第七章立体几何复习教案

【考纲下载】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求)．一、必备知识1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台(2)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线圆锥直角三角形一直角边所在的直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线球半圆或圆直径所在的直线2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．二、必记结论1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形改变.))“三不变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不改变，,与x，z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变.))3．直观图与原图形面积的关系S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形(或S原图形＝2eq\r(2)S直观图)．一、思考辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．()(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．()(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．()(6)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．()提示：(1)错误．如图所示，该几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱．(2)错误．根据棱锥定义，其余各面必须是有公共顶点的三角形．(3)正确．根据棱台的定义可知正确．(4)错误．两个平行平面必须与圆柱底面平行才是圆柱．(5)错误．圆台的母线延长后交于一点．(6)正确．根据球的结构特征可知正确．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√二、牛刀小试1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．下面三视图如图所示，则该几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：选B由三视图知该几何体为四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为直角梯形．4．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：选B由于△A′B′C′的边A′C′∥y′轴，所以AC⊥x轴，故△ABC为直角三角形．考点一空间几何体的结构特征[例1]给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[听前试做]①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案：B空间几何体结构特征有关问题的解答技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误命题的序号是________．解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确；②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．答案：①②③④高频考点，发散思维空间几何体的三视图考点二空间几何体的三视图是每年高考的热点内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中低档题．归纳起来，且主要有以下几个命题角度：角度一：由空间几何体的三视图还原出几何体的形状[例2](2015·郑州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()ABCD[听前试做]A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.答案：D角度二：由空间几何体的直观图判断三视图[例3](2014·江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()ABCD[听前试做]由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．答案：B角度三：由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图[例4](2015·吉林模拟)已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．[听前试做]直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.答案：①②③④三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．1．(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()解析：选D由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.2．(2015·济宁一模)点M，N分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过A，M，N和D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的()①②③④图1图2A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③解析：选B由正视图的定义可知：点A，B，B1在后面的投影点分别是点D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；同理可得侧视图为③，俯视图为④.3．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()ABCD解析：选B由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．题根迁移，多维探究几何体的直观图考点三[例5]如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．[听前试做]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，边A′B′在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得eq\f(OC′,sin∠OA′C′)＝eq\f(A′C′,sin45°)，所以OC′＝eq\f(sin120°,sin45°)a＝eq\f(\r(6),2)a，所以原三角形ABC的高OC＝eq\r(6)a，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.[探究1]若本例改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？解：由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),8)a，故其面积S△A′B′C′＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.[探究2]本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原图形的面积为________．解析：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1.∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．图①图②在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴原图形的面积为S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).答案：2＋eq\f(\r(2),2)方法规律平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝eq\f(\r(2),4)S，能更快捷地进行相关问题的计算．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋eq\r(2)B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2)D．1＋eq\r(2)解析：选A由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长均为1，得下底长为1＋eq\r(2)，所以原图是上、下底分别为1，1＋eq\r(2)，高为2的直角梯形．所以面积S＝eq\f(1,2)×(1＋eq\r(2)＋1)×2＝2＋eq\r(2).———————[课堂归纳——通法领悟]————————————————eq\a\vs4\al(2)点注意——画三视图和直观图时应注意的两个问题(1)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(2)画直观图注意平行性、长度两个要素．eq\a\vs4\al(3)条规则——画三视图时应遵循的三条规则(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”．(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出．eq\a\vs4\al([全盘巩固])一、选择题1．充满气的车轮内胎(厚度忽略不计)可由下面某个图形绕旋转轴旋转而成，这个图形是()ABCD解析：选C选项A得到的是空心球；D得到的是球面；B得到的是空心的环状几何体；选项C得到的是车轮内胎．2．(2015·长春模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()ABCD解析：选B由正视图可看出长为2的侧棱垂直于底面，侧视图为直角三角形，直角边长为2，另一直角边为底边三角形的高eq\r(3).故侧视图可能为B.3．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选A①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱，故①错；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体，故②错；③④显然错误，故选A.4．(2015·烟台模拟)一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．其中正确的是()A．①B．②C．③D．④解析：选C当该几何体的俯视图为圆时，由三视图知，该几何体为圆柱，此时正视图和侧视图应相同，所以该几何体的俯视图不可能是圆，其余都有可能．故选C.5．(2015·江西八校联考)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为()A．2eq\r(3)B．3C.eq\r(3)D．4解析：选A当正视图的面积最大时，可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时S侧＝2eq\r(3).二、填空题6．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是长为4cm，宽为2cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8cm2.答案：矩形87.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P­ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．解析：三棱锥P­ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，两者面积的比值为1.答案：18．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为eq\r(3)，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC的中点，则BF＝1，在Rt△PBF中，BF＝1，PB＝eq\r(3)，于是PF＝eq\r(2)，同理PE＝eq\r(2)，故其正视图的周长为2＋2eq\r(2).答案：2＋2eq\r(2)三、解答题9．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体．10．已知正三棱锥V­ABC的正视图、侧视图和俯视图，如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC＝2eq\r(3)，∴侧视图中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))\s\up12(2))＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.eq\a\vs4\al([冲击名校])(2015·长沙模拟)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()ABCD解析：选D如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.【考纲下载】了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆)．一、必备知识1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l3.空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3二、必记结论1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)等底面面积且高相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.一、思考辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径之比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()提示：(1)错误．由锥体的体积公式可知错误．(2)错误．由球的体积公式可知球的体积之比等于半径之比的立方．(3)正确．根据台体与锥体之间的关系可知正确．(4)错误．由条件可知，圆柱的底面周长为正方形的边长，设圆柱的底面半径为r，则有S＝πr2，从而圆柱侧面积为4πS.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×二、牛刀小试1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π解析：选C设正方体的棱长为a，则a3＝8，即a＝2.故该正方体的内切球的半径r＝1，所以该正方体的内切球的表面积S＝4πr2＝4π.2．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋4B．2π＋8C．4π＋4D．4π＋8解析：选B由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V＝1×2×4＋eq\f(1,2)×π×12×4＝8＋2π.3．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是________．解析：侧面都是直角三角形，故侧棱长等于eq\f(\r(2),2)a，所以S＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.答案：eq\f(3＋\r(3),4)a24．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.答案：25.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝eq\f(1,4)A1B1，则多面体P­BCC1B1的体积为________．解析：由题意知，VP­BCC1B1＝eq\f(1,3)SBCC1B1·PB1＝eq\f(1,3)×42×1＝eq\f(16,3).答案：eq\f(16,3)考点一空间几何体的表面积[例1](1)(2015·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图中的圆弧是半圆，则该几何体的表面积为()A．92＋14πB．82＋14πC．92＋24πD．82＋24π(2)(2015·天水模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．6＋7eq\r(3)B．10＋eq\r(3)C．12＋eq\r(3)D．12(3)(2014·山东高考)一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．[听前试做](1)由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是半径为2，高为5的圆柱的一半．在长方体中EH＝4，HG＝4，GK＝5，所以长方体的表面积(去掉一个上底面)为2(4×4＋4×5)＋4×5＝92.半圆柱的两个底面积为π×22＝4π，半圆柱的侧面积为π×2×5＝10π，所以整个组合体的表面积为92＋4π＋10π＝92＋14π，选A.(2)由三视图知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＋3×2×2－2×eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)×2×2＝12＋eq\r(3).故选C.(3)由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×22×h＝2eq\r(3)，解得h＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为eq\r(3)，故侧面等腰三角形底边上的高为2，故该六棱锥的侧面积为eq\f(1,2)×12×2＝12.答案：(1)A(2)C(3)12空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：该几何体的直观图如图所示，该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．∴S表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.答案：38高频考点，发散思维空间几何体的体积考点二空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题．归纳起来，且主要有以下几个命题角度：角度一：求以三视图为背景的几何体的体积[例2](2014·安徽高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.eq\f(23,3)B.eq\f(47,6)C．6D．7[听前试做]如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V＝8－2×eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(23,3).答案：A角度二：求简单几何体的体积[例3](2014·山东高考)三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________．[听前试做]如图，设点C到平面PAB的距离为h，△PAB的面积为S，则V2＝eq\f(1,3)Sh，V1＝VE­ADB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,12)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)角度三：求组合体的体积[例4](2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[听前试做]由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2m、高为2m的圆锥，下面是底面圆的半径为1m、高为4m的圆柱，所以该几何体的体积是eq\f(1,3)×4π×2＋4π＝eq\f(20π,3)m3．答案：eq\f(20π,3)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．(2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．4eq\r(5)，8B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3)D．8，8解析：选B由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以S侧＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(5)))＝4eq\r(5)，V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).2.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,2)解析：选A如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝2VE­ADG＋VAGD­BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故选A.3．