课时作业(三十二) 正态分布 高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课时作业(三十二)正态分布练基础1.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝(x∈R)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A．10与8B．10与2C．8与10D．2与102．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2<X<2)＝()A．0.477B．0.682C．0.954D．0.9773．小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差Δn～N(0，eq\f(9,n2))，为使误差Δn在(－0.5，0.5)内的概率不小于0.6827，至少要实验________次．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827).4．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制订学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(172，σ2)，且P(172≤X≤180)＝0.4，试估计该市身高高于180cm的高中男生人数．提能力5.正态分布x～N(μ，σ2)是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数f(x)＝在x＝eq\r(2)处取得最大值为eq\f(1,2\r(π))，则P(x>0)＝()附：P(μ－σ≤x≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)＝0.9545A．0.6827B．0.84135C．0.97725D．0.95456．(多选)已知某校有1200名同学参加某次联考，其中每位学生的数学考试成绩X服从正态分布N(100，225)，则下列说法正确的有()(参考数据：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973)A．X的期望为100B．X的方差为15C．这次考试成绩超过100分的约有500人D．P(115<X≤130)＝0.13597．经过大数据分析，长沙高铁站春运期间每日客流量(单位：万人)服从正态分布N(2，σ2)，该车站每日可供出售的有座车票为2.3万张，且仅在有座车票已经售罄后，才开始出售无座车票，若需要出售无座车票的概率为eq\f(1,14)，则有座车票每日剩余量不超过0.6万张的概率为________．8．某种规格的瓷砖(600mm×600mm)根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量x(kg)都服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率．(参考：P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.9973，0.997310≈0.9733)9．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨南海伶仃洋水域接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾立交；桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，设计速度100千米/小时，限制速度为90～120千米/小时，通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示：(1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间eq\o(t,\s\up6(－))(精确到0.1)；(2)以(1)中的平均时间eq\o(t,\s\up6(－))作为μ，车辆通过港珠澳大桥的时间X近似服从正态分布N(μ，36)，任意取通过大桥的1000辆汽车，求所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目(精确到整数).附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ－σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ－2σ)＝0.9545.培优生10.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm58596061626364656667686970717273合计个数2113561931164421221100经计算，样本直径的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)；P(μ－σ<X≤μ＋σ)≥0.6826；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.9545；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级．课时作业(三十二)正态分布1．解析：因为f(x)＝，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.答案：B2．解析：由于随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，故P(－2<X<2)＝1－2P(X>2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C3．解析：P(－0.5<ξ<0.5)≥0.6827＝P(－eq\f(3,n)<ξ<eq\f(3,n))，∴0.5≥eq\f(3,n)，∴n≥6，至少要实验6次．答案：64．解析：全市30000名高中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(172，σ2)，且P(172≤X≤180)＝0.4，则P(X>180)＝eq\f(1－0.4×2,2)＝0.1，所以该市身高高于180cm的高中男生人数大约为30000×0.1＝3000.5．解析：由题意知：μ＝σ＝eq\r(2)，所以P(x>0)＝P(x>μ－σ)＝eq\f(1＋P（μ－σ≤x≤μ＋σ）,2)＝0.84135.答案：B6．解析：数学考试成绩X服从正态分布N(100，225)，故X的期望为μ＝100，方差为σ2＝225，标准差为σ＝15，故A项正确，B项错误；对于选项C，因为X的期望为μ＝100，标准差为σ＝15，则P(X>100)＝eq\f(1,2)，则成绩超过100分的约有1200×eq\f(1,2)＝600人，故C项错误；对于选项D，P(X≤115)＝P(X<100)＋eq\f(1,2)P(100－15<X≤100＋15)＝0.5＋eq\f(1,2)×0.6827＝0.84135，P(X≤130)＝P(X<100)＋eq\f(1,2)P(100－2×15<X≤100＋2×15)＝0.5＋eq\f(1,2)×0.9545＝0.97725，P(115<X≤130)＝P(X≤130)－P(X≤115)＝0.97725－0.84135＝0.1359，故D项正确．答案：AD7．解析：设每日所售的票数为ξ万张，若需要售出无座票，则ξ>2.3，故P(ξ>2.3)＝eq\f(1,14)，若有座车票每日剩余量不超过0.6万张，则ξ≥2.3－0.6＝1.7，因为ξ～N(2，σ2)，由正态密度曲线的对称性可得P(ξ≥1.7)＝1－P(ξ>2.3)＝eq\f(13,14).答案：eq\f(13,14)8．解析：由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9973，则这10片质量全都在(μ－3σ，μ＋3σ)之内(即没有废品)的概率为0.997310≈0.9733，则这10片中至少有1片是废品的概率为1－0.9733＝0.0267.9．解析：(1)由频率分布直方图可得eq\o(t,\s\up6(－))＝32.5×0.015＋37.5×0.18＋42.5×0.27＋47.5×0.3＋52.5×0.2＋57.5×0.035≈45.5(min).(2)由题知X～N(45.5，36)，∴P(X<39.5)＝P(X<μ－σ)＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ<X≤μ－σ)]＝0.15865，所以1000×0.15865≈159，故所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目为159.10．解析：因为μ＝65，σ＝2.2，所以P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝P(62.8<X≤67.2)＝eq\f(6＋19＋31＋16＋4,100)