初中数学实数

第一讲实数大家好1一、实数的定义及分类1.定义:有理数和_______统称实数.2.性质:实数与数轴上的点_________.无理数一一对应大家好23.分类:(1)按定义分类:0无限循环分数无理数无限不循环大家好3(2)按正负分类:实数分为正实数、__和负实数.二、实数的相关概念1.数轴:规定了原点、正方向、_________的直线.2.相反数:a的相反数是___,若a与b互为相反数,则a+b=__.0单位长度-a0大家好43.倒数:乘积为__的两个数互为倒数,a(a≠0)的倒数是__,0没有倒数.1大家好54.绝对值:(1)从“数”的角度看:|a|=(2)从“形”的角度看:一个数的绝对值就是表示这个数的点到_____的距离.(3)性质:|a|___0.若|a|+|b|=0,则a=__;b=__.＜原点≥00大家好6三、科学记数法与近似数1.科学记数法:把一个绝对值大于10的数记成______的形式,其中__≤|a|<___,n的值等于整数部分的位数____.2.近似数与准确数的接近程度通常用精确度表示,近似数一般由四舍五入得到,_________到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.a×10n110减1四舍五入大家好7四、平方根、算术平方根、立方根名称定义表示方法性质平方根若x2=a,那么这个数x叫做a的平方根或二次方根数a的平方根记作:±1.正数有两个平方根,它们互为_______.2.0的平方根是__.3.负数_____平方根相反数0没有大家好8名称定义表示方法性质算术平方根若正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根记作1.0的算术平方根是__.2.双重非负性:①被开方数a___0;②式子___00≥≥大家好9名称定义表示方法性质立方根若x3=a,那么x叫做a的立方根数a的立方根记作:正数的立方根是_____;负数的立方根是_____;0的立方根是__正数负数0大家好10五、实数的运算种类实数的运算包括加、减、乘、除、___________乘方=__,其中a是底数,n是指数零、负整数指数幂a0=__(a≠0),a-p=___(a≠0)乘方、开方an1大家好11运算顺序先算___________,再算_____,最后算_____,如果有括号,先算括号里边的.若没有括号,在同一级运算中,要_________进行运算运算律加法交换律a+b=____结合律(a+b)+c=________乘法交换律ab=___结合律(ab)c=______分配律a(b+c)=______乘方、开方乘除加减从左到右b+aa+(b+c)baa(bc)ab+ac大家好12考点一实数的分类【典例1】(1)(2015·扬州中考)实数0是(

)A.有理数B.无理数C.正数D.负数大家好13(2)(2015·通辽中考)实数tan45°,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1),其中无理数的个数是(

)A.4 B.2 C.1 D.3大家好14【思路点拨】(1)0既不是负数也不是正数.(2)根据无理数的概念进行判断.大家好15【自主解答】(1)选A.0既不是正数也不是负数,但实数0是有理数.(2)选D.在实数tan45°,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1)中,无理数有:,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1),共3个.大家好16【名师点津】无理数常见的四种类型(1)无限不循环小数,如2.121314….(2)开不尽方的数(根号型),如(3)具有特定意义的数,如π,(4)具有特定结构的数(构造型),如0.1010010001…(两个1之间依次增加一个0).大家好17【题组过关】1.(2016·金华中考)如图是加工零件的尺寸要求,现有下列直径尺寸的产品(单位:mm),其中不合格的是(

)A.45.02B.44.9C.

44.98D.45.01大家好18【解析】选B.由图可知,加工零件的直径尺寸范围是44.96～45.03mm,其中不合格的是

44.9.大家好19【方法指导】正负数的理解三注意(1)对于正数与负数,不能简单地理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数.例如-a不一定是负数.(2)当数字的前面有多重符号时,注意要用相反数、绝对值等意义进行判断,如-|-2|是负数.大家好20(3)用正数与负数表示相反意义的量时,习惯上把增加、盈利等规定为正,它们相反意义的量规定为负,正、负是相对的,可以相互转化.大家好212.(2016·烟台中考)下列实数中,有理数是(

)A.B.C.D.0.1010010001大家好22【解析】选D.无限不循环小数为无理数,有限小数或无限循环小数为有理数,故

为无理数,0.1010010001为有理数.大家好233.(2015·遵义中考)在0,-2,5,,-0.3中,负数的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.根据负数的定义,-2,-0.3是负数,所以负数的个数是2.大家好24考点二实数的相关概念【典例2】(1)(2016·凉山州中考)-的倒数的绝对值是(

