广东省2021年中考数学试题真题(+答案+解析)

广东省2021年中考数学试卷

一、单选题

1.（2021•广东）下列实数中，最大的数是（）

A.7TB.V2C.|-2|D.3

2.（2021•广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设

兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将"51085.8万"用科学记数法表示为（）

A.0.510858x109

B.51.0858x107

C.5.10858x104

D.5.10858X108

3.（2021•广东）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）

4.(2021•广东)已知9m=3,27n=4,则32m+3n=()

A.1B.6C.7D.12

5.(2021•广东)若|a—何+V9a2—12ab+4炉=。，贝ijab=()

7.（2021•广东）如图，AB是。。的直径，点C为圆上一点，AC=3,ZABC的平分线交AC于点。

CD=1,则。。的直径为（）

A.V3B.2>/3C.1D.2

8.（2021•广东）设6-同的整数部分为。，小数部分为b,则（2a+m）b的值是（）

A.6B.2-710C.12D.9aU

9.（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何

学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,记「=亨，则其面积

S=y/p（p-a）（p-b）（p-c）.这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积

的最大值为（）

A.V5B.4C.2V5D.5

10.（2021•广东）设。为坐标原点，点A、B为抛物线y=/上的两个动点，且。4_L。8.连接点4

B,过。作。C1AB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.iB.—C.—D.1

222

二、填空题

11.（2021•广东）二元一次方程组的解为.

12.（2021•广东）把抛物线y=2x2+l向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物

线的解析式为.

13.（2021•广东）如图，等腰直角三角形ABC中，4=90°,BC=4.分别以点8、点C为圆心，线

段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为

2

14.（2021•广东）若一元二次方程x+bx+c=0（b,c为常数）的两根%1，%2满足一3</<-1,1<

x2<3,则符合条件的一个方程为.

15.（2021•广东）若无+二=：且0<%<1,贝11*2一3=.

x6X2--------

16.（2021•广东）如图，在DABCD中，AD=5,AB=12,sin/l=.过点。作DELAB,垂足为E,

17.（2021•广东）在△ABC中，4BC=90°,4B=2,BC=3.点。为平面上一个动点，ZADB=

45°，则线段CD长度的最小值为.

三、解答题

2%-4>3（%—2）

18.（2019・宿迁模拟）解不等式组｛

2

19.（2021・广东）某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法，从该年级全体

600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：

人数*

8

7

6

5

4

3

2

1

---------------------------1—1--------1—1——1—1——1—1——------------►

080859（）9510（）成绩/分

（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；

（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数.

20.（2021•广东）如图，在Rt&ABC中，4=90。，作8C的垂直平分线交AC于点。，延长

AC至点E，使CE=AB.

（1）若4E=1,求AABD的周长；

（2）若,求tan4BC的值.

21.（2021・广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k>0）的图象与x轴、y轴分别交于

A、B两点，且与反比例函数y=；图象的一个交点为P（l,m）.

（1）求m的值；

（2）若PA=2AB,求k的值.

22.（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习

俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购

进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提

高1元时，每天少售出2盒.

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价x元（50<%<65）,y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关

于x的函数解析式并求最大利润.

23.（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为4。的中点.连接BE,将△ABE沿BE

折叠得到4FBE,BF交AC于点G,求CG的长.

I）

24.（2021•广东）如图，在四边形ABCD中，AB“CD,AB*CD,ZABC=90°，点£、F分别在线

段BC、AD上，且EF“CD,AB=AF,CD=DF.

(2)求证：以AD为直径的圆与BC相切；

(3)若EF=2,ZDFE=120°，求AADE的面积.

25.(2021•广东)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(一1,0),且对任意实数x,都有4x-

12<ax2+bx+c<2x2—8x+6.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C；点M是(1)中二次函数图

象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，

求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

【考点】实数大小的比较

【解析】【解答】解：

n~3.14,72=1.414,\-2\=2,

3.14>3>2>1,414

n>3>|-2|>V2

故n最大。

故答案为：A.

【分析】本题考查实数的大小比较，需要记住常用的无理数的近似数，然后排序即可。

2.【答案】D

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：51085.8万=510858000=5.10858x108

故答案为：D.

