广东省江门市鹤山白水带中学高三数学理期末试题含解析

广东省江门市鹤山白水带中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合，集合，则集合为（）A．[－1,1]

B．[0,1]

C．(0,1]

D．[－1,0)参考答案：C2.若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则(

) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a参考答案：C考点：对数值大小的比较．分析：根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．解答： 解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0），于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．故选C点评：对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0或1的应用，本题是基础题．3.己知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：?x∈R，ex＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题 B．p∧￢q为假命题 C．p∧q为真命题 D．p∨q为真命题参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：“a＞b”?“2a＞2b”，即可判断出真假．q：令f（x）=ex﹣lnx，x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f′（x）=，因此x＞1时，f（x）单调递增，可得f（x）＞0．即可判断出真假．【解答】解：命题p：“a＞b”?“2a＞2b”，是真命题．q：令f（x）=ex﹣lnx，f′（x）=．x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（1）=e＞0．∴不存在x∈R，ex＜lnx，是假命题．∴只有p∨q为真命题．故选：D．4.已知函数，若函数（，）在区间[－1,1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A. B.(2,+∞)C. D.参考答案：B【分析】求得函数为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数在区间上有4个不同的零点，转化为与的图象在上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以函数为上的偶函数，当时，，可得，所以函数在上单调递增，所以在单调递减，又由，所以函数的图象，如图所示，要使得函数在区间上有4个不同的零点，即函数与的图象在上有4个不同的交点，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中熟练应用导数和函数的基本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线(sinA－sinB)＋sinB＝sinC上．则角C的值为

（

）A．

B．

C． D．参考答案：D6.有5名毕业生站成一排照相，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有（

）

A．18种

B．24种

C．36种

D．48种参考答案：C略7.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(

).（A）

(B)(C)

(D)参考答案：B8.在三棱锥P—ABC中，∠APB=∠BPC=60°，PA=1，PB=，PC=，则三棱锥P—ABC的体积为(

)A、

B、

C、

D、参考答案：答案:B9.已知集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.已知是不共线的向量，，那么三点共线的充要条件为A．

B．

C．

D．

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，若数列是等比数列，且，则有________也是等比数列．参考答案：12.设Sn为等比数列{an}的前n项和，，则

．参考答案：－11试题分析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案－11．

13.下列说法：

①函数y=图象的对称中心是（1,1）

②“x>2是x2-3x+2>0”的充分不必要条件

③对任意两实数m,n，定义定点“*”如下：m*n=,则函数f（x）=的值域为（-∞，0]

④若函数f（x）=对任意的x1≠x2都有，则实数a的取值范围是（-]

其中正确命题的序号为___________．参考答案：（2），（3）略14.（09年扬州中学2月月考）如果复数是实数，则实数_____▲

．参考答案：答案：

15.下列命题中，①对于命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；③命题“若sinx≠siny，则x≠y”为真命题；④a＞b，则2a＞2b．所有正确命题的序号是

．参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用命题的否定即可判断出正误；②利用充分必要条件定义即可判断出；③利用互为逆否命题之间的等价关系即可判断出正误；④由指数函数的单调性加以判断．【解答】解：①命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x﹣1≥0，故①错误；②∵p是q的必要不充分条件，∴q?p，但p不能推q，则￢p?￢q，但￢q不能推￢p，∴￢p是￢q的充分不必要条件，故②正确；③命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，故③正确；④若a＞b，则由指数函数的单调性可得2a＞2b，故④正确．综上可得：正确命题的序号是②③④．故答案为：②③④．16.当时，4x＜logax，则a的取值范围．参考答案：【考点】指、对数不等式的解法．【分析】若当时，不等式4x＜logax恒成立，则在时，y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案．【解答】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1故答案为：（，1）17.设数列()是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前

项的和______________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修:不等式选讲设函数．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若时有，求的取值范围．参考答案：19.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，其中a为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)B为圆C上一点，且B点的极坐标为，射线OB绕O点逆时针旋转，得射线OA，其中A也在圆C上，求的最大值．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）通过进行消参，然后利用公式，把普通方程化为极坐标方程；（2）由已知可以求出的极坐标，然后用两角和的余弦公式及辅助角公式化简，最后求出它的最大值.【详解】解：（1），由可得圆的极坐标方程．（2）由题意可知：,所以，所以，从而最大值为．【点睛】本题考查了把圆的参数方程化成普通方程再化为极坐标方程问题.考查了在极坐标下，利用三角恒等变换求两极径之和最大值问题，考查了运算能力.20.如图是一个二次函数的图象.(1）写出这个二次函数的零点；(2）写出这个二次函数的解析式及时函数的值域参考答案：（1）由图可知这个二次函数的零点为(2）可设两点式，又过点，代入得，，其在中，时递增，时递减，最大值为

又，最大值为0，时函数的值域为

21.设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0． （Ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性； （Ⅱ）当b＜时，求函数f（x）的极值点 （Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）将b的值代入，求出函数的表达式、导数，从而求出函数的单调区间； （Ⅱ）通过讨论b的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （Ⅲ）将b=﹣1代入函数的表达式，求出函数f（x）的表达式，令h（x）=x3﹣f（x），求出h（x）的导数，得到ln（x+1）＞x2﹣x3，从而证出结论． 【解答】解（Ⅰ）当，f（x）=x2+ln（x+1），（x＞﹣1）， f′（x）=2x+=2（x+1）+﹣2≥2﹣2≥0， 当且仅当x=﹣时，“=”成立， ∴函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增． （Ⅱ）

当时，解f′（x）=0得两个不同解： 当b＜0时， ∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞）， 此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点 当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f′（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0， 此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点 综上可知，时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点， b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点； （Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1）， 令上恒正， ∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0， 即当x∈（0，+∞）时，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3， 对任意正整数n，取． 【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，考察分类讨论思想，运用转化思想是解答第三问的关键，本题是一道难题． 22.（本小题满分12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，若幸福度低于7.5分，则称该人的幸福度为“不幸福”.现从这16人中感到“极幸福”和“不幸福”的调查人里随机选取2人，恰有1人是“极幸