速度分别为多少？

(2)买完奖品后，王老师原路返回，为按时上班，路上所花时间最多只剩10分钟，若

王老师仍采取先步行，后换骑共享单车的方式返回，问：他最多可步行多少米？

23.(9分)(2019春•福田区期末)如图1,在△ABC中，AB=AC,是8c上的中线，

AB的垂直平分线MN交AD于点O,连接BO并延长交AC于点E,AHLBE,垂足为H.

(1)求证：△ABD丝△8AH；

(2)若NBAC=30°,AE=2,求BC的长；

(3)如图2,在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,。是AC上的一点，且乙48。=20°,

若BC=6,请你直接写出的长.

图1

2018-2019学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出4个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）（2019春•福田区期末）/XABC中,则△48C一定是（）

A.锐角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【考点】K7：三角形内角和定理.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】根据等腰三角形的定义即可判断.

【解答】解：

△ABC是等腰三角形,

故选：B.

【点评】本题考查角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型.

2.（3分）（2019春•福田区期末）下列图案中，是中心对称图形的是（）

A.

C.

【考点】R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是中心对称图形.故A选项正确;

B、不是中心对称图形.故8选项错误;

C、不是中心对称图形.故C选项错误;

D、不是中心对称图形.故。选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与原图重合.

3.（3分）（2019春•福田区期末）若x>y,则下列式子中错误的是（）

xy

A.x-2>y-2B.x+2>y+2C.-2x>-2yD.—>—

【考点】C2：不等式的性质.

【分析】A：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等

号的方向不变，据此判断即可.

B：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向

不变，据此判断即可.

C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可.

D：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，据此判断即可.

【解答】解：

••x-2>y-2,

・・・选项A正确；

，选项B正确；

:.-2x<-2y,

，选项C不正确；

\'x>y9

.•7,

22

二选项力正确.

故选：C.

【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同

一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不

等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的

式子，不等号的方向不变.

4.（3分）（2019春•福田区期末）因式分解。的正确结果是（）

A.a(«2-1)B.a(a-1)2

C.a(a-1)(«+l)D.cT

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】II：计算题；44：因式分解.

【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=a(a2-1)—a(a+1)(a-1),

故选：C.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键.

5.(3分)(2019春•福田区期末)要使分式士上有意义，则a的取值范围是()

a—4

A.a>4B.a<4C.D.aW-2

【考点】62：分式有意义的条件.

【专题】513：分式.

【分析】根据分式有意义的条件可得a-4W0,再解即可.

【解答】解：由题意得：a-4W0,

解得：aW4,

故选：C.

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分母不能等于零.

X>一3

"的解集在数轴上表示正确的是()

{%<1

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集.

【专题】524：一元一次不等式(组)及应用.

【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可.

X>—3

"的解集是-3«1,

{%<1

在数轴上表示为：-3-2-10,

故选：B.

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示不等式组的解

集是解此题的关键.

7.（3分）（2019春•福田区期末）如图，一个长为2、宽为1的长方形以下面的“姿态”从

直线/的左侧水平平移至右侧（图中的虚线是水平线），其中，平移的距离是（）

A.1B.2C.3D.2V2

【考点】LB：矩形的性质；Q2：平移的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称.

【分析】由平移的性质和等腰直角三角形的性质可求平移的距离.

【解答】解：平移的距离=2+1=3

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，平移的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形

的性质求图形中平移的距离.

8.（3分）（2019春•福田区期末）如图，在。ABCZ）中，AB=5,分别以A、C为圆心，以大

1

于yc的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，直线交AO于点E,若△CQE的

周长是12,则8c的长为（）

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质；N2：作图一基本作图.

【专题】13：作图题.

【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC,则EA=EC,利用等线段代换得到AD+CD

=12,然后根据平行四边形的性质得到CQ=AB=5,从而可得到A£＞的长.

【解答】解：由作法得MN垂直平分AC,

：.EA=EC,

•••△CDE的周长是12,

即EC+ED+CD=12,

：.AE+ED+CD=12,

即AD+CD=\2f

・・•在中，AB=5f

.'.CD=AB=5y

・・・AD+5=12,

：.AD=1,

故选：B.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线）.也考查了平行四边形的性质.

9.（3分）（2019春•福田区期末）如图，直线/i的解析式为y=fcv+b,直线/2的解析式为了

【考点】F5：一次函数的性质；FD：一次函数与一元一次不等式.

【专题】538：用函数的观点看方程（组）或不等式.

