2022-2023学年山西省忻州市樊野中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年山西省忻州市樊野中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.方程上有解，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=an+1﹣an，则{an}的前51项和S51=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】数列的求和．【分析】根据数列{an}的递推公式，得到an+2=an+1﹣an，又a1=1，a2=2求得各项的值进行相加．由于项数较多，可注意到各项的值是否会出现一定的变化规律，从而为计算带来方便【解答】解：由a1=1，a2=2，an+2=an+1﹣an，得a3=2﹣1=1，a4=﹣1，a5=﹣2，a6=﹣1，a7=1，a8=2，…数列{an}各项的值重复出现∴s51=（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a7+a8+…a12）+…+（a49+a50+…+a51）=0+0+…+0+1+2=1=4故选：D3.过点作圆的两条切线，切点分别为,则直线的方程为（

）A． B．C．

D．参考答案：A4.平面上定点、距离为4，动点满足，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．5参考答案：C5.已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为

（

）

A． B．

C．

D．参考答案：C略6.如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D’中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值为()A. B.C.

D.参考答案：B略7.设全集,集合,则(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D

8.已知，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.参考答案：D9.命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为(

)

A.若a＞b，则有2a≤2b－1.

B.若a≤b，则有2a≤2b－1.

C.若a≤b，则有2a＞2b－1.

D.若2a≤2b－1，则有a≤b.参考答案：B略10.过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为()A．－3/2 B.

3/2C．3

D．

－3参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若命题“存在实数x,使”是假命题，则实数的取值范围是

.参考答案：12.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.参考答案：313.数列的前10项之和为

参考答案：14.已知向量，若，则实数k=__________．参考答案：8∵，∴，解得15.已知数列{an}中,,m为正整数,前n项和为，则=____________．参考答案：16.已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(–5,0)、(5,0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为，求顶点C的轨迹方程。参考答案：略17.以下五个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条．⑤过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）参考答案：①②④【分析】①根据椭圆和双曲线的c是否相同即可判断．②根据抛物线的性质和定义进行判断．③根据双曲线的定义进行判断．④根据抛物线的定义和性质进行判断．⑤根据圆锥曲线的根据方程进行判断．【解答】解：①由得a2=16，b2=9，则c2=16+9=25，即c=5，由椭圆得a2=49，b2=24，则c2=49﹣24=25，即c=5，则双曲线和椭圆有相同的焦点，故①正确，②不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心M到准线的距离等于半径，∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故②正确，③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴故③不正确；④过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作直线l与抛物线相交于A、B两点，当直线l的斜率不存在时，横坐标之和等于2，不合题意；当直线l的斜率为0时，只有一个交点，不合题意；∴设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l为y=k（x﹣1），代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0；∵A、B两点的横坐标之和等于5，∴=5，解得k2=，∴这样的直线有且仅有两条．故④正确，⑤设定圆C的方程为（x﹣a）2+（x﹣b）2=r2，其上定点A（x0，y0），设B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），由=（+）得，消掉参数θ，得：（2x﹣x0﹣a）2+（2y﹣y0﹣b）2=r2，即动点P的轨迹为圆，故⑤错误；故答案为：①②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，其中e是无理数，a∈R．（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；压轴题；存在型．分析：（1）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点代入已知函数，比较函数值的大小，从而解出单调区间；（2）构造函数h（x）=g（x）+，对其求导，求出h（x）的最小值大于0，就可以了．（3）存在性问题，先假设存在，看是否能解出a值．解答：解：（1）∵当a=1时，，∴，（1分）∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，（3分）∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；f（x）的极小值为f（1）=1．（4分）（2）由（1）知f（x）在（0，e]上的最小值为1，（5分）令h（x）=g（x）+，x∈（0，e]∴，（6分）当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增，（7分）∴，∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+，（8分）（3）假设存在实数a，使，（x∈（0，e]）有最小值﹣1，∴，（9分）①当a≤0时，∵0＜x≤e，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上单调递增，此时f（x）无最小值．（10分）②当0＜a＜e时，若0＜x＜a，则f'（x）＜0，故f（x）在（0，a）上单调递减，若a＜x＜e，则f'（x）＞0，故f（x）在（a，e]上单调递增.，，得，满足条件．（12分）3当a≥e4时，∵0＜x＜e，∴f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上单调递减，（舍去），所以，此时无解．（13分）综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）（3）法二：假设存在实数a，使，x∈（0，e]）的最小值是﹣1，故原问题等价于：不等式，对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．即不等式a≥﹣x（1+lnx），对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．设g（x）=﹣x（1+lnx），即a=g（x）max，x∈（0，e]（10分）又（11分）令当，g'（x）＞0，则g（x）在单调递增；当，g'（x）＜0，则g（x）在单调递减，（13分）故当时，g（x）取得最大值，其值是故．综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）点评：此题是一道综合题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．19.已知命题，命题，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围。

参考答案：解：由P得，由Q得，P真Q假则有和同时成立，所以

20.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B．参考答案：【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）线面垂直的判定定理证明即可；（2）根据面面平行的判定定理证明即可．【解答】（1）证明：∵底面边长均为2，D是BC中点，∴AD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AD?平面ABC，∴AD⊥BB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵BC?平面B1BCC1，BB1?平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AD⊥平面B1BCC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵DC1?面B1BCC1，∴AD⊥DC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：连结A1C交于AC1O，连结DO，如图示：∵O是正方形ACC1A1对角线的交点∴O为A1C中点∵D是BC的中点∴OD∥A1B，且OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴A1B∥平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵D，D1分别是BC，B1C1的中点，∴AA1∥DD1，AA1=DD1，∴四边形AA1D1D是平行四边形∴AD∥A1D1﹣﹣﹣﹣﹣∵A1D1?平面ADB1，AD?平面ADB1，∴A1D1∥平面ADB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵A1D1∩A1B=A1，∴平面ADC1∥平面A1D1B﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查了线面垂直的判定定理以及面面平行的判定定理，考查数形结合思想，是一道中档题．21.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2-，直线过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值围.

参考答案：解：（1），

∵直线l：x－y+2=0与圆x2+y2=b2相切，∴=b，∴b=，b2=2，∴a3=3.

∴椭圆C1的方程是

……….(3分)（2）∵MP＝MF，∴动点M到定直线l1：x＝－1的距离等于它的定点F2