2年中考1年模拟2018年中考数学第四篇图形的性质19全等三角形（含解析）

第四篇图形的性质

专题19全等三角形

b解读考点

知识点名师点晴

全等图形理解全等图形的定义，会识别全等图形

全等三

理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS.ASA.AAS,

全等三角形的判定

角形并会判定两个三角形全等

直角三角形的判定会利用应判定两个三角形全等

角平分角平分线的性质理解并掌握角平分线的性质

线角平分线的判定利用角平分线的判定解决有关的实际问题

A2年中考

【2017年题组】

一、选择题

1.（2017枣庄）如图，在欣中，/e90°,以顶点/为圆心，适当长为半径画弧，分别交/C,49于

点、M,N,再分别以点也，及为圆心，大于2肠y的长为半径画弧，两弧交于点只作射线/一交边小于点A

2

若3=4,4后15,则△/做的面积是（）

A.15B.30C.45D.60

【答案】B.

【解析】

试题分析：由题意得力一是/%C的平分线，过点〃作皿46于2又：/华加。，...小绥.•.△加的面

积=工4./斤'X15X4=30.

22

故选B.

考点：角平分线的性质.

2.（2017山东省威海市）如图，在加版中，/的6的平分线交切于点£,交回的延长线于点G,AABC

的平分线交切于点尸，交力〃的延长线于点〃，4G与交于点0,连接应下列结论错误的是（）

AB

A.BO-OHB.DF^CEC.DH=CGD.AB=AE

【答案】D.

【解析】

试题分析：•••四边形H5co是平行四边形，/XBC,.•./H=NHSG,-：ZHBG=ZHBA,Z.Z

H=4HBA,：.AH=AB,同理可证.JH=BG,\'AD=BC,：.DH=CG,故③正确，•，取”，40AH=

Z.OAB,：.OH=OB,故①正确，•:DFHAS,；.4DFH="H,,：4H=ZABH,：.4H=Z_DFH,：.DF=DH,

同理可证EOCG,'：DH=CG,J.DF=CE,故②正确，无法证明TEWB,故选D.

考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质.

3.（2017浙江省宁波市）如图，四边形4瓦力是边长为6的正方形，点£在边46上，止4,过点£作厮〃

BC,分别交加，CD于G,夕两点.若也N分别是“W的中点，贝hMV的长为（）

A.3B.273C.V13D.4

【答案】C.

【解析】

试题分析：连接尸MEMCM,•.•四边形W3C。为正方形，.•.NdBaNBGXNzJDagO。，BOCD,­：

EFHBC,：.^GFD=ABCD=9Q°,EF=3C,：.EF=BC=DC,'：Z3DC=^^DC=45°，,2\G尸D是等腰直

角三角形，是DG的中点，。尸AmU.fG,FA/1DG,「.NGE宙NCDVM5°，:Z\04C\!D»

:.E\f=C\I,过二作M71CD于H,由勾股定理得：BD=56：+6：=60,24+6，=2而,VZ

E5G=45。，「.△EBG是等腰直角三角形，...EG=SE=』，.丁的』点，庐0,.F年「.C争6

-1=5,*Jf+5」=后,•.,=：=£.£+（:”,二/瓦1©9。°,•.“》是EC的中点，/.

WXWIEO相；故选C.

7

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰直角三角形：3.正方形的性质.

4.（2017湖北省鄂州市）如图四边形46切中，AD//J3C,/BCSAB=BC+AD,/力用45°,E为CD上

一点，且/刃尺45°.若第=4,则△/跖的面积为（）

AD

2450

Bn.—D.—

77

【答案】D.