【分析】先把交点坐标（m,3）代入y=-x+5,求出山，再根据图象找出直线人位于直

线/2下方的部分对应的自变量的取值范围即可.

【解答】解：•••直线y=-x+5过点（m,3）,

；.3=-m+5,解得，*=2,

直线/i：与直线，2：y=-x+5交于点（2,3）,

二不等式kx+b<-x+5的解集是x<2.

故选：D.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使

一次函数了=丘+人的值大于（或小于）0的自变量X的取值范围；从函数图象的角度看,

就是确定直线丫=区+8在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考

查了一次函数图象上点的坐标特征.

10.（3分）（2019秋•谏水县期末）如图，将Rtz^ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到

「△AQE,点B的对应点。恰好落在BC边上.若AC=2e，NB=60°,则CD的长为

（）

A.1B.V3C.2D.4-V3

【考点】R2：旋转的性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形菱形正方形.

【分析】由直角三角形的性质可得AB=2,8c=248=4,由旋转的性质可得AD=AB,

可证是等边三角形，可得8O=AB=2,即可求解.

【解答】解：：AC=2次，ZB=60°,NBAC=90°

，AB=2,BC=2AB=4,

;□△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtAADE,

：.AD=AB,且NB=60°

...△AOB是等边三角形

.•.B£>=A8=2,

：.CD=BC-BD=4-2=2

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练

运用旋转的性质是本题的关键.

11.（3分）（2019春•福田区期末）下列说法正确的是（）

A.五边形的内角和是720°

B.有两边相等的两个直角三角形全等

C.若关于x的方程一7；=—;有增根，则根=1

D.若关于x的不等式x+5<2”恰有2个正整数解，则〃的最大值是4

【考点】B5：分式方程的增根；C7：一元一次不等式的整数解：KC：直角三角形全等的

判定；L3：多边形内角与外角.

【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式（组）及应用；553：图形的全等；

555：多边形与平行四边形.

【分析】按照选项逐个进行分析得出答案，（1）五边形的内角和为：（5-2）X1800=

540°,因此A不正确，（2）如果相等的两边在同一个三角形中，就不一定全等，说法不

严密，故8不正确；（3）方程有增根，说明增根为x=2,而x=2是方程相=1-x,求得

m=-1,故C不正确；（4）关于x的不等式x+5<2〃的解集为-5,.恰有2个正

整数解，2<2“-5W3,解得：3.5V“W4,a的最大值是4,故。是正确的；

【解答】解：五边形的内角和为：（5-2）X1800=540°,因此A不正确，

如果相等的两边在同一个三角形中，就不一定全等，说法不严密，故B不正确；

方程有增根，说明增根为x=2,而x=2是方程机=1-x,求得加=-1,故C不正确；

关于x的不等式x+5<2a的解集为x<2a-5,•恰有2个正整数解,2V2a-5W3,解得:

3.5V〃W4,。的最大值是4,故£）是正确的；

故选：D.

【点评】考查多边形的内角和、直角三角形全等的判定、分式方程及增根、一元一次不

等式及整数解等知识，考查的知识较多，需要逐个分析判断，最后得出结论.

12.（3分）（2019春•福田区期末）如图，已知在RtzXABC中，ZACB=90Q,BD^/\ABC

的角平分线，E是上一点，且连接E£>,作所_L8。于凡连接CF.则下

面的结论：

①CD=CF；

@ZEDF=45°；

③/BCF=45。；

④若C£>=4,AD=5,则S“DE=10.其中正确结论的个数是（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】KF：角平分线的性质.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】首先证明NEO尸=45°再利用全等三角形的性质以及圆周角定理、角平分线的

性质定理一一判断即可.

【解答】解：・・・AD=A£

，/ADE=/AED,

丁NAED=NABD+/BDE,

：.2ZABD+2ZBDE+ZA=180°,

•「BO平分N43C,

・•・ZABC=2ZABDf

VZACB=90°,

・・・NA+NA3C=90°,

A2ZBDE=90°,

；・NBDE=45°,

：.ZEFD=90°,

：.ZFDE=ZFED=45°，故②正确，

延长所交3C于“，连接

•：NFBE=NFBH,BF=BF,/BFE=/BFH,

:・/\BFE0/\BFH(ASA),

:・EF=FH,•:DF工EH,

:,DE=DH,

：・NDEH=NDHE=45°,

VZDFH+ZDCH=\S00,

・・.O,F,H,。四点共圆，（补充方法：不用四点共圆，可以作FMJ_C。于M,FNLBC

于N,利用全等三角形的性质证明推出FC平分/8CQ即可）

；.NDCF=NDHF=45°,

：.ZFCB=45°,故③正确，

作DM1.ABTM,

平分/ABC,DCLBC,DMLAB,

：.DM=DC=4,

"：AE=AD=5,

1

•'-S^ADE=故④正确，

如果①成立，则NCFB=NAOB,

".'/XBFC^ABDA,

...NA=NBCF=45°,但是题目没有说明三角形ABC为等腰直角三角形，所以①不成

立.，故①错误，

故选：C.