【分析】考查科学记数法的表示方法，将一个大于10或小于1的整数表示为axl0n（iqa|V10,n为正整

数）的记数法叫做科学记数法。注意其中a的范围和小数点移动的位数。

3.【答案】B

【考点】列表法与树状图法

【解析】【解答】

解：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

同时掷两枚质地均匀的骰子，可能出现的情况共36种，其中点数和为7的次数为6,

故概率为4=7

366

故答案为：B.

【分析】考查概率的计算，可以用列表法将所有可能出现的点数情况列出来，然后计算和为7的情况占总

情况的几分之几即为所求概率。。

4.【答案】D

【考点】同底数幕的乘法，幕的乘方

【解析】【解答】

解：9m=(32)m=32巾=3

27n=(33)n=33n=4

32zn+3n=32mx33n=3X4=12

故答案为：D.

【分析】考查幕的运算公式的逆运用，先将条件和结论的底数统一为3,然后观察结论的式子需要将同底

数幕的乘法公式反向运用，BPam+"=amxan,最后将条件变形整体代入运算即可。

5.【答案】B

【考点】非负数之和为0

【解析】【解答】

W：|a-V3|+V9a2-12ab+4b2=0

|a-V3|+J(3a-2b产=0

•••a-V3=0,且(3a-2b)2=0

••ab=l

故答案为：B.

【分析】考查绝对值与二次根式的非负性问题，当几个非负数相加为0时，这几个非负数只能都为0,所

以令各部分等于0,计算出a与b的值即可。

6.【答案】C

【考点】几何体的展开图

【解析】【解答】

解：根据正方体展开图的四种情况，一四一"、"二三一"

第一个图属于“二三一

第二个图是"三二一"排列顺序不对;

第三个图属于"二二二，

第四个图属于“三三"

所以正确的只有3个。

故答案为：C.

【分析】考查正方体展开图的情况，正方体展开图有"一四一"、"二三一"、"二二二"、"三三"几种情况，而

且要注意排列的顺序，本题中第二个图是"三二一"的排列，顺序出错，故正确的只有三个。

7.【答案】B

【考点】圆的综合题

【解析】【解答】

解：作DE_LAB于点E

c

.4B是。。的直径

AC±BC,ZACB=90°

;BD为NABC的角平分线，DEJ_AB,CD=1

DE=CD=1

AC=3

:.AD=AC-CD=2

在RtAADE中，AD=2,DE=1,

AE=V3,sinAB=：

ZCAB=30",

ZABC=60°,ZABD=ZCBD=30"

A△ABD为等腰三角形

又;DE±AB

E点为AB中点，即E点与。点重合，A0=AE=V3

AB=2AO=2V3

所以O。的直径为2百

故答案为：B.

【分析】本题考查圆周角定理、锐角三角函数值、勾股定理、角平分线的性质的结合运用，先作DE垂直

AB,根据角平分线上的点到角两边的距离相等，确定出点D到AB的距离DE,再在△ADE中通过边的关系

计算出NCAB的度数，从而确定△ABD为等腰三角形，E点与。点重合，计算出AE的长度的2倍即为直径

AB的长度。

8.【答案】A

【考点】估算无理数的大小，代数式求值

【解析】【解答】

解：:Mv汨

•­.3<V10<4

-4<-710<-3

6-4<6-V10<6-3

2<6-V10<3

6-的整数部分a=2,小数部分b=6-V10-2=4-V10

（2a+V10）h=（2x2+V10）（4-V10）=（4+V10）（4-V10）=16-10=6

故答案为：A.

【分析】考查无理数的估算、整数部分与小数部分，先估算出无理数的范围，确定整数部分，再用无理数

减去整数部分，得到小数部分，最后再计算表达式的数值。

9.【答案】C

【考点】二次函数的最值

【解析】【解答】

解：将p=5,c=4代入p=得,a+b=6

代入面积公式S=Jp(p—a)(p-S)(p—c)得

S=j5(5-a)(5-b)(5-4)=J125-25(a+b)+5ab=V-5a2+30a-25

当a=3时，S取得最大值倾=2遮

故答案为：C.