【解析】

试题分析：如图取CD的中点尸,连接BF延长3F交AD的延长线于G,作FHL1B于H,EK1JB于K.作

BT1ADTT.\'BCllAG,：.ZBCF=ZFDG,,：^BFC=ADFG,FODF,：.ABCF^AGDF,：.BC=DG,

BF=FG,W-1B=BC+AD,AG=AI>^DG=A^3C,：.A3=AG,\'BF=FG,：.BF1BG,乙士BF=/G=/CBF,•:

FH[BA,FC1BC,：.FH=FC,易证>-D>；.BOBH,AD3B,由嚼ND=DO4,

设BOTD=BH=x,在R△铝「中，・二厂+XN,「.(.v+4)-=4:+(4-x)/.x=l,：.BOBH=TD=\,

.45=5,设AK=EK=y,DE=z,\\4E-=AK?+E^=AI>+DE-,BE：=B%+KE：=BC+EC,.•.平+二千二①,(5-i)-+)-=l-+

->0I*>0々0

(4-z)：②，由①②可得产?，.•.5_<£广：><5><?=]，故选D.

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的面积.

5.（2017黑龙江省龙东地区）如图，在边长为4的正方形4%为中，E、尸是"边上的两个动点，且力后外,

连接BE、CF、BD,6F与9交于点G,连接4G交回于点〃，连接的下列结论正确的个数是（）

①AABGs丛FDG②用?平分/£以？③AGLBE④&械：以"tanADAG⑤线段小的最小值是2加-2.

C.4D.5

【答案】C.

【解析】

试题分析：•.•四边形/BCD是正方形，.」界。，NR』D=ZJDC=90°,乙&DB=/CDB=45°,在4ABE

和ADCF中，\'AB=CD,NA4Z>=Z/1Z）C,.4£=。尸，.♦.AJ3&APC尸（$”），:.乙4BE=“CF,在A』DG

和ACDG中，'：AD=CD,乙ADBNCDB,DG=DG-D-&CDGqSAS）,J.^DAO^DCF,/.Z

ABE=ZDAG,•.•/DHG*NR好90°,：2BAE+/BAH=9Q°,:.乙4HB=9Q°,：.AG1BE,故③正确，

同法可证：-GB/4CGB,DFIICB,：.小CB-DG,：.AABNNDG,故①正确，,:SAG：S

^HBG-DG：BG=DF：BC=DF：CD=ianZ_FCD,又:/DNG=NFCD,;.S_JSDG：S^HBQ-ianZ_FCD,tanZ_DAG,

故④正确

取4?的中点0,连接OD、加•.•正方形的边长为4,法4X4=2,由勾股定理得，01黄4?+*=275,

2

由三角形的三边关系得，0、D、〃三点共线时，ZW最小，阳极卜=20-2.

无法证明加平分/夕伤，故②错误，故①③④⑤正确，故选C.

（2）题图

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.正方形的性质；4.解直角三角形;

5.最值问题.

二、填空题

6.（2017湖南省娄底市）如图，在.Rt丛ABC与RtADCB中,已知/4=/。90°,请你添加一个条件（不添

加字母和辅助线），使贬△46屋灯△比况你添加的条件是.

B

【答案】NB=DC.

【解析】

试题分析：•••斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，...在无与&中，已知44=/

A90。，使Rr2k£3C^rADC3,添加的条件是：AB=DC.故答案为：A5=DC.

考点：1.直角三角形全等的判定；2.探究型.

7.（2017湖南省娄底市）如图，在等腰放况1中，乙4除90°,力庐上2,点。为4c的中点，点6,尸分

别是线段46,8上的动点，且户90°,若初的长为处则△麻尸的周长是（用含卬的代数式表

示）

B

【答案】（行册2）.

【解析】

试题分析：如图，连接弧在等腰应△48C中，点〃是/C的中点，...劭，〃；...被M介微NDBONA=45°,

/ADB=9Q°,,:/ED六90°,:.NAD拄NBDF,在△/应1和△物;'中，VZJ=ZW,AD-BD,NAD斤NBDF,

:.△ADE^/XBDFqAS4,：.AE=BF,DE=DF,在.Rt丛DEF中,Df^DE=m,:.E六五DE=C.m,△废尸的周长

为筋明上班打眉■止力侪止2+应加，故答案为：（0如'2）.

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰直角三角形；3.动点型.

8.（2017湖南省湘潭市）如图，在灯△/回中，Z^90°,BD平明■NABC交.AC干点、D,Z均垂直平分

垂足为£点，请任意写出一组相等的线段.

【答案】B后必（答案不唯一：BOBE=EA,BD=DA）.