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13.（3分）（2019春•福田区期末）若m"=1,机-〃=2,则-mJ的值是2.

【考点】59：因式分解的应用.

【专题】512：整式.

【分析】首先把"F"-化为，（m-〃），然后把修〃=1,〃1-〃=2代入，求出算式

的值是多少即可.

【解答】解：m-〃=2,

.・•m2n-mn2

=mn（根-〃）

=1X2

=2

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了因式分解的应用，以及代入法求整式的值的应用，要熟练掌握.

第2x

14.（3分）（2013•咸宁）化简——+——的结果为x.

x-11-x

【考点】6B：分式的加减法.

【分析】先把两分式化为同分母的分式，再把分母不变，分子相加减即可.

【解答】解：原式=三一

X—iX—1

,X（X-1）

-x-1

—X.

故答案为：X.

【点评】本题考查的是分式的加减法，即把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，

叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.

15.（3分）（2019春•福田区期末）两个实数a,b,规定。㊉6=4+8-则不等式2㊉（2%

-1）<1的解集为x>l.

【考点】2C：实数的运算；C6：解一元一次不等式.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集即可.

【解答】解：2㊉<2x-1）VI,

2+2x-1-2（2x-1）<1,

2+2x-1-4x+2<l,

-2x<\-2+1-2,

-2x<-2,

x>\,

故答案为：X>1.

【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质进行变形是解此题的关键.

16.（3分）（2019春•福田区期末）如图，已知在RtZ\ABC中，NAC8=90°,点。是AC

延长线上的一点，AO=24,点E是8c上一点，BE=10,连接£>E,M、N分别是A8、

DE的中点，则MN=13.

【考点】KX：三角形中位线定理.

【专题】48：构造法；554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力.

【分析】连接8£）,取80的中点凡连接MF、NF,证明NF、分别是△BCE、AABD

11

的中位线，由三角形中位线定理得出NF〃BE,MF//AD,NF=々BE=5,MF=24。=12,

证出NF_LM凡在RtZ\MN尸中，由勾股定理即可得出答案.

【解答】解：连接80,取8。的中点尸，连接MF、NF,如图所示：

：用、N、F分别是AB、DE、的中点，

:.NF、MF分别是△BDE、ZXABZ）的中位线，

：.NF〃BE,MF//AD,NF=^BE=5,MF=^AD=\2,

'：ZACfi=90°,

：.ADLBC,

".'MF//AD,

J.MFYBC,

,:NF〃BE,

：.NFX.MF,

在RtZ\MN尸中，由勾股定理得：MN=VWF2+MF2=V52+122=13；

故答案为：13.

【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握三

角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

三、解答题(本题共7小题，其中第17小题7分，第18小题6分，第19小题7分，第20

小题7分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题9分共52分)

17.(7分)(2019春•福田区期末)分解因式：

(1)27-4x+2；

(2)(x-y~)3-9(x-y).

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】11：计算题；44：因式分解.

【分析】(1)原式提取2,再利用完全平方公式分解即可；

(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：⑴原式=2(？-2x+l)=2(x-1)2；

(2)原式=(x-y)[(x-y,)2-9]=(x-y)(x-y+3)(x-y-3).

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键.

12"2一?"

18.(6分)(2019春•福田区期末)先化简，再求值：(——-^―)其中“=5.

a-2a2-4

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式

子即可解答本题.

【解答】解：(工--^-)+写学

a-2a2-4仅一4

_Q+2-2(Q+2)(Q—2)

(a+2)(a—2)CL{CL-2)

_a

—a（a—2）

1

=0^2,

当a=5时，原式=E、=4.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

131

19.（7分）（2019春•福田区期末）解方程：——+——=-

2x-l4x-22

【考点】B3：解分式方程.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2+3=2x-l,

移项合并得：2x=6,

解得：x=3,

经检验x=3是分式方程的解.