(2013·湖北高考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4解析：选C由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V1＝eq\f(1,3)π×(12＋22＋1×2)×1＝eq\f(7π,3)；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是棱长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V4＝eq\f(1,3)×(22＋2×4＋42)×1＝eq\f(28,3)，比较大小可知答案选C.题根迁移，多维探究与球有关的切、接问题考点三[例5](2015·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)[听前试做]如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋62)＝eq\f(13,2).答案：C[探究1]本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4eq\r(3)，从而V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V内切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).[探究2]本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解：正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其内切球半径r为正四面体高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq\f(6\r(3),π).[探究3]本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3eq\r(2)的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.与球有关的组合体的类型及解法(1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．(2)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3解析：选A设球半径为Rcm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3.————[课堂归纳——通法领悟]————eq\a\vs4\al(1)种思想——转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般是将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．eq\a\vs4\al(2)种方法——割补法与等积法(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．eq\a\vs4\al(2)个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．eq\a\vs4\al([全盘巩固])一、选择题1．(2015·许昌模拟)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()A．4πB.eq\f(3π,2)C．3πD．2π解析：选B由三视图可知，该几何体是一个圆柱，S表＝2×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋π×1×1＝eq\f(3π,2).2．用平面α截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面α的距离为4，则此球的表面积为()A.eq\f(100π,3)B.eq\f(500π,3)C．75πD．100π解析：选D易求得球的半径为eq\r(32＋42)＝5，所以球的表面积为S＝4πr2＝100π.3．(2014·辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－2πB．8－πC．8－eq\f(π,2)D．8－eq\f(π,4)解析：选B直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的eq\f(1,4)圆柱，所以该几何体的体积为23－2×π×12×2×eq\f(1,4)＝8－π.4．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A.eq\f(a,2)B.eq\f(\r(3πa),3π)C.eq\f(2\r(3πa),3π)D.eq\f(2\r(3a),3π)解析：选C设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋2πr2＝a，∴r2＝eq\f(a,3π)，∴2r＝eq\f(2\r(3πa),3π).5．(2014·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12B．18C．24D．30解析：选C此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为6×5－eq\f(1,3)×6×3＝24，选C.二、填空题6．(2015·南京模拟)已知圆锥的母线长为2，高为eq\r(3)，则该圆锥的侧面积是________．解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，所以圆锥的侧面积为S侧＝πrl＝π×1×2＝2π.也可以将圆锥侧面展开成扇形来处理．答案：2π7．球O与底面边长为3的正三棱柱的各侧面均相切，则球O的表面积为________．解析：设球O的半径为R，底面正三角形内切圆半径就是球O的半径，则R＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，因此球O的表面积S＝4πR2＝3π.答案：3π8．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1，r2，母线长分别是l1，l2.则由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)可得eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).又两个圆柱的侧面积相等，即2πr1l1＝2πr2l2，则eq\f(l1,l2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1l1,S2l2)＝eq\f(9,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)三、解答题9.如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1­B1EDF的体积．解：连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a.由题意得，VC1­B1EDF＝VB1­C1EF＋VD­C1EF＝eq\f(1,3)·S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3.10.一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).eq\a\vs4\al([冲击名校])正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为________．解析：由图可知正六棱柱的对角线BC，即为外接球的直径，因为底面边长为4，所以AB＝8，所以BC＝eq\r(82＋62)＝eq\r(100)＝10，即2R＝10，所以外接球的半径R＝5，所以外接球的表面积为4πR2＝4π×25＝100π.答案：100π【考纲下载】1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．一、必备知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：．(3)平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、必记结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．一、思考辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)没有公共点的两条直线是异面直线．()提示：(1)错误．由公理3可知错误．(2)正确．如空间直角坐标系中三条坐标轴可以确定三个平面．(3)错误．根据公理2可知，只有当三个公共点不在一条直线上时两个平面才重合．(4)错误．没有公共点的两条直线可能平行或异面．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、牛刀小试1．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.3．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C假设c∥b，由公理4可知，a∥b，与a、b是异面直线矛盾，故选C.4．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：与AB平行，与CC1相交的直线是CD，C1D1；与CC1平行，与AB相交的直线是BB1，AA1；与AB，CC1都相交的直线是BC，故满足条件的棱有5条．答案：55．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________个部分．解析：通过举实例说明，如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交，且三条交线互相平行，这三个平面将空间分为7部分．答案：7考点一平面的基本性质及应用[例1](1)(2013·安徽高考)在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2)以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3[听前试做](1)选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．(2)①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．答案：(1)A(2)B共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点．证明：(1)连接EF、GH，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD.又∵CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点．高频考点，发散思维空间两条直线的位置关系考点二空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容，并且常作为某一选项来考查，其中异面直线及平行关系是考查的重点．