【解析】

试题分析：：应1垂直平分/瓦.*.止劭，故答案为：B斤劭（答案不唯一：B信止£4,BADA）.

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.角平分线的性质；3.开放型.

9.（2017内蒙古包头市）如图，在△/外与①中，A庐AC,AD-AE,/BAONDAE,且点。在4?上，点E

与点。在43的两侧，连接％CD,点M"分别是“切的中点，连接物YAM,AN.

下列结论：①△/G侬△//阳②丛ABCs丛AMN；③是等边三角形；④若点〃是脑的中点，贝U

△鹿・

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②④.

【解析】

试题分析：①在和5m中，,:q.WB,ABAOZD.-1E,AD=.-lE,/.△.-JCZ^A.15Z（£45）,所以

①正确；

②二ZCD^ABE,：.CD=BE,N_\C；NJ3」，又O,一丫分别为5E,CD的中点，在△JUV

和中，"：AC=.4B,Z.4C\=Z-45.'./,C-：/..-1AK4.V/,NC4AN5WM,/.Z

5JOZ-U4.V,:/声/仁.•.ZzJC^ZzLSC,「.Z•二CN"£V,...A♦3AzLUV,所以②正确；

③：434”,.•.△川仲为等腰三角形，所以③不正确；

@l\ACN=.:.SAACFSAMI,\,点1/、N分别是应"、G9的中点，；.5MOF2WUC”S^.igr:2S^Am:.S&K沪S

4*E,；〃是46的中点，；.2sl械＞所以④正确；

本题正确的结论有：①②④；故答案为：①②④.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质：3.等边三角形的判定与性质.

10.（2017四川省南充市）如图，正方形48缪和正方形御；边长分别为a和8,正方形仔。绕点C旋转，

给出下列结论：①B芹DG；②BELDG；@DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论是（填序号）

【答案】①②③.

【解析】

试题分析:设交于。,；四边形.q58和三可。都为正方形,，800。,底=。3,/58=/4第90°,

/.Z5C£+Z^C£=Z£CG*ZPCF=90°+/DCE,即/5CE=/DCG,在A3C£■和ADCG中，\'BC=DC,Z

BCE=ADCG,CE=CG,S.ASCE^ADCG(SAS),：.BE=DG,/.Z1=Z2,•.•/1+/4=/3+/1=90°,/.

0

Z2+Z3=90°,/.Z50090,：.BE1DG)故①®正确；

连接BD,EG,如图所示，DAB6=B6=BC+B=NW,EO^+O^E^CG^+CE^b-,则

BG+DE^DAB(y+E(y+OG^=2a2+b-,故③正确.

故答案为：①②③.

考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.正方形的性质.

11.（2017湖北省十堰市）如图，正方形/阳9中，BE=EF^FC,CG=2GD,EG分别交4£,AF于M,N.下列结

4BM3I

论：①AKL8G；②B2士NF；③°=巳；®SCGNF-S其中正确的结论的序号是_____.

3MG82

DG

【答案】①③.

【解析】

试题分析：①•四边形'38为正方形，.=J=3O8,二5三=WF=FC,CO1GD,：.BF=CG,在A=3F和

△5CG中，,.FB=5C,Z.43.^Z3CG=9：j0,3"=CG,：.^3F^ABCG,"BAF="BG,'：^BAF+

乙3日=9。°,.,./C8G+/5E4=90°,即X.UBGj①正确I

Dy8c3

②在as△尸和ABCG中，•.•/C3G=/.'；5.L/3CG=-3F=<*,：./\B\T^3CG,：.—=—=-,

XT7m，

/.5.\=-.\F;②错误;

③作EHVAF,令AB=3,则游2,BE=EF^CF^\,AF=yjAB2+BF2=V13,*：S△诙=AF・=AB・BF,：.