【分析】考查二次函数最值的计算，讲己知条件P与c的值分别代入两个公式，并将面积公式整理可以得

到被开方数为关于a的二次函数，然后求最大值即可。

10.【答案】A

【考点】圆-动点问题

【解析】【解答】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为，，AB与x轴的交点为。,

故答案为：A.

【分析】本题属于隐形圆，先证出点C在以点E为圆心，OD长为半径的圆上，再结合图象可知，当点H

和点E重合时，CH最大，也就是半径。

二、填空题

11.【答案】｛::刍

【考点】解二元一次方程组

【解析】【解答】

解：方法一：加减消元法，

x+2y=-2①

2x+y=2(2)

①x2-②得，3y=-6,

解得y=-2

将y=-2代入②得，x=2

所以原方程组的解为｛一二刍

方法二：代入消元法，

%+2y=-2(D

2%+y=2②

由①得，x=・2-2y③,

将③代入②得，2(22y)+y=2

解得，y=-2

将y=2代入③得，x=2

所以原方程组的解为｛:12

y一一乙

【分析】考查二元一次方程组的解法，本题用代入消元法和加减消元法都可以，按照正确的步骤解出来即

可，最后不要忘记写结论。

12.【答案】y=2x2+4x

【考点】二次函数图象的几何变换

【解析】【解答】解：抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度变为y=2a+1尸+1

再向下平移3个单位长度变为y=2(x+1)2+1-3

整理得y=2x2+4x

故平移后抛物线的解析式为y=2x2+4x

【分析】考查二次函数图象抛物线的平移规律"上加下减，左加右减"，左右移动x变化，左加右减，上下

移动y变化，上加下减，左右移动时x要单独加减，根据题目要求平移并整理成一般式即可。

13.【答案】4-7T

【考点】扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法

【解析】【解答】

解：AABC为等腰直角三角形，NA=90。，BC=4

ZB=ZC=45",BE=CE=2,AB=AC=2或

S阴影=SAABC-S扇形BDE-S扇形CFE=?近x2ax1-竺荷f-竺肃~=4-n

【分析】考查与圆有关的不规则图形面积的计算、扇形面积计算问题，先计算出等腰直角三角形ABC的

面积减去左右两边两个扇形的面积，即可得到阴影部分的面积。

14.【答案】X2-4=0(答案不唯一)

【考点】一元二次方程的根

【解析】【解答】

解：：方程的两根%1，%2满足一3</<一1,1<%2<3,

••.在范围内任选两个值，比如xi=-2,X2=2,

然后代入方程/+bx+c=0得

所以方程可以写为X2-4=0

【分析】考查一元二次方程的根，根据题目两个根的范围，任意选择合适的两个根，代入原方程求出系数

的值，即可写出方程。

15.【答案】号

【考点】代数式求值

【解析】【解答】

'(X+2=.+2+；169

36

,1169r97

..・X2+丁=----2=——

X23636

2297。25

•••(%--)=%-2+4------2=—

\xJX23636

0<X<1

—x>Lx—x—V0

5

6

X2X+65

36

2

【分析】本题考查分式的化简求值问题中的互倒式题型，计算的时候要运用好两个公式（X+=x2+

2++，1_£）2=/_2+2，找到平方和与两部分和差的关系，最后再利用平方差公式计算即

可得到结果。

16.【答案】2

50

【考点】平行四边形的性质，解直角三角形

【解析】【解答】

解：过点B作BF_LCE于点F

-，•DE±AB

___u-,•AOEDE4

在RtAAADE中，smA=—=—=-

AD55

・DE=4ME=V52-42=3

•・•AB=12

・•.BE=AB-AE=9

•・・四边形ABCD为平行四边形，

・•.CD=AB=12,ZDCE=ZBEC,DE±CD

在R3CDE中，CD=12,DE=4

1

.•.tan/DCE=用建

3

tanEC=—=-

EF3

在R3BEF中，设BF=x,那么EF=3x,

/+(34=92解得f

BC=AD=5

9旧,—

smZBCE=—=^=—

BC550

【分析】本题考查平行四边形的性质，三角函数的定义，勾股定理的计算，首先根据问题构造好直角三

角形，然后利用勾股定理计算出AADE与ACDE各边的长度，再利用平行四边形的性质内错角相等以及正

切值相等计算ABEF的各边，找到所求正弦值需要用到的各边，最后求值即可。

17.【答案】V5—V2

【考点】三角形-动点问题

【解析】【解答】如图所示

D

由题意可知：NADB=45。，AB=2,作△ABD的外接圆0,连接OC,当0、D、C三点共线时，CD的值最

小。

ZADB=45",ZAOB=90",，△AOB为等腰直角三角形，，A0=B0=sin45OxAB=V^。

•••ZOBA=45°,ZABC=90°,/.ZOBC=45°,作OE_LBC于点E,，「OBE为等腰直角三角形。

OE=BE=sin45°xOB=l,/.CE=BC-BE=3-1=2,在RtAOCD中，℃力阳+CE2=VFT?=通,当。、

D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=V^—近。

故答案为：V5—y/2

【分析】本题属于隐形圆中的一种题型，先画出草图，再利用圆周角和草图可以将题目转换成圆外一点

到圆上的最短距离求解即可。

三、解答题

18.【答案】解：｛V

由①得：X42；

由②得：x>-1,

则不等式组的解集为-1<XS2.

【考点】解一元一次不等式组

【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.

19.【答案】（1）解：由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90,

由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据

的中位数应该是90,

众数：90,中位数：90,

80x2+85x3+90x8+95x5+100x2小八_

平均数=-----------------------=90.5.

答：这20名学生成绩的众数90,中位数90,和平均数90.5；

（2）解：20名中有8+5+2=15人为优秀，

・・,优秀等级占比：K=：

204

该年级优秀等级学生人数为：600x|=450（人）

4

答：该年级优秀等级学生人数为450人.

【考点】用样本估计总体，分析数据的集中趋势

【解析】【分析】（1）利用众数、中位数和平均数的定义求解即可；

（2）根据条形统计图求出优秀的人数，再除以总人数，最后乘以600即可。

20.【答案】（1）解：如图，连接BD,设BC垂直平分线交BC于点F,

..DF为BC垂直平分线，

BD=CD,

CAABD=AB+AD+BD

=AB+AD+DC=ABAC

AB=CE,

•・C^ABD~“0+CE=AE=1・

(2)解：设4D=x,BD=3x,

又=BD=CD,AC=AD^CD=4x,

在Rt△ABD中，AB=yjBD2-AD2=7(3x)2-x2=2^2x.

tanz^ABC=—==V2.

AB2>f2x

【考点】线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义

【解析】【分析】(1)连接BD,设BC垂直平分线交BC于点F,再根据线段垂直平分线的性质求解即可;

(2)设AD=X,则BD=CD=3x,AC=4x,由勾股定理可表示出AB=2夜x,从而可计算出tan/48C=哼=

21.【答案】(1)解：:P为反比例函数y=:上一点,

二代入得m=^=4,

/.m=4.

(2)解：令y=0,即/ex4-h=0,

x=一士,｛一也。)，

令久=O,y=b,B(0,b),

,/PA=2AB.

由图象得，可分为以下两种情况,

①B在y轴正半轴时，6>0,

•/PA=2AB,

过P作PHLx轴交x轴于点H,又名。1ArH,ZPAXO=ZBrAxO,

△A^OB^sxA^HP,

4遇1At081。1

41P-―~PH―2

B】O=»H=4X；=2,翳=翳=3,

即A1B1=81PMi0=OH,

/.b=2f

A10=OH=1,

|-71=1,k=2.

1k1

②B在y轴负半轴时，bV0,过P作PQ1y轴,

,PQ-LB2Q,A2O_LB2Q,/A2B2O=，

二A2OB2sApQB?,

.A2B2_1_A2O__B2O

~9

-PB2-3~PQ~~B^Q

-hII

A2O=\-\=-PQ=-

B2O=lB2Q=lOQ=\b\=2,

b<0,

•l.b=-2,代入|^|=|

fc=6,

综上，k=2或k=6.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】(1)把P点坐标代入反比例函数解析式即可求得；

(2)分两种情况，通过证得三角形相似，求得B0的长度，进而即可求得k的值。

22.【答案】(1)解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价(a-10)元.

