陕西省咸阳市礼泉县逸夫中学高三数学理月考试题含解析

陕西省咸阳市礼泉县逸夫中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{an}的前n项和最大时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】由题意和等差数列的性质可得{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论．【解答】解：∵等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，∴3a8=a7+a8+a9＞0，a8+a9=a7+a10＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴当{an}的前n项和最大时n的值为8，故选：B．2.设随机变量服从正态分布N(3，7)，若，则a=（

）

A．1

B．2 C．3 D．4参考答案：C由题意知对称轴为，故选C．3.复数z=在复平面上对应的点位于(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答： 解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．4.下列函数中最小正周期为π的函数是(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】A选项的最小正周期为；B选项的最小正周期为；C选项的最小正周期为；D选项的最小正周期为.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题.5.若变量x、y满足约束条件的最大值为（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C6.参考答案：C7.复数（是虚数单位）的虚部是A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为4，则输出的值为（

）A．2

B．4C．8

D．16参考答案：A9.已知函数，其中，给出下列四个结论

①.函数是最小正周期为的奇函数；②.函数图象的一条对称轴是；③.函数图象的一个对称中心为；④.函数的递增区间为，.则正确结论的个数是(A)个

(B)个

(C)个

(D)个

参考答案：C10.已知变量满足约束条件则的最大值为A. B.0 C.1 D.3参考答案：【知识点】简单线性规划．E5C

解析：由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，由图象可知当直线，过点A（1，0）时，直线的截距最小，此时z最大，代入目标函数，得z=1,∴目标函数的最大值是1．故选C.【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若，则

．参考答案：-1或略12.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为

▲

.参考答案：13.在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为．参考答案：﹣1≤a≤【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1，利用圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，可得|OM|≤2，进而得出答案．【解答】解：由题意，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数），圆心为M（﹣a﹣1，2a）从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1．∵圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，∴|OM|≤2，∴（a+1）2+4a2≤4，∴﹣1≤a≤，故答案为：﹣1≤a≤．【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．14.已知函数若，则

.参考答案：15.设等差数列的前n项和为，若=1，则其公差为

▲

．参考答案：616.函数在区间上最大值为

参考答案：

，17.定义域为的函数满足，当时，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是：，2；，7；，10；，x；[90，100]，2.其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图4所示，据此解答如下问题.（1）求样本的人数及x的值；（2）估计样本的众数，并计算频率分布直方图中的矩形的高；（3）从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.参考答案：解：（1）由题意得，分数在之间的频数为2，频率为，（1分）所以样本人数为（人）

（2分）的值为（人）.

（4分）（2）从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为.

（6分）由（1）知分数在之间的频数为4，频率为

（7分）所以频率分布直方图中的矩形的高为

（8分）（3）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6（人），成绩在90分以上(含90分)的人数为人，所以的取值为0，1，2.

（9分），，，（10分）所以的分布列为：012（11分）所以的数学期望为

（13分）

19.（本小题满分12分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.（Ⅰ）求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.参考答案：略20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知正方体的棱长为2，分别是的中点．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线EF与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

参考答案：解：（1）……（3分）……………（6分）（2）连结可知为异面直线与所成角，…（9分）在中，，，……（10分）所以，………（13分）即；………（14分）21.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，，AC=2.（1）证明：；（2）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3，求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明：取的中点，连接、、、，由棱形的性质及.得，为正三角形.∴，，且.∴平面，∴（2）三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一，得四棱锥的体积是柱体体积的三分之二，即等于.平行四边形的面积为.设四棱锥的高为，则，∴又平面建立如图直角坐标系：.则，，.，设平面的一个法向量为则，取一个法向量为显然是平面的一个法向量.则.二面角的余弦值为.

22.求下列函数的定义域：（1）（2）．参考答案：【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【分析】（1）要使平方根有意义，须使根号下的部分大于等于0，得不等式