6V1324而9V13O/pl

册-----，上一BN^——,：.A^AF-/2----------是跖中点，.•.夕/是△班V'的中位线，.•.册△—,

133131313

除汉比，BN//EH,._11V13AN_MN,解得:好喑,

••nrF2------------MG=BG-

1313~AH~~EH11

8713BM3

—,二——-；③正确;

11MG8

7j13i1ij27

④连接4G,FG,根据③中结论，则八徒6G-BN^-----,,二S四边形m尸见面什加公产一CG・CF+—NF，NG^\+---，

13221313

=

S四边形心切=Su田加=—AMGN^—AD*DG^---1——，.*•S四边形的属一S四边形A\侬，④错误；

22132262

故答案为：①③.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.正方形的性质；4.综合题.

12.（2017湖北省武汉市）如图，在中，/庐力信26，/加俏120°，点〃、£都在边比1上，NDAE=60°.若

BA2CE,则膜的长为

【答案】3百一3.

【解析】

试题分析：将绕点H逆时针旋转120°得到ZUCF,连接EF,过点E作及W1CF于点过点工

作AV15C于点.V,如图所示.

'：AB=AC=2^3,ZBJ01200,/.5.\=CV,N8=N4C3=30°.

在Rr△屏LV中，NB=30°,AB=2出,.*.WV=g」5=J5,RV=，®-处*=3,^sc=6,

•：Z&1<=120°,Z04^60°,:.NBA丹NCA拄6Q°,AZFAE=ZFA&ZCA^ZBAIhZCAl^60a.

在△/应1和1中，"：AD-AF,NDA/NFA斤60°,AE=AE,：./\ADE^/\AFE(S45),：.DE=FE.

"：BD=1CE,BD=CF,ZACf^ZB=3O°,.•.设上2人则EM=gx,项Mx-尸3x,止&>6-6x.

o_/o

在RtAEFM中，FE=6-6x,F拒3x,EM=下>x,：.E^=F#+EKh即(6-6x>=(3尤>+(也尤了，解得：A~r~~

2

x4避（不合题意，舍去），，修6-6尸36一3.故答案为：36—3.

2

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.翻折变换（折叠问题）；4.旋转的性质.

三、解答题

13.（2017四川省泸州市）如图，点4、F、a。在同一条直线上，已知A六DC,2归ND,BC//EF,求证:

A庐鹿.

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析：欲证明."=DE,只要证明人二gADEF即可.

试题解析：..F4CD,，N4C3=NDFM在A45C和△£>£?中，,."ZJ=ND,/ODE,

乙&CB=4DFE,:.△ABgJSEF（AS.4）,:.AB=DE.

考点：全等三角形的判定与性质..

14.（2017内蒙古呼和浩特市）如图，等腰三角形/比'中，BD,四分别是两腰上的中线.

（1）求证：3D=CE；

（2）设劭与磁相交于点。，点M,N分别为线段加和如的中点，当的重心到顶点4的距离与底边

长相等时，判断四边形龙:斜的形状，无需说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形巫;脚是正方形.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件得到/方/£,根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据三角形中位线的性质得到皮〃6C,ED=-BC,MN//BC,BC,等量代换得到功〃机MED=MN,

22

推出四边形被恸是平行四边形，由（1）知BD=CE,求得〃生£?V；得到四边形切丽/是矩形，根据全等三角

形的性质得到0除0C,由三角形的重心的性质得到。到区的距离」密根据直角三角形的判定得到BDV

2

CE,于是得到结论.

试题解析：（1）解：由题意得，AB=AC,'：BD,您分别是两腰上的中线，.！4GAE=-AB,：.AD=AE,

22

在曲和△［四中，,:止AC,ZA=ZA,AD=AE,：./\ACE（ASA）,:.B氏CE；

（2）四边形颂V是正方形，证明：,:E、〃分别是力氏4c的中点，代,46,AI>-AC,勿是△46C的

22

中位线，.•.Q〃6C,ED=-BC,I•点,V、/V分别为线段60和C。中点，二2游6”,好0V,,恻是△觥■的中位

2

黑：.MN〃BC,胖、BC,：.ED〃MN,以左胸；...四边形&M例是平行四边形，由（1）知做=四，又'：OE=ON,

2

OD-OM,OM-BM,O^CN,:.D拒EN,.•.四边形后见渺是矩形，在△吠与△侬中，"：BE-CD,C扶BD,BOCB,

:.XBDC^XCEB,：.ABCE=ACBD,：.OB=OC,况■的重心到顶点力的距离与底边长相等，.•.0至|玄的

距离.♦.ELL应，.•.四边形的肿是正方形.