归纳起来，且主要有以下几个命题角度：角度一：异面直线的判定[例2](2015·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)①②③④[听前试做]图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．答案：②④角度二：两直线位置关系的判断[例3](2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定[听前试做]构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.答案：D角度三：异面直线的条数[例4](2015·潍坊模拟)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．[听前试做]平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：3两条直线位置关系判断的策略(1)异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．(3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查．1．(2015·昆明模拟)若直线l不平行于平面α，且lα，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B如图，设l∩α＝A，α内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面．2．(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D依据题意，b，c分别为a在α，β内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可．3．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．解析：如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线eq\f(12×4,2)＝24对．答案：24题根迁移，多维探究异面直线所成的角考点三[例5](2015·湛江模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)[听前试做]连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).答案：D[探究]在本例条件下，若点P在平面A1C1内且不在对角线B1D1上，过点P在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，且α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).这样的直线可作几条？解：在平面A1C1内作m，使m与B1D1相交成α角．∵BD∥B1D1，∴直线m与BD也成α角，即m为所求直线．且m与BD是异面直线，当α＝eq\f(π,2)时，m只有一条，当α≠eq\f(π,2)时，这样的直线有两条．用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝eq\r(2)，则异面直线AD和BC所成的角为________．解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1，FG∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD＝1.即∠EGF为所求异面直线AD和BC所成的角，又EF＝eq\r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.答案：90°————[课堂归纳——通法领悟]————eq\a\vs4\al(2)个注意点——判断点、线、面位置关系时的注意点(1)异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．(2)在判断直线与平面的位置关系时易忽视“线在平面内”．eq\a\vs4\al(2)种方法——异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．eq\a\vs4\al(3)个作用——3个公理的作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内；④由直线的“直”刻画平面的“平”．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断直线共面的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．eq\a\vs4\al([全盘巩固])一、选择题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A两直线异面⇒两直线没有公共点，反之不然，所以“两直线异面”是“这两直线没有公共点”的充分不必要条件，故选A.2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交或异面都有可能解析：选D当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：选Db与α相交或b⊂α或b∥α都可以．4．(2015·济南模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．5．(2015·青岛模拟)在正四棱锥V­ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)解析：选D如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V­ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为eq\f(π,2).二、填空题6.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④7.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，故DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.答案：90°8．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的命题是________(写出全部正确结论的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①三、解答题9．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.10.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P­ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).eq\a\vs4\al([冲击名校])1．(2015·临沂模拟)过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为eq\r(2).联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．2．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，eq\r(2)和a，且长为a的棱与长为eq\r(2)的棱异面，则a的取值范围是()A．(0,eq\r(2))B．(0,eq\r(3))C．(1,eq\r(2))D．(1,eq\r(3))解析：选A如图所示，AB＝eq\r(2)，CD＝a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\f(\r(2),2)，同理EC＝eq\f(\r(2),2).由构成三角形的条件知0<a<ED＋EC＝eq\r(2)，所以0<a<eq\r(2).【考纲下载】1．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．一、必备知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b二、必记结论平面与平面平行的六个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．一、思考辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．()(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(4)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．()(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()提示：(1)错误．根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．(2)错误．根据线面平行的性质定理可知，此直线与平面内的无数条直线平行而不是与任意直线平行．(3)错误．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或aα.(4)错误．直线a与点P确定一个平面β，若α∩β＝b，则a∥b.(5)错误．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交．(6)正确．分别在两个平面内的两条直线没有公共点，则它们平行或异面．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√二、牛刀小试1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析：选D与一个平面平行的两条直线可能平行、相交，也可能异面．2．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或lα解析：选Dl∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；lα时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．故选D.3．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))⇒a∥α；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,α∥γ))⇒α∥a.其中正确的命题是()A．①②③B．①④C．②D．①③④解析：选C②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．4．已知平面α∥β，直线aα，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．解析：由面面平行和线面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．答案：②5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．解析：如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：BD1∥平面ACE