)A.-2016B.C.2016D.-大家好25(2)(2016·青岛中考)-的绝对值是(

)A.-B.-C.D.5(3)(2016·巴中中考)|-0.3|的相反数等于________.大家好26【思路点拨】(1)先求倒数再求绝对值.(2)负数的绝对值等于它的相反数.(3)先计算绝对值,再求其相反数.大家好27【自主解答】(1)选C.-的倒数是-2016,-2016的绝对值是2016.(2)选C.本题考查绝对值的概念,-的绝对值等于它的相反数,即|-|=.(3)-0.3的绝对值是0.3,0.3的相反数等于-0.3.答案:-0.3大家好28【名师点津】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数在这个数的前面加上“-”即可,需要化简的再化简.大家好29求一个数的倒数求一个非零整数的倒数,直接可写成这个数分之一的形式,即a的倒数为求一个分数的倒数,只要将分子、分母颠倒一下位置即可,即的倒数为.对于带分数先将其化为假分数,再求倒数求一个小数的倒数,应先将小数化为分数,然后再求倒数大家好30【题组过关】1.(2016·丽水中考)下列四个数中,与-2的和为0的数是(

)A.-2B.2C.0D.-【解析】选B.0-(-2)=0+2=2.大家好312.(2016·泰安中考)如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是(

)A.p B.q C.m D.n大家好32【解析】选A.n+q=0,∴点N和点Q关于原点O对称,∴原点O为NQ中点,∴OP>ON=OQ>OM,∴P离原点最远.∴p的绝对值最大.大家好333.(2016·威海中考)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则|a|-|b|可化简为(

)A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b【解析】选C.原式=a-(-b)=a+b.大家好34【方法指导】绝对值符号化简的方法首先判断绝对值符号里面的式子的正负情况;然后根据正负情况,把式子变成原式或其相反数.大家好35考点三平方根、算术平方根、立方根【典例3】(1)(2016·襄阳中考)-8的立方根是(

)A.2B.-2C.±2D.-(2)(2015·凉山州中考)的平方根是________.大家好36【思路点拨】(1)根据立方根的定义计算.(2)先求81的算术平方根,再求平方根.大家好37【自主解答】(1)选B.因为(-2)3=-8,所以-8的立方根为-2.(2)=9,9的平方根是±3,所以的平方根是±3.答案:±3大家好38【名师点津】平方根与立方根的性质正数0负数平方根有两个平方根,它们互为相反数0没有平方根立方根有一个立方根0有一个立方根大家好39【题组过关】1.(2015·宜昌中考)下列式子没有意义的是(

)

【解析】选A.负数不能开平方,所以选项A错误.大家好402.(2016·毕节中考)的算术平方根是(

)

【解析】选C.因为

=2,所以,2的算术平方根为

.大家好413.(2016·宁波中考)实数-27的立方根是________.【解析】∵(-3)3=-27,∴-27的立方根是-3.答案:-3大家好424.(2015·安顺中考)的平方根是________.【解析】的平方根是±.答案:±大家好43考点四实数大小比较及无理数的估算【典例4】(1)(2016·北京中考)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是(

)A.a>-2 B.a<-3 C.a>-b D.a<-b大家好44(2)(2015·嘉兴中考)与无理数最接近的整数是

(

)A.4 B.5 C.6 D.7(3)比较大小:-3______.(填“>”“<”或“=”)大家好45【思路点拨】(1)数距离原点越远,绝对值越大.(2)先估计在哪两个整数之间,然后计算两个整数的平均数,与比较,做出判断.(3)比较与2和3的大小,再判断.大家好46【自主解答】(1)选D.由数轴可知,-3<a<-2,故A,B错误;1<b<2,-2<-b<-1,即-b在-2与-1之间,所以,a<-b.大家好47(2)选C.∵25<31<36⇒5<<6,∴在5与6之间.大家好48答案：＜大家好49【名师点津】实数大小比较三方法(1)法则比较:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.(2)数轴比较:在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.大家好50(3)作差比较:若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则a=b.大家好51【题组过关】1.(2016·淮安中考)估计+1的值(

)A.在1和2之间 B.在2和3之间C.在3和4之间 D.在4和5之间【解析】选C.∵2<<3,∴3<+1<4,∴+1在3和4之间.大家好52【方法指导】无理数的估算方法(1)估算一个无理数介于哪两个整数之间(或求无理数的整数部分),如n<<n+1,可以采用同时平方的方法,即计算n2<a<(n+1)2,找到n的值即可.(2)若的整数部分为m,则其小数部分为-m.大家好532.(2016·聊城中考)在实数-,-2,0,中,最小的实数是(