2

MN

BC

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性质.

15.(2017江苏省常州市)如图，已知在四边形4切力中，点V在/。上，NBCB=NACA90：ZBAOZD,

BOCE.

(1)求证：\OCD-,

(2)若A俏AE,求/班C的度数.

【答案】(1)证明见解析；(2)112.5°.

【解析】

试题分析：(I)根据同角的余角相等可得到/3=/5,结合条件可得到Nl=/D,再加上BOCE,可证得结

论；

(2)根据aWCD=90°,/OCD,得到N2=ND=45°,根据等腰三角形的性质得到N4=/6=67.5°,由平

角的定义得到NDE。180。-Z6=112.5°.

试题解析：♦.♦/68/力今90°,；./3+/4=/4+/5,；./3=N5,在中，N467>90°,；./2+/方90°,

胡氏Nl+N2=90°,；.N1=ND,在△46C和△戚中，VZ1=ZAN3=/5,BOCE,:.△ABC^XDEC

(/粉，:.AC=CD；

(2)VZJCS=90°,AC=CD,AZ2=ZZ>=45O,'：AE=AC,AZ4=Z6=67.5°,鹿△180°-Z6=112.5°.

考点：全等三角形的判定与性质.

16.(2017湖北省荆门市)已知：如图，在/中，/力妙90°,点。是四的中点，点£是办的中点,

过点。作ZW/8叫4?的延长线于点F.

(1)求证：XAD曜l\FCE；

（2）若/比片120°,D序2,求比的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE,再由NBIICF可知.火NzlFC,根据A4S定理可

得出四△FCE,

（2）根据直角三角形的性质可得出一"）=8=匕瓦再由ABIICF可知NBDO180。-NDCFM80。-

120。=60。，由三角形外角的性质可得出NDXC=/J6：N5Da30°,进而可得出结论.

试题解析：（1）证明：...点E是CD的中点，二。£==.

■：A3llCF,；.ABAF=^4FC.

在1与中，'：ZBA/^ZAFC,ZAED-AFEC,D^CE,匡△凡若（加IS）；

（2）解：由（1）得，CD=2DE,,:D序2,：.CD=4.

•点〃为48的中点，AACB-W,，4?=2必=8,AD-CD--AB.

2

•：AB//CF,，N切£180°-N〃C7M80°-120°=60°,：.ADAOAACD--ABDO-X60°=30°,，

22

BC-LX8=4.

22

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.直角三角形斜边上的中线.

17.（2017重庆）在△48C中，乙仍沪45°,AMLBM,垂足为机点C是倒/延长线上一点，连接力C

（1）如图1,若AB=36，BC=5,求47的长；

（2）如图2,点〃是线段4y上一点，朗％灰；点£是4/及7外一点，EOAC,连接切并延长交回于点凡

且点尸是线段比,的中点，求证：NBD广匕CEF.

E

【答案】（1）V13；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：3）先由也小史，仁州8*5。=3可得仃伫2,再由勾股定理可得TC的长；

（2）延长吁到点G,使得尸G=EF,证AS，彳A-/C得一4CBD,再证可得5G=CE,Z

G=Z£,从而得3ABecE,即可得/3DG=NG=NE.

试题解析：（1）:乙二-任右。，.—91史./,一―侬史°=3V：X—=3,则CTU3C-5£5-2=2,

.\AC=y/^f2+CM2=4+3?=屈;

（2）延长〃到点G,使得FG=EF,连接BG.

由。忙MC,ABMD=ZAMC,B的AM,△砌屋依（05）,：.AC=BD,又上AC,因此盼龙，由止乙Z

BFG=Z.EFC,FG=FE,:.XBF摩/\CFE,椒BG=CE,NRN£,所以B>BG=CE,因此/敬方/e/£.

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.