故原方程的解为x=3.

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转

化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

20.（7分）（2019春•福田区期末）如下图，网格中小正方形的边长是1,长方形ABCQ的

对称中心是坐标原点O,M、N两点的坐标分别为（-6,0）、（-1,3）,点尸是线段A8

上的一动点，尸。的延长线交于点Q,连接MP,NQ.

（1）作图：请在图1中作出点N关于点O的中心对称点并连接PN.

（2）探究发现：无论点P运动至何处，/W与N。具有的关系是：

①PN与N。关于点。一定成中心对称.（填“一定”或“不一定”）

②PN1与NQ的数量关系是：相等.

（3）问题解决：MP+NQ何时获得最小值？请在图2中画出此时P、Q的位置，并请你

直接写出这个最小值.

【考点】RB：几何变换综合题.

【专题】13：作图题；16：压轴题；532：函数及其图像.

【分析】(1)作点N的对称点，即可求解；

(2)由(1)知，图形NNQP与NN'P。是中心对称图形，即可求解；

(3)MP+NQ=PM+PN',当点M、P、N'三点共线时，MP+NQ=PM+PN'最小，即

可求解.

【解答】解：(1)作图如下：

(2)由(1)知，图形NN0P与/W'PQ是中心对称图形，

故①PM与NQ关于点。一定成中心对称.(填“一定”或“不一定”)

②PM与NQ的数量关系是：相等；

故答案为：一定，相等；

(3)MP+NQ=PM+PN'，

当点M、P、N'三点共线时，MP+NQ=PM+PN'最小,

点M、N'的坐标分别为（-6,0）、（1,-3）,

该最小值为J（1++32=V58,

此时点P、。位置如下图所示：

【点评】本题考查的是几何变换的综合运用，涉及到图象的中心对称、图象作图等，其

中（3）,当点M、P、N'三点共线时，MP+NQ=PM+PN'最小，是本题解题的关键.

21.（8分）（2019春•福田区期末）如图，E、尸是。4BCD的对角线4c上的两点，且

AC,DFVAC,连接BE、ED、DF、FB.

（1）求证：四边形BED尸为平行四边形；

（2）若BE=4,EF=2,求8。的长.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质.

【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；555：多边形与平行四边形.

【分析】（1）连接交4c于O,由平行四边形的性质得出O4=OC,OB=OD,AB//

CD,AB=CD,由平行线的性质得出凡证明得出AE=CF,

得出OE=OF,即可得出结论；

（2）由（1）得：OE=OF=*EF=1,由勾股定理得出OB="BE?+g=g,即可

得出结果..

【解答】（1）证明：连接跳）交AC于0,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,AB//CD,AB=CD,

:・/BAE=/DCF,

9：BELAC,DF±AC,

：./AEB=NCFD=90°,

(ZBAE=NDCF

在AABE和△CQF中，^AEB=乙CFD

□B=CD

：./\ABE^/\CDF(AAS),

：.AE=CF,

：.OE=OF,

又；0B=0D,

・・・四边形3EO尸为平行四边形；

(2)解：由(1)得：0E=0F=*EF=l,

\'BE±AC,

：.ZBEO=90Q,

OB=y/BE2+OE2=V42+l2=V17,

:.BD=2OB=2后.

AD

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定

理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

22.（8分）（2019春•福田区期末）王老师从学校出发，到距学校2000%的某商场去给学生

买奖品，他先步行了800/n后，换骑上了共享单车，到达商场时，全程总共刚好花了

\5min.已知王老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍（转换出行方式时，所需时

间忽略不计）.

（1）求王老师步行和骑共享单车的平均速度分别为多少？

（2）买完奖品后，王老师原路返回，为按时上班，路上所花时间最多只剩10分钟，若

王老师仍采取先步行，后换骑共享单车的方式返回，问：他最多可步行多少米？

【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用.

【专题】521：一次方程（组）及应用；522：分式方程及应用.

【分析】（1）设王老师步行的速度为则骑共享单车的平均速度为3xin/min,根

据题意列方程即可得到结论;

（2）设最多可步行a米，根据题意列方程即可得到结论.

【解答】解：（1）设王老师步行的速度为3;/疝”，则骑共享单车的平均速度为3xzn/加〃,

8002000-800

根据题意得,---+-----------=15,

x3x

解得：x=80,

经检验：x=80是原方程的解,

；.3x=240,

答：王老师步行的速度为80曲加〃，则骑共享单车的平均速度为240〃?/〃”"；

（2）设最多可步行。米，

a2000—a

根据题意得，—+——<10,

80240

解得：“W200,

答：他最多可步行200米.