)A.-2B.0C.-D.【解析】选A.∵正数大于0,0大于负数.两个负数,绝对值大的反而小,故>0>->-2.大家好543.(2015·资阳中考)如图,已知数轴上的点A,B,C,D分别表示数-2,1,2,3,则表示数3-的点P应落在线段

(

)A.AO上 B.OB上 C.BC上 D.CD上大家好55【解析】选B.由位于2和3之间可得3-位于0和1之间,符合条件的只有选项B.大家好56考点五实数的运算【考情分析】实数的运算的层级为了解,但有理数的运算的层级为理解和运用,且有理数的运算法则及运算律在实数范围内同样适用,并且实数的运算在各地中考试题中均有大家好57体现,是实数的一个重要考向,与实数的相关概念、开方、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、新定义型计算等一起考查,各种题型均有涉及.大家好58命题角度1:有理数的运算【典例5】(2015·淮安中考)计算|-4|+23+3×(-5).大家好59【思路点拨】根据乘方的意义、乘法法则及有理数的混合运算法则进行计算.【自主解答】|-4|+23+3×(-5)=4+8+(-15)=12+(-15)=-3.大家好60【母题变式】(改变条件)改变幂的底数为-2(即(-2)3),则该题的计算结果是多少?提示:-19.大家好61命题角度2:与实数的相关概念有关的简单计算【典例6】(2015·大庆中考)求值:【思路点拨】根据开方、乘方的意义解答.【自主解答】原式=大家好62【母题变式】(改变条件)改变-1的指数为2016,则该题的计算结果是多少?提示:

大家好63命题角度3:与零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值结合考查【典例7】(2016·巴中中考)计算:2sin45°-3-2+大家好64【思路点拨】先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值,再算加减.【自主解答】原式=大家好65【名师点津】实数运算的三个关键(1)运算法则:乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.大家好66(2)运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减为一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,有括号的先算括号里的.(3)运算律的使用:使用运算律可以简化运算,提高运算速度和准确度.大家好67【备选例题】(2015·怀化中考)计算:

【解析】原式=大家好68【题组过关】1.(2016·泰安中考)计算(-2)0+9÷(-3)的结果是

(

)A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【解析】选B.原式=1+(-3)=-2.大家好692.(2015·淄博中考)下列式子中正确的是(

)=-9 B.(-2)3=-6C.=-2 D.(-3)0=1【解析】选D.A.=9,故本项错误;B.(-2)3=-8,故本项错误;C.=2,故本项错误;D.(-3)0=1,故本项正确.大家好703.(2015·济南中考)计算:+(-3)0=________.【解析】

+(-3)0=2+1=3.答案:3大家好714.(2016·重庆中考)计算:+(π-1)0=________.【解析】原式=-2+9+1=8.答案:8大家好725.(2015·莱芜中考)计算:-|-2|+(-1)0+2-1=________.【解析】原式=3-2+1+答案:大家好736.(2016·枣庄中考)计算:-2-1+-|-2|=________.【解析】-2-1+-|-2|=3-+2-2=2.答案:2大家好747.(2016·成都中考)计算:(-2)3+-2sin30°+(2016-π)0.【解析】(-2)3+-2sin30°+(2016-π)0=-8+4-1+1=-4.大家好758.(2016·内江中考)|-3|+tan30°--(2016-π)0+.【解析】原式=3+×-2-1+=3+1-2-1+2=3.大家好76考点六科学记数法与近似数【典例8】(1)(2016·衢州中考)据统计,2015年十一国庆长假期间,衢州市共接待国内外游客约319万人次,与2014年同比增长16.43%,数据319万用科学记数法表示为(

)A.3.19×105 B.3.19×106C.0.319×107 D.319×106大家好77(2)(2015·黔南州中考)下列各数表示正确的是

(

)A.57000000=57×106B.0.0158(用四舍五入法精确到0.001)≈0.015C.1.804(用四舍五入法精确到十分位)≈1.8D.0.0000257=2.57×10-4大家好78【思路点拨】(1)把319万写成原数,再用科学记数法表示.(2)根据科学记数法及精确度的有关概念进行判断.大家好79【自主解答】(1)选B.319万=3190000=3.19×106.故选B.(2)选C.A.57000000=5.7×107,错