18.（2017重庆8）如图，△/8C中，ZJG?=90o,4工%；点£是4C上一点，连接弧

（1）如图1,若4反4挺,除5,求丝的长；

（2）如图2,点〃是线段秋延长线上一点，过点［作于点E连接切、CF,当月后的时，求证:

DC=BC.

试题分析：（1冲艮据等腰直角三角形的性质得到工。3。4."=4,根据勾股定理得到CE==3,

于是得到结论J

（2）根据等腰直角三角形的性质得到/C4B=45。，由于乙4尸炉4C3=90。，推出/,F,C,B四点共圆,

根据圆周角定理得到NCF3=NC==45。，求得ND尸£上/4尸。435。，根据全等三角形的性质即可得到结

论.

拒__________

试题解析：（1）'：AACB-W,AOBC,：.AOBO—V^5,：.C^\lBE2-BC2=3,.\z!f=4-3=1；

2

（2）VZAC3=90°,AC=BC,：.^CAB=45°,'：AFLBD,:.NAFB=NACB=9Q°,：.A,F,C,6四点共圆，

：.ACFB=ACAB=^°,：.£DF（=£AF（=\^,在与△呼中，"：AF=DF,AAFC=ADFC,CF^CF,

ACF94DCF,：.CD-AC,"：AOBC,：.AC=BC.

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.

19.（2017北京市）在等腰直角中，ZACB=W°,尸是线段灯?上一动点（与点反。不重合），连接

AP,延长比■至点0,使得我=",过点0作烈1_"于点儿交加?于点也

（1）若N为俏a,求N4%的大小（用含a的式子表示）.

（2）用等式表示线段，监与网之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴N4图=45°+a；(2)PQ=6MB.

【解析】

试题分析：(D由等腰直角三角形的性质得出/3XCNB75。，NR4=45。-a,由直角三角形的性质即

可得出结论J

(2)连接d。，作A£J_Q5,由£必证明A」PCSZk2怎，得出A的是等腰直角三角形，由

等腰直角三角形的性质即可得出结论.

试题解析：(1)N4/@=45°+a；理由如下：

VAPAOa,△4方是等腰直角三角形，AZfi4C^Z5=45°,/为庐45°-a,•:QH1AP,:.N川昨90°,

...24吐180°-ZAHM-ZPAB=450+a；

(2)监；理由如下：

连接40,作，监工/，如图所示：

'：ACLQP,C牛CP,：.ZQAC=ZPAC=a,二沪45°+a=N4媳，J.AP-AQ-QM,在△4PC和△QJffi'中，VZ

MQE-APAC,AAC^zLQEM,AF^QM,：./\APC^/\QME(71AS),:.POME,，△4庞是等腰直角三角形，，

-PQ--MB,:.P牛五MB.

22

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰直角三角形；3.探究型；4.动点型.

20.（2017四川省广安市）如图，四边形切是正方形，E、尸分别是了48、4,上的一点，且叫U龙，垂

足为G,求证：A2BE.

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析：直接利用已知得出N5CE=/♦F,进而利用全等三角形的判定与性质得出/尸=BE.

试题解析：•••四边形且BCD是正方形，Z.4=ZC55=906,-：BF1CE,：.ZBCE+ZCBG=90°,

,.•NzLBF+NC3G=90°,；2BCE=43F,在ZkSCE和△与F中，：/5C£=乙L5F,BOAB,2CBE=ZA,

:.ABC区&ABF（AS.4）,：.BE=AF.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质.

21.（2017四川省成都市）问题背景：如图1,等腰△力6c中，AB=AC,N为0120°,做ALLLBC于点、D,则

〃为8c的中点，NBA斤上NBAO60°,于是变=竺2=6；

2ABAB

迁移应用：如图2,△力比'和△力龙"都是等腰三角形，NBAO/ADE=120°,D,E,6•三点在同一条直线上，

连接弧

①求证：XAD心XAEC：

②请直接写出线段加，BD,切之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3,在菱形中，ZAB（=120a,在内作射线倒/,作点C关于5"的对称点发连

接并延长交身/于点R连接出CF.

①证明△戚是等边三角形；

②若4尺5,C序2,求防的长.

