广东省肇庆市封川中学高三数学理联考试题含解析

广东省肇庆市封川中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，若，则(

)A.

B.

C.0

D.1参考答案：C=,=,解方程=得0.选C.2.直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.设双曲线(a>0,b>0)的左、右两焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点P到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线的离心率是A.

B.

C.

D.参考答案：A不妨设点在双曲线的右支上，则.因为，所以，.由点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，，所以，即，得.所以双曲线的离心率.故选A.4.执行如图所示的程序框图，则输出的（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：C5.已知，，且，那么的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A6.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．7.为正实数，是虚数单位，，则（

）(A) (B) (C) (D)参考答案：B8.（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标是A．（2，0）

B．（-2，0）

C．（4，0）

D．（-4，0）参考答案：解析:由,易知焦点坐标是，故选B.9.一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（A）

（B）

（C）

（D）7参考答案：A该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体，其体积为10.函数的部分图象如图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是（）A．

B． C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，圆的直径为6，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则

．参考答案：12.设，若，则的最小值为__________．参考答案：4

【知识点】基本不等式；等比数列的性质．D3E6解析：，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故答案为4.【思路点拨】由条件a+b=1,利用基本不等式求出它的最小值．13.在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则

。参考答案：14.设a∈（0，]，则点f（a）=（cosx﹣sin2x）dx取最大值时，则a=．参考答案：【考点】定积分．【分析】先根据定积分的定义表示出∫0a（cosx﹣sin2x）dx，然后利用三角函数中辅助角公式进行化简，即可求出最值，从而求出此时的a的值．【解答】解：∫0a（cosx﹣sin2x）dx=（sinx+cos2x）|0a=sina+cos2a﹣（sin0+cos0）=sina+（1﹣2sin2a）﹣=﹣sin2a+sinα=﹣（sina﹣）2+，当a=时，∫0a（cosx﹣sin2x）dx取最大值．故答案为：15.已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．参考答案：【分析】不妨设，则，令，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果.【详解】作出函数图象如图所示，由，可得，即，不妨设，则，令，则，，令，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减；当时，取得最大值,故答案为.【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数极值与最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.16.设直线与圆相交于两点，且，则_________.参考答案：０17.已知向量与的夹角为120°，且，则______________参考答案：13三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：年份1993199419951996199719981999200020012002x用户（万户）11.21.61.822.53.244.24.5y（百万立方米）679.81212.114.5202425.427.5（1）检验是否线性相关；（2）求回归方程；（3）若市政府下一步再扩大5千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少.参考答案：解析：用计算机Excel软件作出散点图（如下图），

观察呈线性正相关，并求出回归方程.用计算机Excel软件求回归方程时，点选“显示r2的值”可进一步得到相关系数.（1）r=0.998>0.632=r0.05，线性相关；（2）=0.08+6.06x；（3）x0=4.5+0.5=5，代入得=30.38，所以煤气量约达3038万立方米.19.（12分）已知数列是正项等比数列，满足

（1）求数列的通项公式；

（2）记恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由。参考答案：解析：（1）数列{an}的前n项和，

…………2分又，

…………3分是正项等比数列，，

…………4分公比，

…………5分数列

…………6分

（2）解法一：，由

…………8分，当，

…………10分又故存在正整数M，使得对一切M的最小值为2…………12分

（2）解法二：，令，

…………8分由，函数…………10分对于故存在正整数M，使得对一切恒成立，M的最小值为2…………1220.某校为了丰富学生的课余生活，决定在每周的星期二、星期四的课外活动期间同时开设先秦文化、趣味数学、国学和网络技术讲座，每位同学参加每个讲座的可能性相同．若参加讲座的人数达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座，统计数据表明，各讲座的概率如表：星期先秦文化趣味数学国学网络技术星期二星期四根据上表：（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由图表可得星期二、星期四满座的概率，然后由对立事件及相互独立事件的概率得答案．（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．然后利用相互独立事件和互斥事件的概率求得概率，列出频率分布表，再由期望公式求得期望．解答： 解：（1）设趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座为时间A，则P（A）=．（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=．∴ξ的分布列为：ξ01234P故ξ的期望为Eξ=0×．点评：本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．21.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.参考答案：（1）见解析；（2）.试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为.试题解析：（1）由题设可得，，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故所以平面ACD⊥平面ABC.（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故.设是平面DAE的法向量，则即可取.设是平面AEC的法向量，则同理可取.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.22.已知函数，函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围；（3）若，求证不等式成立.参考答案：（1）解：函数的定义域为，因为，，所以.当时，在区间内恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区