浙江省杭州市西湖区翠苑中学2022-2023学年下学期七年级期中考试数学试卷

浙江省杭州市西湖区翠苑中学2022-2023学年下学期七年级期中考试数学试卷一、选择题。（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中，属于二元一次方程的是（）A． B．xy＝1 C．2x﹣3y＝1 D．x2﹣3y＝52．下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a3•a2＝a6 C．a3÷a＝a2 D．（﹣a3）2＝﹣a63．N95型口罩可阻隔直径为0.000003米的飞沫，用科学记数法可将数0.000003表示为（）A．3×10﹣5 B．0.3×10﹣5 C．3×10﹣6 D．30×10﹣74．如图，∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠55．下列各式从左到右的变形，不是因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+2x+1＝（x+1）26．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠2，∠3分别是∠BAE，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（）A．90° B．180° C．120° D．270°7．下列结论正确的是（）A．两直线被第三条直线所截，同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过一点有且只有一条直线与这条直线平行8．若M＝a2﹣ac+1，N＝ac﹣c2，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N9．已知10a＝20，100b＝50，则2a+4b﹣3的值是（）A．9 B．5 C．3 D．610．如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，（）A．若a＝2b+1，则S＝16 B．若a＝2b+2，则S＝25 C．若S＝25，则a＝2b+3 D．若S＝16，则a＝2b+4二、填空题。（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2+x＝．12．（4分）已知方程2y﹣x＝4，用含x的代数式表示y，则y＝．13．（4分）如图，将△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，EC＝7，则平移的距离为．14．（4分）若a+b＝5，ab＝2，则a2+b2＝．15．（4分）如果（x+m）（x﹣3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为．16．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组，（k为实数）①当x与y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x•4y＝32，则解为k＝3；④若am＝x，an＝y，且a2m﹣n＝1（a≠0），则x＝2或x＝4．以上说法正确的是（填写序号）．三、解答题。（本题有7小题，共66分）17．（6分）解方程组：（1）；（2）．18．（8分）计算：（1）；（2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2．19．（8分）如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求证：DG∥AB；（2）若DG是∠ADC的角平分线，∠ADB＝120°，求∠B的度数．20．（10分）（1）先化简，再求值：[2x（x﹣y）﹣（x+y）（2x﹣y）]÷y+4x，y＝；（2）若b＝2（a﹣），求4a2﹣b2﹣2b+3的值．21．（10分）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元（1）“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？（2）若该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案；（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2），请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．22．（12分）如图1，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图2，点A，B′，折叠后A′M与CN相交于点E．（1）若∠B′NC＝52°，求∠A′MD的度数；（2）设∠B′NC＝α，∠A′MN＝β．①请用含α的代数式表示β；②当MA′恰好平分∠DMN时，求∠A′MD的度数．23．（12分）如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，阴影部分面积分别记为S1，S2．（1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD；（2）若c＝2，且S1＝S2，求2a+2b﹣ab的值；（3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2）是完全平方式．

浙江省杭州市西湖区翠苑中学2022-2023学年下学期七年级期中考试数学试卷参考答案一、选择题。（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中，属于二元一次方程的是（）A． B．xy＝1 C．2x﹣3y＝1 D．x2﹣3y＝5【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．【解答】解：A．是分式方程；B．是二元二次方程；C．符合二元一次方程的定义；D．是二元二次方程．故选：C．【点评】本题考查解二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a3•a2＝a6 C．a3÷a＝a2 D．（﹣a3）2＝﹣a6【分析】分别根据合并同类项、幂的乘方法则、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答．【解答】解：A、由于a3和a3是同类项，可以合并，a6+a3＝2a5，原计算错误，故本选项不符合题意；B、根据同底数幂的乘法法则，指数相加可知a3•a2＝a8，原计算错误，故本选项不符合题意；C、根据同底数幂的除法法则，指数相减可知a3÷a＝a2，原计算正确，故本选项符合题意；D、根据幂的乘方的运算法则底数不变，（﹣a3）2＝a6，原计算错误，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是同底数幂的乘法与除法，合并同类项及幂的乘方的运算法则，熟知以上知识是解答此题的关键．3．N95型口罩可阻隔直径为0.000003米的飞沫，用科学记数法可将数0.000003表示为（）A．3×10﹣5 B．0.3×10﹣5 C．3×10﹣6 D．30×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000003＝3×10﹣3．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．如图，∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．【解答】解，∠1的同位角是∠2．故选：A．【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．5．下列各式从左到右的变形，不是因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+2x+1＝（x+1）2【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解；结合题中所给的等式，运用上述的定义即可求解．【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1），符合因式分解的定义；x4﹣2x﹣1＝（x﹣3）2﹣2，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，则B符合题意；x3﹣1＝（x+1）（x﹣7），符合因式分解的定义；x2+2x+5＝（x+1）2，符合因式分解的定义，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．6．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠2，∠3分别是∠BAE，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（）A．90° B．180° C．120° D．270°【分析】先利用平行线的性质得到∠4+∠5＝180°，然后根据多边形的外角和为360°得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，从而得到∠1+∠2+∠3＝180°．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠4+∠5＝180°，∵∠4+∠2+∠3+∠3+∠5＝360°，∴∠1+∠8+∠3＝180°．故选：B．【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和为（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数），外角和永远为360°．也考查了平行线的性质．7．下列结论正确的是（）A．两直线被第三条直线所截，同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过一点有且只有一条直线与这条直线平行【分析】由平行线的判定与性质以及平行公理分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、两两条平行线被第三条直线所截，故选项A不符合题意；B、同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行；C、平行于同一条直线的两条直线互相平行；D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．8．若M＝a2﹣ac+1，N＝ac﹣c2，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N【分析】根据整式的加减运算法则计算即可．【解答】解：∵M＝a2﹣ac+1，N＝ac﹣c4，∴M﹣N＝a2﹣ac+1﹣ac+c8＝（a﹣c）2+1，∵（a﹣c）4≥0，∴（a﹣c）2+3≥1，∴M＞N，故选：A．【点评】本题考查的是整式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键．9．已知10a＝20，100b＝50，则2a+4b﹣3的值是（）A．9 B．5 C．3 D．6【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．【解答】解：∵10a＝20，100b＝50，∴10a•100b＝20×50，∴10a•102b＝103，∴10a+2b＝103，∴a+2b＝8，∴2a+4b＝7，∴2a+4b﹣8＝6﹣3＝7，故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．10．如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，（）A．若a＝2b+1，则S＝16 B．若a＝2b+2，则S＝25 C．若S＝25，则a＝2b+3 D．若S＝16，则a＝2b+4【分析】正方形的边长是一个含有两个字母的代数式，根据已知条件，变成含一个字母的代数式，根据正方形面积已知，列一元二次方程，通过求根公式求出字母的值，再对选项加以判定．【解答】解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，ab＝2，a＞b＞2，若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+4b＝4b+1，即6b2+b﹣2＝6，解得：b＝（负值不合题意，∴b＝，∴S＝（4b+7）2＝（4×+1）2＝17，∴选项A不正确；若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+8b＝4b+2，即b6+b﹣1＝0，解得：（负值不合题意，∴b＝，∴S＝（2b+2）2＝（3×+2）2＝20，∴选项B不正确；若S＝25，则（a+7b）2＝25，∵a+2b＞7，∴a+2b＝5，∴a＝5﹣2b，∴b（5﹣2b）＝2，即2b7﹣5b+2＝3，解得：b1＝，b2＝2，当b＝时，a＝5﹣8b＝4，2b+5＝4，此时，a＝2b+5；当b＝2时，a﹣5﹣8b＝1，不合题意，∴选项C正确；若S＝16，则（a+2b）5＝16，∵a+2b＞0，∴a+5b＝4，∴a＝4﹣7b，∴b（4﹣2b）＝8，即b2﹣2b+6＝0，解得：b1＝b5＝1，当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，∴a≠7b+4，∴选项D不正确；故选：C．【点评】本题考查的是一元二次方程的几何背景，正确识图、一元二次方程求根公式是关键，二、填空题。（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2+x＝x（x+1）．【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．【解答】解：x2+x＝x（x+1）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，直接观察法是解此类题目的常用的方法．12．（4分）已知方程2y﹣x＝4，用含x的代数式表示y，则y＝．【分析】将x看作已知数求出y即可．【解答】解：∵方程2y﹣x＝4，∴3y＝x+4，∴y＝．故答案为：．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．13．（4分）如图，将△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，EC＝7，则平移的距离为6．【分析】根据平移的性质得到BE＝CF，再利用EF＝EC+CF＝13，然后求出CF的长，从而得到平移的距离．【解答】解：∵△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，∴BE＝CF，∵EF＝13，EC＝7，∴CF＝EF﹣CE＝13﹣7＝7，即平移的距离为6．故答案为6．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．14．（4分）若a+b＝5，ab＝2，则a2+b2＝21．【分析】依据完全平方公式可知a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后代入计算即可．【解答】解a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣4＝21．故答案为：21．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．15．（4分）如果（x+m）（x﹣3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为3．【分析】把式子展开，找到所有x的一次项的所有系数，令其为0，可求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x﹣3）＝x2﹣8x+mx﹣3m＝x2+（m﹣4）x﹣3m，又∵结果中不含x的一次项，∴m﹣3＝4，解得m＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．16．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组，（k为实数）①当x与y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x•4y＝32，则解为k＝3；④若am＝x，an＝y，且a2m﹣n＝1（a≠0），则x＝2或x＝4．以上说法正确的是②③④（填写序号）．【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方和解二元一次方程组等知识点进行计算即可．【解答】解：①当x与y互为相反数时，则x＝﹣y，将其代入二元一次方程组，即，解得：，故①不正确；②由题可知：4x+y+5（x﹣y）＝2k+2（4﹣k），可得：6x﹣y＝8，∴8x﹣y的值与k无关，故②正确；③∵8x•4y＝32，∴73x•26y＝25，∴3x+2y＝5，∴2x+y﹣x+y＝2k﹣4+k，即8x+2y＝3k﹣2，可得；3k﹣4＝7，解得：k＝3，故③正确；④∵am＝x，an＝y，且a2m﹣n＝4（a≠0），∴（am）2÷an＝8，即x2＝y，∴（k≠0），解得：x＝2或x＝2，故④正确，综上，正确的有②③④，故答案为：②③④．【点评】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方和解二元一次方程组，熟练掌握上述知识点是解题的关键．三、解答题。（本题有7小题，共66分）17．（6分）解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可；（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．【解答】解：（1），②代入①，可得：2（y﹣1）+y＝6，解得y＝2，把y＝2代入②，解得x＝7﹣1＝1，∴原方程组的解是．（2），由①，可得：4x﹣3y＝12③，②×4﹣③×2，可得x＝30，把x＝30代入②，可得：3×30﹣2y＝18，解得y＝36，∴原方程组的解是．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．18．（8分）计算：（1）；（2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2．【分析】（1）根据乘方的运算法则得﹣12016＝1，根据零指数幂的运算法则得（π﹣3.14）0＝1，根据负整数指数幂＝﹣8，然后再进行加减运算即可得出答案；先利用平方差公式和完全平方公式得（2x+y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2＝4x2﹣y2﹣（x2﹣4xy+4y2），然后去括号，合并同类项即可得出答案．【解答】解：（1）＝﹣1+1﹣＝﹣1+1+2＝8；（2）（2x+y）（4x﹣y）﹣（x﹣2y）2＝7x2﹣y2﹣（x2﹣4xy+4y6）＝4x2﹣y8﹣x2+4xy﹣7y2）＝3x7+4xy﹣5y8．【点评】此题主要考查了实数的运算，整式的运算，熟练掌握乘方运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则，平方差公式和完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．19．（8分）如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求证：DG∥AB；（2）若DG是∠ADC的角平分线，∠ADB＝120°，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质定理以及判定定理即可解答；（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质定理即可求解．【解答】解：（1）证明：∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°，∵∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠BAD，∴DG∥AB；（2）∵∠ADB＝120°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°，∵DG是∠ADC的角平分线，∴，∵DG∥AB，∴∠B＝∠GDC＝30°．【点评】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．20．（10分）（1）先化简，再求值：[2x（x﹣y）﹣（x+y）（2x﹣y）]÷y+4x，y＝；（2）若b＝2（a﹣），求4a2﹣b2﹣2b+3的值．【分析】（1）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把y的值代入即可；（2）根据等式的性质把已知等式变形，代入所求的式子计算即可．【解答】解：（1）原式＝[2x2﹣8xy﹣（2x2﹣xy+8xy﹣y2）]÷y+4x＝（8x2﹣3xy﹣5x2+xy﹣2xy+y4）÷y+4x＝（﹣4xy+y8）÷y+4x＝﹣4x+y+8x＝y，当x＝2023，y＝时；（2）∵b＝3（a﹣），∴b＝4a﹣1，则原式＝4a4﹣（2a﹣1）4﹣2（2a﹣7）+3＝4a8﹣4a2+7a﹣1﹣4a+2+3＝4．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．21．（10分）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元（1）“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？（2）若该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案；（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2），请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是y元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案；（3）利用总利润＝每只的销售利润×销售数量，可求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是y元，根据题意得：，解得：．答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是80元；（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，根据题意得：150m+80n＝4500，∴m＝30﹣n．又∵m，n均为正整数，∴或或，∴该专卖店共有3种采购方案，方案1：购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具；方案7：购进14只“冰墩墩”毛绒玩具，30只“雪容融”毛绒玩具；方案3：购进6只“冰墩墩”毛绒玩具，45只“雪容融”毛绒玩具；（3）选择方案4可获得的总利润为（200﹣150）×22+（100﹣80）×15＝1400（元）；选择方案2可获得的总利润为（200﹣150）×14+（100﹣80）×30＝1300（元）；选择方案3可获得的总利润为（200﹣150）×8+（100﹣80）×45＝1200（元）．∵1400＞1300＞1200，∴当购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具时，最大利润是1400元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或