【数学】样本相关系数-2023-2024学年高二数学 人教A版2019选择性必修第三册

人教A版2019选修第三册第八章成对数据的统计分析8.1.2样本相关系数

1.了解样本相关系数公式的推导关系2.掌握样本相关系数公式，并会运用.3.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，掌握样本相关系数的范围．教学目标01情境导入PART.01情境导入

通过上一节的学习，小明提出了自己的一些疑问：问题1：由上图可判断出图①是负相关，图②是正相关，那么能否判断出图②的相关性比图①强？不一定.问题2

：怎样定量刻画两个变量的相关性？可以用样本相关系数公式计算.问题提出通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等.但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小.问题：能否引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？

样本的相关系数PART.02概念讲解

问题：能否引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？概念讲解线性负相关线性正相关无相关关系非线性相关线性负相关线性正相关无相关关系非线性相关（x，y）基本异号（x，y）基本同号数据预处理的常用方法：中心化（零均值化）中心化概念讲解思考1：

根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗?

概念讲解思考2：

Lxy的大小是否一定能度量出成对样本数据的相关程度吗?因为Lxy的大小与数据的度量得有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小.

概念讲解

概念讲解

定义样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它反映了两个随机变量之间的线性相关程度.r的符号反映了相关关系的正负性.概念讲解思考3：相关系数r的取值范围是多少呢?

概念讲解

∴样本相关系数r的取值范围为[-1,1]概念讲解思考4：

相关系数|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢?

归纳小结相关系数的性质：①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关.②

|r|≤1；③当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；

当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系（但不排除它们间有其他相关关系）；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上.概念讲解图(1)中成对样本数据的正线性相关程度很强.图(2)中成对样本数据的负线性相关程度比较强.图(3)中对样本数据的线性相关程度很弱.图(4)中成对样本数据的线性相关程度极弱.问题：观察以下散点图，判断成对数据间的相关关系典例分析PART.03练一练√××练一练

A.甲组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱B.乙组数据的线性相关性最强，丙组数据的线性相关性最弱C.丙组数据的线性相关性最强，甲组数据的线性相关性最弱D.丙组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱D解：因为样本线性相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，所以丙组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱.练一练C典例分析例1.根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度.编号1234567891011121314年龄/岁2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6解：先画出散点图，如图所示.观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关.典例分析

典例分析例2.有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收人的总和)与A商品销售额的10年数据，如下表所示.第n年12345678910居民年收入/亿元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品销售额/万元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同.典例分析解：画出成对样本数据的散点图，如图所示.从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系.由样本数据计算得样本相关系数r≈0.95.由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强.典例分析例3.在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如表所示