【答案】迁移应用：①证明见解析；②。拒A/BD；拓展延伸：①证明见解析；②3G.

【解析】

试题分析：迁移应用：①如图②中，只要证明即可根据解决问题；

②结论：CD=y/3ALH-BD.由“US丝可知5D=CE,在刀”中，DH=AD-cos3^=—AD,

SAD=AE,AH1DE,推出DH=HE,由CADE+EO1DH+BA相RABD,即可解决问题：

拓展延伸：①如图3中，作5Hl£于凡颉站.BOBE=BD=3A,FE=FC,推出d、D、E、C四点、

共圆，推出乙4口04」£0=120。，推出/尸EO6。。，推出△EFC是等边三角形；

HF

②由TE=5,EOEF=1,推出上中HE=：.E,F田在2:八5巨中，由/比F=30°,可得一=555300,

BF

由此即可解决问题.

试题解析：迁移应用：①证明：如图②

,：ZBA(=ZADB=120°,：.ADAB=ACAE,在△的£1和「中，DA=EA,ADAB-Z.EAC,AB-AC,:*XDA监

△EAC；

②解：结论：CD=/A肚BD.

'：/\DAB^/\EAC,：.BD-CE,在Rt/\ADH中,DI=A»co史G=—AD,'：AD-AE,MLDE,：.DU-HE,：

2

CD-DE+E(=2DlhBD=百AABD.

拓展延伸：①证明：如图3中，作BH_LAE于H,连接质

•.•四边形4a》是菱形，N/陷120°,:.XABD,笫是等边三角形，：.BA=BD-BC,,:E、C关于对称，

:.BeBE=BD-BA,晔FC,."、D、E、C四点共圆，：.ZA£）（=ZA^120°,：.ZFEC-60°,.•.△£7守是等边

HF

三角形，②解：；45=5,EC=EA2,：.A由HE=2.5,FH=4.5,在应△即中，：N班后30°,——=cos30°,

BF

,BF==3G.

V3

T

考点：1.三角形综合题；2.全等三角形的判定与性质；3.探究型；4.变式探究；5.和差倍分；6.压

轴题.

22.（2017湖北省随州市）如图，在放中，/e90°,小比，点。在48上,经过点/的。。与8c

相切于点〃，交46于点£.

（1）求证：A〃平分/胡C；

（2）若61,求图中阴影部分的面积（结果保留n）.

JT

【答案】（1）证明见解析；（2）1--.

4

【解析】

试题分析：3）连接DE,OD.利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明Nnwa

ZC4D,进而得出结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到,由3C相切。。于点。，得到/。刃=90。，求得OABD,

乙88=45°,设BD=x,则8=。==.,。3=0,根据勾股定理得到5Ag0,于是得到结论.

试题解析：（1）证明：连接班；OD.

相切。0于点〃:.NCDA=4AED,为直径，:"ADE=9Q°,•:AC1BC,：.ZACD=90Q,AZDAO=

/CAD,；.助平分/胡C；

(2)；在灯△相，中，Z^90°,AC=BC,：.AB=^BAC=^a,,.•以;相切。。于点〃，二庐90°,：.OD=BD,

:.NBOD=45°,设BFx,则0户OA=x,08=&x,:.BOAO/1,；〃+初=初，.\2(A+1)2=(行A+X)2,

：.X=y[l,:.B庐0户6.,.,.图中阴影部分的面积=5ka»­Sw病—XV2Xy/2,.....——―=1——.

23604

考点：1.切线的性质；2.角平分线的性质；3.等腰直角三角形；4.扇形面积的计算.

23.（2017四川省阿坝州）如图，△/!附和△//座是有公共顶点的等腰直角三角形，N胡氏/%尺90°,点

一为射线放，酸的交点.

（1）求证：BD=CE；

（2）若/庐2,小1,把△/应'绕点/旋转，当/以仁90°时，求阳的长；

【答案】（1）证明见解析；（2）阳的长为毡或述.

55

【解析】

试题分析：⑴依据等腰三角形的性质得到-3WC,3巴依据同角的余角相等得到然

后依据可证明逐最后，依据全等三角形的性质可得到gCE；

（2）分为点E在.45上和点E在一45的延长线上两种情况画出图形，然后再证明ADEBsA正C,最后依据

相似三角形的性质进行证明即可.

