江西省宜春市山林岗中学高三数学理期末试题含解析

江西省宜春市山林岗中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数等于A．i B． C．1 D．—1参考答案：D2.已知四个函数：①；②；③；④的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A．①④②③

B．①④③②

C．④①②③

D．③④②①

参考答案：【知识点】函数的图象与图象变化．B10【答案解析】A

解析：①是偶函数，其图象关于轴对称；②是奇函数，其图象关于原点对称；③是奇函数，其图象关于原点对称．且当时，；④为非奇非偶函数，且当时，；当时，；故选A.【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．3.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

略4.复数的虚部为（）A．i B．﹣i C． D．﹣参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数===﹣+i的虚部为．故选：C．5.曲线在点处的切线的斜率为（A） （B） （C） （D）参考答案：B略6.一个四面体ABCD的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）.A.

B.

C.

D.参考答案：答案：A7.函数的定义域为（

）.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B8.函数，则A．

B．

C．

D．

参考答案：B9.等比数列的各项都是正数，等差数列满足，则有

（

）

A．

B．

C．

D．不能确定大小参考答案：答案:B10.在中，角的对边成等比数列，且，则的面积为（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.“开心辞典”中有这样的问题，给出一组数，要你根据规律填出后面的几个数，现给出一组数：它的第8个数可以是．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，由所给的前几个数归纳分析可得an=（﹣1）n，问题得以解决【解答】解：化为﹣，，﹣，，﹣，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为负，偶数项符号为正，通项公式可为an=（﹣1）n，它的第8个数可以是a8=，故答案为：12.设不等式，表示的平面区域为M，若直线y=k（x+2）上存在M内的点，则实数k的最大值是

．参考答案：2【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，直线y=k（x+2）过定点（﹣2，0），数形结合求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，直线y=k（x+2）过定点P（﹣2，0），联立，解得B（﹣1，2），∵，∴满足条件的k的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13.在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14＝________．参考答案：4114.已知函数,则________参考答案：-215.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

；表面积是

．参考答案：,.16.已知，则的最小值为

．参考答案：-1∵又∵∴，当且仅当，即时取等号∴最小值为-1故答案为-1点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中等题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17.已知关于的不等式的解集为．（1）当时，求集合；（2）当时,求实数的范围．参考答案：（1）（-∞，1）∪（1,5）；（2）试题分析：（1）把a=1代入不等式中，求出解集即可得到集合M；（2）因为3∈M且5?M，先把x=5代入不等式求出a的范围，然后取范围的补集，又因为3属于集合M，所以把x=3代入不等式中，求出关于a的不等式的解集即可得到a的取值范围；与求出a的范围联立求出公共解集即可．试题解析：（1）当时，（2）不成立．又不成立综上可得，考点：一元二次不等式的解法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数.（1）若在处取得极值,求的值；（2）讨论的单调性；(3)证明：为自然数的底数).参考答案：（1）（2）详见解析(3)详见解析试题分析：（1）先求函数导数再根据极值定义有从而可得（2）要讨论函数单调性，先讨论导函数，也即函数零点情况：时，一个零点，两个单调区间；时，无零点，一个单调区间；时，两个零点，三个单调区间(3)证明不等式，先分析结构：积，两边取对数，转化为和；，再利用放缩得19.设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）若（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l倾斜角；（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．求证：当k0为定值时，k1+k2也为定值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出直线的方程与抛物线的方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根据根与系数的关系即可得出；（2）根据向量和（1）的结论可用k表示E点的坐标代入抛物线的方程即可得出直线l的斜率和倾斜角；（3）利用向量计算公式和（1）中的根与系数的关系即可得出．解答：解：（1）根据题意可知：，设直线l的方程为：，则：联立方程：，消去x可得：y2﹣2pky﹣p2=0（*），根据韦达定理可得：，∴p=2，∴抛物线C的方程：y2=4x．（2）设E（x0，y0），则：，由（*）式可得：y1+y2=2pk=4k∴y0=8k，又，∴∴∵，∴64k2=4（8k2+4），∴2k2=1，∴∴直线l的斜率，∴倾斜角为或（3）可以验证该定值为2k0，证明如下：设M（﹣1，yM），则：，，∵，∴∴===∴k1+k2=2k0为定值．点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为直线方程与抛物线的方程联立得到一元二次方程、根据根与系数的关系、斜率的计算公式是解题的关键．20.设函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0）．（1）求函数f（x）的最小值g（a），并证明g（a）≤0；（2）求证：?n∈N*，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1＜成立．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最小值g（a）=a﹣lna﹣1，再求出g（a）的单调区间，从而得到g（a）≤0；（2）根据题意得到ex＞x+1，从而可得（x+1）n+1＜（ex）n+1=e（n+1）x，给x赋值，从而得到答案．【解答】解：（1）由a＞0，及f′（x）=ex﹣a可得：函数f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，∴函数f（x）的最小值g（a）=f（lna）=a﹣alna﹣1，则g′（a）=﹣lna，故a∈（0，1）时，g′（a）＞0，a∈（1，+∞）时，g′（a）＜0，从而g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，且g（1）=0，故g（a）≤0；（2）证明：由（Ⅱ）可知，当a=1时，总有f（x）=ex﹣x﹣1≥0，当且仅当x=0时“=”成立，即x＞0时，总有ex＞x+1，于是可得（x+1）n+1＜（ex）n+1=e（n+1）x，令x+1=，即x=﹣，可得（）n+1＜e﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e1﹣n，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e2﹣n，…，令x+1=，即x=﹣，可得：（）n+1＜e﹣1，对以上各等式求和可得：（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜e﹣n+e1﹣n+e2﹣n+…+e﹣1=＜＜，∴对任意的正整数n，都有（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜，∴1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1＜成立．21.已知点，过点D作抛物线：切线l，切点A在第二象限.（1）求切点A的纵坐标；（2）有一离心率为的椭圆：恰好经过切点A，设切线l与椭圆C2的另一交点为点B，记切线l、OA、OB的斜率分别为、、，若，求椭圆C2的方程.参考答案：(1).(2).【分析】（1）设切点,求出的方程为，再把点D的坐标代入即得解；（2）先根据已知设椭圆方程为，再根据求出b的值得解.【详解】（1）设切点则有，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，所以，即，所以点的纵坐标.由（1）得，切线斜率，设，切线方程为，由得，又，所以，所以椭圆方程为，由得，∴，，又因为，即，解得，所以，所以椭圆方程为.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查抛物线的切线的求法，考查直线和椭圆的位置关系问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M、N分别是AF、BC的中点，（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求点B到平面MNF的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】由三视图可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四边形ABCD是边长为4的正方形，底面ABFE是边长为2的正方形，M，N分别为AF，BC的中点．（1）取BF的中点P，连接MP，NP．又M，N分别为AF，BC的中点．利用三角形中位线定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP∥平面CDEF，即可证明MN∥平面CDEF．（2）利用等体积法，求点B到平面MNF的距离．【解答】（1）证明：由三视图可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD