【数学】平面向量及其应用检测卷单元测试 2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册

第=PAGE2*2-13页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE2*24页共=SECTIONPAGES2*24页第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES2*24页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES2*24页绝密★启用前第六章平面向量及其应用检测卷（单元测试）2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题中正确的是（

）A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等2．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．3．已知相互垂直，，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．已知，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C．0 D．16．青花瓷（blue

and

white

porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知向量，满足，则（

）A． B．C． D．8．在中，若，且，则（

）A． B． C．3 D．2二、多选题9．已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（

）A． B．C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为10．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（）A． B．C．最大值为8 D．的最大值为11．在中，角的对边分别为，若，，则下列结论正确的是（

）A．若，则有两解B．若，则C．的周长有最大值6D．的面积有最大值三、填空题12．设，，，且，，，则向量的模为.13．已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则.14．石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上､下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底在同一平面内的三个测量基点，且在处测得该塔顶点的仰角分别为，米，则石家庄电视塔的塔高为米.四、解答题15．已知，，且与的夹角为.(1)求的值；(2)若，求实数的值；(3)求向量与向量夹角的余弦值.16．已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值．17．如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为．(1)求的最大值及此时的值；(2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值．18．足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方.(1)若，求此时的外接圆的圆心坐标(2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标19．已知的内角所对的边分别为且与垂直.(1)求大小；(2)若边上的中线长为，求的面积的最大值.答案第=page1010页，共=sectionpages1111页答案第=page1111页，共=sectionpages1111页参考答案：1．D【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；对于C：向量不可以比较大小，故C错误；对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.故选：D2．C【分析】借助中点Q和平方差公式得，再探究PQ的最大值即可.【详解】分别取，中点Q，R，连接，，则由题，，即，所以，作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大，所以，所以的最大值为3.故选：C.3．B【分析】根据条件，利用向量垂直,其数量积为0，建立等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，又相互垂直，，所以，解得，故选：B.4．D【分析】利用模长可求得数量积，再由投影向量定义代入计算可得结果.【详解】由可得，即，所以，故在上的投影向量为．故选：D5．A【分析】将两边平方，求出的值，利用向量夹角公式，即可求得答案.【详解】由于，故，即，则，故，故选：A6．C【分析】连接，则，利用向量数量积的运算律即可求解.【详解】连接，如图所示：则，根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时，故，即的取值范围是，故选：C7．C【分析】利用向量数量积的运算律结合条件即可求得的值.【详解】因为，所以即故选：C.8．D【分析】由，可得角；再结合正弦定理将中的角化边，化简整理后可求得，即可得解．【详解】由，得，，．由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故．故选：D．9．ACD【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得.【详解】对A：，故A正确；对B：，故B错误；对C：，故，即，故C正确；对D：，故D正确.故选：ACD.10．AD【分析】对于A：利用向量的线性运算求解即可；对于B：利用展开计算；对于C：以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算求解；对于D：利用向量相等列式计算.【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，所以，则，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，如图，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则，因为点在以的中点为圆心，为半径的单位圆上，且在轴的下半部分，设，则，所以，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，故C错误；对于D，因为，所以，即，所以，所以，因为，所以当时，取得最大值，故D正确.故选：AD.11．ABD【分析】综合运用正弦定理，面积公式及周长可得选项.【详解】对于A，因为，，由正弦定理可得，又，所以有两解，A正确；对于B，由，可得，，由正弦定理可得，B正确；对于C，由余弦定理，，当且仅当时，取到等号，解得，C不正确；对于D，由余弦定理，即，当且仅当时，取到等号，所以的面积，D正确.故选：ABD12．/【分析】根据向量垂直，数量积的定义求出，可得结果【详解】因为，所以，所以，∴．故答案为：.13．【分析】由三角形的面积公式、余弦定理可得，即，又可得和，代入即可得出答案.【详解】因为，则，所以，即，即，因为，所以，即，又因为，所以，所以，所以由可得：，所以，因为，所以，所以，即，所以.故答案为：.14．280【分析】设出塔高分别在中表示出,在和中就运用余弦定理建立方程，计算即得.【详解】设，则.由，得，由余弦定理得，解得米，即为280米.故答案为：280.15．(1)(2)(3)【分析】（1）根据数量积的定义计算可得；（2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得；（3）首先求出、，再根据夹角公式计算可得.【详解】（1）因为，，且与的夹角为，所以.（2）因为，所以，即，即，解得.（3）因为，，设向量与向量的夹角为，则，即向量与向量夹角的余弦值为.16．或【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解.【详解】因为向量，，，所以，,因为，，三点共线，所以平行，所以，即，将代入中，得或.17．(1)最大值是，此时.(2)【分析】（1）根据三角函数定义可得点坐标，根据向量数量积可得，根据向量加法几何意义得四边形为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量；（2）由三角函数定义可得的正切值，结合两角和的正切公式可得．【详解】（1）由题意知的坐标分别为，．，.由题意可知.，.所以，故时，的最大值是，此时.（2），，..18．(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得.（2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得.【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,，由正弦定理得，解得，显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为，于是，解得，所以的外接圆的圆心坐标为.（2）设点，显然，而轴，则，于是，当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增，因此最大，当且仅当最大，所以当最大时，点的坐标是.【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的