试题解析：（1）a'和应是等腰直角三角形，NBA俏NDA少90°,：.AI^AC,AD=AE,NDAB=NCAE,

：./\ADB^l\AEC,：.BD=CE.

（2）解：①当点£在加上时，BB=AB-AE=1.

'：ZEAO90°,：.CE-yjAE2+AC2^75.

同（1）可证△/庞9△/£，，ZDBA=ZECA.

,PBBE•PB12V5

'：APEB=AAEC,：./\PEB^/\AEC,>>--------=---------j=,:.PB=------

ACCE1,VV55

②当点£在胡延长线上时，止3.

同（1）可证△//^△/成?，：.4DB归乙ECA.

DDBF.PB_36A/5

'：4BE44CEA,：./\PEB^/\AEC,•=——

ACCEF飞5

综上所述，阳的长为拽或述.

55

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形；4.旋转的性质;

5.分类讨论.

24.（2017黑龙江省龙东地区）已知：△力仍和如均为等腰直角三角形，N46快NC〃庐90°.连接力〃，

6C,点〃为形中点，连接加

（1）如图1所示，易证：初一4?且限L49（不需证明）

2

（2）将△CM绕点。旋转到图2,图3所示位置时，线段如与力〃又有怎样的关系，并选择一个图形证明

你的结论.

【答案】（1）证明见解析；（2）图2,图3的结论都相同：OH=-AD,OHLAD.

2

【解析】

试题分析：3）只要证明人』。喀△30C,即可解决问题；

（2）①如图2中，结论：。声LAD,0H1AD.延长。占到E,使得HE=OH,连接BE,由A3E怎△㈤」

即可解决问题；

②如图3中，结论不变.延长加到其使得/后连接BE,延长£0交/〃于G由陷△物1即可解

决问题；

试题解析：（1）证明：如图1中，•••△的占与△筋为等腰直角三角形，NA0B=/C0D=9Q：：.OOOD,OA=OB,

在△/勿与△8%中，VOA=OB,AAOD=ABOC,OD-OC,:.△AOMXBOCqSAS）,：,Z.ADOABCO,乙OAW乙

OBC,•.,点〃为线段a'的中点，OIf=IIB,：.AOB1^AHOB-AOAD,又：/如分N49390°,：.

6阱90°,：.OHVADx

（2）解：①结论：OH--AD,OHVAD,如图2中，延长。/至I」5使得用方阳连接质易证△即运△加1,

2

?.OB-AD,OE=-AD.由△鹿侬△飒，知/EO+ZDAO,：.2DAS4A0卞/E0济NA0诙9Q°,：.OH

22

LAD.

②如图3中，结论不变.延长如到反使得止掰连接BE,延长切交于G.

易证△俄'侬△烟，OE=AD,：.OH=-OE=-AD.

22

由△勿侬△如，除乙EOF乙DAO,：./DA必N加后NEOB+/AOG=9G°,，N/G390°,OHVAD.

考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形；4.和差倍分；5.探究型；6.变

式探究；7.压轴题.

25.(2017山东省莱芜市)已知与△〃笫是两个大小不同的等腰直角三角形.

(1)如图①所示，连接DB,试判断线段和阳的数量和位置关系，并说明理由；

(2)如图②所示，连接，6,将线段庞绕。点顺时针旋转90°到阴连接4尸，试判断线段然和/尸的数

量和位置关系，并说明理由.

图①图②

【答案】(1)A芹DB,AELDB；(2)D芹AF,DEVAF.

【解析】

试题分析：3)根据等腰直角三角形的性质'全等三角形的判定定理证明治△BC溶出AWCE,根据全等三

角形的性质解答；

(2)证明核人」。尸，根据全等三角形的性质证明即可.

试题解析：(1〉.2E=DB,XEDB.证明如下：

•「△zhBC与△DEC是等腰直角三角形，：.AC=BC,EC=DC,在RtABCD^0Rt^CEEp,"：AC=BC,S=

/B