【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的

关键.

23.（9分）（2019春•福田区期末）如图1,在△A8C中，AB=AC,AZ）是BC上的中线，

A3的垂直平分线MN交AQ于点O,连接8。并延长交AC于点E,AHLBE,垂足为H.

（1）求证：/XAB。丝△BAH；

（2）若N8AC=30°,AE=2,求BC的长；

（3）如图2,在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,。是AC上的一点，且/ABZ）=20°,

若5c=6,请你直接写出A。的长.

图1

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；K0：含30度

角的直角三角形.

【专题】15：综合题；552：三角形；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】⑴由等腰三角形的三线合一得A"BC,ZBAD=^BAC,线段的垂直平分

线和等腰三角形得=再加A8公用，可证明△A8H丝△B4。；

(2)由等腰三角形的性质，线段的垂直平分线和三角形的内角和定理得NHBA=15°,

NHAB=75°,根据角的和差得/E4H=45°,在直角三角形中由勾股定理可求出

AH=也,从而得至l」BC=2或；

(3)根据(1)(2)的解题思路和方法，构建等腰三角形的三线合一，三角形全等和勾

股定理可求出A£>=2V3.

【解答】解：(1)如图1所示：

；A8=AC,

.•.△ABC是等腰三角形，

又是BC上的中线，

J.ADLBC,ZBAD=^BAC,

垂直平分线AB,

：.BO=AO,

：.ZHBA=ZDAB,

9：AHLBE,ADLBC,

：.AH=ZADB=90°,

在和△8AO中，

ZHBA=/BAD

AB=AB，

乙H=^ADB

：.(ASA)；

(2)如图1所示：

图1

9：ZBAC=30°,

11

XBAD=^Z.BAC=/30。=15°,

又;•NHBA=NDAB

:.NHBA=15°,

又：NHBA+NHAB=90°,

：.ZHAB=15Q,

又•:ZHAB=ZBAE+ZEAH,

：.ZEAH=45",

在RtZ^AE”中，由勾股定理得：

1AH1=AEL,

又：4£：=2,：.AH=y[2,

：.BD=V2,

又,：BC=2BD,

：.BC=2V2；

(3)过点4作AE_LBC,AH垂直于8。的延长线于点，,

如图2所示:

由（1）可知8E=A”，

"：BC=6,：.AH=3,

又,?ZADH=ZABH+ZBAD,

NABD=20°,/8A£>=40°,

AZADH=60°,

在RtZvlQ”中，由勾股定理得：

ADi=AH1+DFi1,

又；ND4H=30°,

：.AD=2DH,

：.AD^2V3.

【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质，线段的中点，线段垂直平分线的性质，三

角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理和外角的定理，勾股定理等相关知识，重

点掌握三角形的判定方法，难点是作辅助线构建相应的图形求解.

考点卡片

1.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、基的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

2.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

3.因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题.

2、利用因式分解解决证明问题.

3、利用因式分解简化计算问题.

【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用

1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用

解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代

入.

2.用因式分解的方法将式子变形时，根据己知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是

其中的一部分.

4.分式有意义的条件

(1)分式有意义的条件是分母不等于零.

(2)分式无意义的条件是分母等于零.

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号.

（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号.

5.分式的加减法

（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，

经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.

说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是

多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘.

②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为

较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分

式变成分母相同的较复杂的形式.约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的

分式来说的.

6.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

7.二元一次方程组的应用

（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）、设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

8.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

9.分式方程的增根

（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后

分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做

原方程的增根.

（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式

方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条

件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围

扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现

增根.

（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母

是否为0,如果为0,则是增根；如果不是0,则是原分式方程的根.

10.不等式的性质

（1）不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不

变,即：

若a>b,那么a±m>b±/n；

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即:

ab

若q>b,且帆>0,那么加i或一>一；

mm

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

ab

若a>b,且mVO,那么。加〈人"或一V一；

mm

（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不

变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才

改变.

【规律方法】

1.应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一

定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母

是否大于0进行分类讨论.

2.不等式的传递性：若a>b,h>c,则a>c.

11.在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，

若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.

【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为其验证方法可以先将“代入原不等式，则两边相等，其

次在的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.

12.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；

④合并同类项；⑤化系数为1.

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向，其他

都不会改变不等号方向.

注意：符号和“W”分别比