广东省深圳市深南中学高三数学理测试题含解析

广东省深圳市深南中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知非零实数满足，则下列不等式成立的是(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.参考答案：D略2.设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是

(

)A．p为真

B．﹁q为假

C．p∧q为假

D．p∨q为真参考答案：C3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B4.已知与之间的一组数据，，则与的回归直线必过点A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知命题p：对于?x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．则下列结论正确的是(

)A．p∧q为真 B．（?p）∨q为真 C．p∧（?q）为真 D．?p为真参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】判断两个命题的真假，判断推出结果即可．解：命题p：对于?x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，显然是真命题；命题q：奇函数f（x）的图象必过原点．例如y=，函数是奇函数，但是不经过原点，所以是假命题，?q是真命题，所以p∧（?q）为真是正确的．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，基本知识的考查．6.已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为(

)A．或

B．或

C．或

D．或参考答案：D略7.设函数，若取正值的充要条件是，则，满足

【

】A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知命题，命题，则命题p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A9.已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={﹣1，0，1，2，3，4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】列举出A中的元素，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={x|x=2k﹣1，k∈Z}={…，﹣3，﹣1，1，3，5，…}，B={﹣1，0，1，2，3，4}，∴A∩B={﹣1，1，3}，则集合A∩B中元素的个数为3，故选：C．10.若双曲线的离心率为2，则等于A.2

B.

C.

D.1

参考答案：解析：由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，则球的表面积为.参考答案：【知识点】球的体积和表面积．菁优G8

解析：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为.【思路点拨】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．12.数列是公差不为0的等差数列，且，则参考答案：在等差数列中，由得，即，所以。13.函数的最大值是＿＿＿＿＿＿.参考答案：514.若实数满足不等式组则的最小值是

．参考答案：15.若x，y满足约束条件则的最小值为__________．参考答案：2【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化，因此当直线在轴上截距最小时，取最小，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因为目标函数可化为，因此当直线在轴上截距最小时，取最小.由图像易得，当直线过点时，在轴上截距最小，即.故答案为2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.16.甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：品种第1年第2年第3年第4年甲9.89.910.210.1乙9.7101010.3其中产量比较稳定的水稻品种是

.参考答案：甲17.已知命题则为___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示. （Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差其中）参考答案：

解：（I）乙组同学的平均成绩为，甲组同学的平均成绩为90，

所以…………………2分

甲组同学数学成绩的方差为……………

6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为则所有的事件构成的基本事件空间为：

共16个基本事件.设事件“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件包含的基本事件的空间为{共7个基本事件，………….13分

略19.（本小题满分12分）在数列中，已知.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：数列是等差数列；（Ⅲ)设数列满足，求的前n项和.参考答案：解：（Ⅰ）∵∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，∴.…………3分（Ⅱ）∵…………………4分∴.……………

5分∴，公差d=3∴数列是首项，公差的等差数列.…………7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n）∴.………………8分∴，

①于是

②……………9分两式①-②相减得=.………………………11分

∴.………12分20.

已知.(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间.参考答案：解：(1)∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又∵α∈(0，)，∴cosα＝，

…2分∴sin2α－cos2＝2sinαcosα－＝2××－＝，…6分

(2)f(x)＝×sin2x－cos2x＝sin(2x－)，………9分令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.……Ks5u……12分21. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）若≥0对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：参考答案：解：（1）由题意，由得 当时,；当时，. ∴在单调递减，在单调递增.……3分 即在处取得极小值，且为最小值， 其最小值为 …………4分 （2）对任意的恒成立，即在上，. 由（1），设，所以. 由得. 易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴

在处取得最大值，而. 因此的解为，∴. ………………8分（3）由（2）知，对任意实数均有，即.令，则.∴.……………………10分∴.略22.已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若，都有成立，求的取值范围；（Ⅲ）当时，设,求在区间上的最大值．参考答案：(Ⅰ)当时，

所以.

所以，切点为.

所以曲线在点处的