则丁=二^

解得：a=40,经检验a=40是方程的解.

.•・猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元.

答:猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元.

(2)解：由题意得，当x=50时，每天可售100盒.

当猪肉粽每盒售x元时，每天可售［100-2(%-50)］盒.每盒的利润为(x-40)

y=(%-40)-［100-2(x-50)］,

=-2x2+280%-8000

配方得：y=-2(x-70)2+1800

当x=65时，y取最大值为1750元.

y=-2x2+280x-8000(50<%<65),最大利润为1750元.

答：y关于x的函数解析式为y=-2x2+280x-8000(50<x<65),且最大利润为1750元.

【考点】分式方程的实际应用，二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】(1)设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价(a-10)元.根据“某商家用8000元

购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同"列出分式方程，解方程即可；

(2)由题意得，当x=50时，每天可售100盒.当猪肉粽每盒售x元时，每天可售［100-2(x-

50)］盒.列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质即x的

取值范围求利润的最大值即可。

23.【答案】解：延长BF交于H连,

△FBE由AABE沿BE折叠得到，

EA=EF,ZEFB=ZEAB=90°,

E为AD中点，正方形ABCD边长为1,

EA=ED=-,

2

ED=EF=-,

2

,•・四边形ABCD是正方形，

ND=NEFB=NEFH=90°

在Rt△EDH和Rt△EFH中，

[ED=EF

,EH=EH'

・•・Rt△EDH三Rt△EFH(HL),

NDEH=/FEH，

又「NAEB=NFEB,

・•・/DEH+NAEB=90°,

ZABE+NAEB=90°,

・•・/ABE=NDEH,

△DHEAEB,

.PH_AE_1

•・DE~~AB~29

：

.DH=4-,

・13，

•.CH=CD-DH=l-4-=4-

•・,CH\\AB,

・•.△HGC-△BGA,

.CGCH3

AGAB4

3a

.・.CG=(4G=：G4C-CG),

AB=19CB=19ZCBA=90°,

**•AC=>J2,

・•.CG=|(V2-CG),

・•・CG=-V2.

7

【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】根据题意，延长BF交CD于H,连接EH,通过证明Rt△EDH三Rt△EFH(HL),△

HGC-△BG4得至ljCHW,再由AHGCSABGA得到CG=[(a-CG),进而即可求得CG的长。

24.【答案】(1)证明：CD=DF,设/DCF=/DFC=a,

■■■/FDC=180°-2a,

•1,CDIIAB,

ZBAF=180°-(1800-2a)=2a,

又AB=AF,

ZABF=ZAFB=I'。2=%°_a，

2

NCFB=1800-NCFD-ZBFA=1800-a-(900-a)=90",

...CF1BF.

(2)证明：如图，取AD中点O,过点。作0ML8C,

ClI)

BA

,/CDIIAB,ZBCD=90°,

NDCB=90°,

又「OMLBC,

/.OMIIAB,

M为BC中点，

AD=AF+DF,

又•「AF=ABfDF=DC,

AD=AB+CD=2OM,

又AD=2OA,

OA=OM=OD,

二以AD为直径的圆与BC相切.

(3)解：ZDFE=120°,CDIIEFIIAB,

ZCDA=60°,ZBAD=120°,ZAFE=60°,

又DC=DF

△DCF为等边三角形，ZDFC=ZFCD=60°,

CDIIEF,

/CFE=ZFCD=60°，

由(2)得：ZCFB=90°,

NEFB=30°,

ZBFA=ZFBA=30°,

EF=2,在Rt△BFE中，三边之比为1：V3:2，

BE=,=|B,

在Rt△CEF中，三边之比为1：V3:2，

CE=V3EF=2V3，

如图，过点D,点A分别向EF作垂线交EF于点M,N,

/CEM=ZEMD=/ECD=90°,

四边形CDME为矩形，

CE=DM=2>/3，

同理，四边形BENA为矩形，

BE=AN=|百，

11

S^ADE=SAEFD+SAEFA=--EF-DMEF-AN

=i-£T-(D/V+AN